Ландау Э. - Основы анализа, страница 8

Из 1)ти 5)и следует 1 Доказательство. По теореме 145, 1' ) ч1" и ~" = "ч~ ) ич1 = ци, следовательно, 1ь ) ч1о. Теорема 148. Из 1 )~ ч1, " ) и или 1 ) ч1, 5 )~ ч следуезь 15) чр Теорема 149. Из 1)~Ъ, 1> о следует $" ) ви. Д о к а з а т е л ь с т в о. При двух знаках равенства в предположении — очевидно; в противном случае — уже установлено теоремой 148. Теорема 150. Для иазядоео рациональноао числа 1ч множество рациональных чисел ' Я образует сечение.

Доказательство. 1) По теореме 90, существует Х < )с. Саио )с не ( 1ч. 2) Если Х< р, Х!>~Я, Х< Х,. то Д о к а з а т е л ь с т в о. При знаках равенства в предположении — уже установлено теоремой 145, в противном случае — теоремой 141. Глава 3 3) Если Х< 11, то, в силу теоромы 91, существует Х, такое, что ХС Х! <В Определение 37. Сечение, построенное в лгеореме 150, мм будем обозначагиь через йв. (Таким образом, прописные латинские буквы со звездочками обозначают сечения, а не рациональные числа.) Теорема 151. 1 ° 1" = — 1.

Доказательство. 1 ° 1в есть множество всех Х1; где Х вЂ” нижнее число относительно 1, а 1'< 1. Каждое такое Х)'< Х и, следовательно, является нижним числом относительно Е Обратно, пусть задано нижнее число Х относительно Выберем тогда нижнее число Х, относительно такое, чтобы и положим 1г = — Х. Х1 Тогда и, следовательно, Х=Хгу является нижним числом относительно 1 ° 1+. Теорема 152. Длн каждого заданного 1 уравнение 1о= 1" имеет решение о. вт Сечения Доказательство. Рассмотрим множество всех 1 чисел —, где Х вЂ” любое верхнее число относительно 1, Х' за исключением наименьшего (если такое существует). Покажем, что это множество является сечением.

1) Рассматриваемое множество содержит, по крайней мере, одно число. Действительно, если Х вЂ как-нибудь верхнее число относительно г, то и Х + Х вЂ верхн число, но уже наверное не наименьшее, н, следовательно, 1 Х+Х вЂ” принадлежит нашему множеству, С другой стороны, существует рациональное число, не принадлежащее этому множеству. Действительно, пусть Х,— какое-нибудь нижнее число относительно ч, тогда для всех верхних чисел Х относительно 5 имеем ХФ Х„ и так как то 1 1 Х Х! поэтому — не принадлежит нашему множеству. 1 Хг 1 2) Пусть — — заданное число нз нашего множества, Х так что Х вЂ” верхнее число относительно 1, и пусть тогда ихс — х=1= и— 1 1 Х 0' следовательно, ХС— 1 88 Глаеа 3 1 и, значит, — являегся верхним числом относительно Е, притом не наименьшим.

Так как ст — = 1 1 й У=— 1 й то, следовательно, У принадлежит нашему множеству. 1 3) Пусть — — заданное число из нашего множества, так что Х вЂ” верхнее число относительно 1, и притом не наименьшее. Выберем верхнее число Х, относительно $ такое, чтобы а затем, по теореме 91, — число Хз такое, чтобы Х,(Х СХ. Ха будет верхним числом относительно 1 н притом не наименьшим. Из 1 1 1 Х вЂ” (Х вЂ” = 1 =Хв Х Х Хя следует 1 1 — > — ' Ха Х тем самым мы нашли в нашем множестве число, большее заданного. Таким образом, наше множество является сечением; обозначим его о.

Мы докажем теперь, что для него Ео = 1". Для етого достаточно установить: А) что каждое нижнее число относительно Ео будет ( 1. 89 Сечения В) что каждое рациональное число 1 будет нижним числом относительно 1ш К А), Каждое нижнее число относительно 8з имеет вид ! "'Х ~ где Х вЂ” нижнее, а Х,— верхнее число относительно Е Из Х<Х, следует Х вЂ” <Х,— =1. 1 ! Хе Хь К В). Пусть У< 1. Выберем какое-нибудь нижнее число Х относительно 8, а затем, по теореме 132, нижнее число Х, и верхнее число Хз относительно 8 такие, чтобы Х вЂ” Х, =(1 — У)Х, Тогда Х,— Х, <!! — О)Х„ (Хз — Х,) + УХз < (! — 0) Ла + УХз = Хз = (Х вЂ” Х,),'- Х„ УХз < Хо Хв (!! У) Ха Г (!аз)< ~~ Х! ы 1 Хь Следовательно, Х' есть верхнее число относительно Е, й и притом не наименьшее.

Из 0 — =Х! Хз и следует Х,1 Х1 Х, Х, (У У Глава 3 90 1 здесь Х вЂ” нижнее число относительно ! — — ниж- 1 Х! и нее число относительно ц; следовательно, У есть нижнее число относительно 1ц. Теорема !53. Для любых заданных 1, т! уравнение тр = с имеет (вечно одно решение ц. Доказательство. 1) Рассматриваемое уравнение может иметь, самое большее, одно решение.

Действи- тельно, если ц, ф ца, то, по теореме 145, «!ць ф т~ця. 1!) Для решения нашего уравнения достаточно положить 1 ! где -.— решение уравнения ц — т! ! существу!ощее по теореме 152, Действительно, по теореме 151 имеем тв = 1(-!) = !цт)! =1'1=1. Определение 38. Сечение ц из (нсорсмы 153 обозначасгися — ' (читается: ". на т1). — называется ! ч частным ! ло т! или сечением, иолучающимся путем деления ч на т1. 5 5 РАЦИОНАЛЬНЫЕ СЕЧЕНИЯ И ЦЕЛЫЕ СЕЧЕНИЯ Определение 39. Се !ение вада Хч называется рациональным сечением, 91 Сечения Определение 40. Сечение вида л" называеьчсл иелы.я ссчение,и, (Таким образом, строчные латинские буквы со звездочками означают сечения, а не целые числа.) Теорема 154. Оз Х) 1; соотю Х= Г, сов~ив.

Х<'г слсдусчи Хе > 1'"", соогнв. Хг = 1"", соослв. Х" < 1'е и обронено, Л о к а з а т е л ь с т в о. 1) 1) Из Х) У следует, чго )' есть нижнее число относительно Х". Но 1' — верхнее число относительно У»'. Следовательно, Х': > Г':. 2) Из разумеется, следует Хе = )". 3) Из Х< г' вытекает 1') Х, и, значит, в силу 1), 1'е ) Х'.:, ХЯ < г'.

11) Обращение очевидно, поскольку три случая оба раза взаимно исключают друг друга и в совокугщости исчерпывают все возможности. ГЛаиа 8 Теорема 155. (Х+ У)" =Ха+ У::; (Х вЂ” У)ь=Х" — У:: лри Х) 1', (Х1') ".' = Х' 1"'", Доказательство. 1) а) Каждое нижнее число относительно Х:"+ Ув есть сумма рационального числа Х и рационального числа ( У; следовательно, оно ( Х+ У и потому является нижним числом относительно (Х+ У)"'. ))) Каждое нижнее число (з' относительно (Х+ У)'"' будет < Х+ 1'. Из )г Х+ У (У=Х вЂ” + У— )у и Х+У Х+У следует, что СУ есть сумма рационального числа 'Х и рационального числа С У, а, следовательно, — ниж.

нее число относительно Х'":: + 1'в. Позтому (Х+ У)в = Х'. + У"". П) Из вытекает Х=(Х вЂ” У) )-У следовательно, в силу 1), Х"=(Х вЂ” У)" + У':, (Х вЂ” У)в=Х' — 1". 111) а) Каждое нижнее число относительно Х'Ув есть произведение рационального числа ( Хи рационального числа ' У; следовательно, оно 'ХУ и потому— нижнее число относительно (ХУ)в. Ц Каждое нижнее число 0 относительно (Х1')в будет ( ХУ, Выберем, по теореме 91, рациональное Сечения число и, такое, чтобы и<и, <ху.

Тогда — <1 0 (У1 Таким образои, (ХУ)" =-Хьу"'. Х= — У, Х У !Ч) следовательно, в силу !И), Хь =(~)ь!"::, Теорема 156. Целые сечения удовлетворяют лягни аксиомам для натуральных чисел, если за 1 принять 1* и положить (хь)' = (х')'. Доказательство. Пусть Дь — множество всех целых сечений. 1) 1ь принадлежит множеству Дь. 2) Вместе с х* в 3ь содержится и (х*)'. есть представление числа и в виде произведения нижнего числа относительно Хь на нижнее число относительно г'ь. Следовательно, и есть нижнее число относительно Хн У . Поэтому Глава 3 3) Так как всегда х' ф 1, то (х')* ф 1*, (х*)'ф 1в. 4\ Из (хв)' = (у*) (х')* = (у')* l х =у, х=у, хв ув 5) Пусть некоторое множество Иа целых сечений обладает следующими свойствами: .1) 1* принадлежит множеству Ив.

11) Если х* принадлежит Ив, то и (хв)' принадле- жит Ив. Обозначим через И множество тех х, для которых х* принадлежит множеству Ив. Тогда 1 принадлежит множеству И, и вместе с каждым х из И также х' принадлежит И. Следовательно, каждое целое число принадлежит И и, значит, каждое целое сечение при- надлежит Ив. следует Так как, в силу теорем 154 и 1бб, между понятияии =, ), (, суммы, разности (если она существует), произведения и частного рациональных сечений и аналогичными старыми понятиями для рациональных чисел имеется полное соответствие, то рациональные сечения обладают всеми свойствами, доказанными нами в гл.

2 для рациональных чисел, и, в частности, целые сечения — всеми свойствами, доказанными для целых чисел. Поэтому отбросим рациональные числа, заменим их соответствующими рациональными сечениями и будем впредь говорить лишь о сечениях. (Однако, рациональные числа останутся как элементы множеств в понятии сечения.) Сечения Определение 41.

(Освободившийся теперь символ) Х будет обозначать рациональное сечение Х", на которое мы перенесем также наименование „рациональное число"; точно так же на целые сечения мы перенесем наименование „целое число". Таким образом, теперь мы будем, например, вместо писать Теорема 15е. Рациона,гьные числа — это еие и только гие сечения, для которых существует наименьшее верхнее число Х, причем тогда Х и есть данное сечение.