Ландау Э. - Основы анализа (947420), страница 7
Текст из файла (страница 7)
Теорема 132. !1'иково бы ни бы,го заданное А, для каждого сеченая найдуогся нижнее число Х и верхнее наело !7 о!ание, чпсо У вЂ” Х= Л. Доказательство. Пусть Х,— любое нижнее число. Рассмотрим все рациональные числа Х~',и1, где я — целые, Не все зги рациональные числа — нижние. Действительно, для любого верхнего числа У имеем 1'> Х,. В силу теоремы 115, существует такое и, что пА > 1' — Х„ Х1 тц пА > à — Х1) -Г Х1 —— — 1'. Следовательно, Х, -)-нА уже верхнее число. По теореме 27, в множестве тех п, для которых Х, + яА является верхним числом, существует наименьшее целое число; обозначим его и.
Если и=1, то половим Х=х„и=Х,+А; 76 Глааа 3 если и>1, ТО ПОЛОЖИМ Х=Х +(а — 1)А, У=Х +иА=Х+А. В том и другом случае Х есть нижнее число, У вЂ” верхнее число и У вЂ” Х=А. Теорема 1ЗЗ. Е+т~)Е. Доказательство. Пусть à — какое-нибудь нижнее число относительно т1. Выберем, по теореме 132, нижнее число Х относительно Е и верхнее число У относительно Е такие, чтобы тогда будет верхним числом относительно Е и нижним числом относительно ". + д. Поэтому Е 1 д ) » Теорема 134.
Из Е>д еледуегл Е+! >т1+".. До к а за тель ст во. В силу предположения, существует верхнее число г' относительно ч, являющееся нижним числом относительно Е. Выберем какое-нибудь число Х относительно Е такое, чтобы Х) Г; оно снова будет верхним числом относительно и.
Выберем, далее, по теореме 132, верхнее число е. н нижнее число У относительно Е, такие, чтобы Сечения Тогда У+ к= У+ИХ вЂ” У)+Е7) = — ЕУ ~ЕХ вЂ” У))- У вЂ” Х+Е7 будет нижним числом относительно Е+ч и (по теореме 129, !1) верхним числом относительно ч~ + ". Поэтому Е+ Е) й+1. Теорема 135. Из Е > т„соотв.
1 =т„соотв, Е< ч1 следует Е л Е>ч)+", соотв. Е+"=л+"„соотв. Е+".<ч~+". Доказательство. Первая часть совпадает с теоремой 134, вторая очевидна, третья следует из первой, так как ч1) Е, 1+Е>Е+г, Е1 ° (,~г. Теорема 136. Из Е+Е > ч1+"., соо>лв. Е+ г = 4+ с, соогив. Е + "- ( ч1 следуелг Е ) ч~, соотв. ", =чь соотт Е ( ч, Доказательство. Следует из теоремы 135, поскольку три случая оба раза взаимно исключают друг друга н в совокупности исчерпывают все возиожности. Теорема 137.
Из Е)ть ")о следует Е+",) т,+ и. Рвали д Доказательство. По теореме 134, Е+С)т1+С и 1+3="+ 1> о+ й= 1+о, следовательно, Е+ Е) т1+ о. Теорема 138. Из Е>т1, Е>о или Е) ч1, "> о еледуегн Е+" ) о~+о. Доказательство. Прн вязках равенства в пред положении — уже установлено теоремой 134, в противном случае — теоремой 137. Теорема 139.
Из Е)4, Е до еледуеггг ! Д о к а з а т е л ь с т в о. Прн знаках равенства в предположениии — очевидно; в противном случае — уже установлено теоремой 133. Теорема 140, Если Е)тп нго уравнение т1+о=Е илгеенг гночно одно реиеение о. Предварительное замечание. При Е(й, в силу теоремы 133, решения не существует.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Рассматриваемое уравнение имеет нс более одного решения; действительно, если о, =~оа, Се ааааа то, по теореме 135, т)+ ог чь и+за. 2) Бели Х вЂ” 1' какое. нибудь заданное число из рассматриваемого множества и У«Х вЂ” 1; У+ 1' ((Х вЂ” 1') -~~- 'г'= Х, то следовательно, Сг+ У=Ха есть нижнее число относительно , 'и, значит, принадлежит нашему множеству, 3) Пусть Х вЂ” У какое-нибудь заданное число из рассматриваемого множества. Выберем какое-нибудь нижнее число Хз относительно 1 такое, чтобы Тогда ~Ха — У) + У~ (Х вЂ” У) -~ 1; Х,— 1')Х вЂ” 1; и, следовательно, Хз — à — число нашего множества, большее, чем заданное Х вЂ” г. И) Я покажу сначала, что множество всех рациональных чисел вида Х вЂ” У (так что Х) У), где Х— нижнее число относительно 1, а 1' — верхнее число относительно т1, образует сечение, 1) Как мы знаем из начала доказательства теоремы 134, по крайней мере одно такое Х вЂ” 1' существует.
Никакое верхнее число Х, относительно 1 не может быть таким Х вЂ” 1; поскольку для каждого числа последнего вида мы имеем Глава 3 80 Таким образои, наше множество есть сечение; обозначим его и. Мы докзжем теперь, что для него Для этого достзточно установить: А) что каждое нижнее число относительно з -)- т, есть нижнее число относительно с; В) что каждое нижнее число относительно с есть нижнее число относительно е + т). К А). Каждое нижнее число относительно з + е имеет вид где Х вЂ” нижнее число относительно с, К вЂ” верхнее число относительно т), )г~ — нижнее число относительно т~ и Имеем у> уы ИХ у) 1 )~)+()' )1)=(Х 'у)+(уг+(у у1)) = = (х — у) .~- у = х, (Х вЂ” У) ~- У,<Х, и, следовательно, (Х вЂ” Г) ',— г', есть нижнее число от- носительно с.
К В). в) Пусть заданное нижнее число относительно с является вместе с тем верхним числом относительно тб обозначим его тогда Г Выберем нижнее число Х от- носительно с такое, чтобы Х> г', и, по теореме 132, нижнее число у, и верхнее число $'в относительно в такие, чтобы Тогда Сечен1т следовательно, 1' (У вЂ” 1') — ((Х У)+ У )+(1' — У )— =(Х вЂ” У)+ (У,-~ (У вЂ” У,)) =(Х вЂ” У)+ У=Х, У вЂ” У,=Х вЂ” У,, У=(У вЂ” У ) ~- У =(Х вЂ” 1'г)+ 1". и, значит, 1" является пингвин числом относительно е + т!.
б) Если заданное нижнее число относительно является также нижним числом относительно т!, то оно меньше каждого числа, рассмотренного в а), и так как последние, как показано, суть нижние числа отно- сительно о+ ть то и само заданное число является нижним относите.чьно о+ 4. Определение 35.
Сечение е из теоремы 140 обо- значается $ — э! ( — читается: минус) и называется разностью 1 минус т! или сечением, получаюгцимся путем вычитания э! из 1. 5 4. УМНОЖЕНИЕ Теорема 141. !) Пусть ! и т! — сечения. Множество рациональных чисел, предсгпавимых в виде Х1; где Х вЂ” нижнее число относительно с, а У вЂ” нижнее число относительно т!, есть сечение. !!) Никакое число из этого множества не может бм1пь представлено в виде произведения верхнего числа относительно , "на верхнее число относительно т!.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Пусть Х вЂ” какое-нибудь нижнее число относительно ! и У вЂ” какое-нибудь нижнее число относительно 11, тогда ХУ принадлежит рассматриваемому множеству. Если же Х, — какое-нибудь верхнее число относительно ! и У,— какое-нибудь верхнее число относительно 11, то для всех нижних чисел Х, соответственно у относительне 1, соответственно т! имеем Х< Х1, У< У1, 5 Зьи.
119. Э. Льпдьу. 82 Глава 3 и, следовательно, ХУ < Х,Уо х,у,~ху. Таким образом, Х,в', не принадлежит рассматриваемом) множеству. Тем самым попутно доказано уже и И). 2) Пусть Х вЂ” нижнее число относительно 1, 1'— нижнее число относительно я и г< ху.
Тогда 2 1. 1 ~1 Х . Х (Х ) -- = — Л < — 1ХУ) = ( — Х) У= У Е и, значит, — есть нижнее число относительно т1. Равен ство Я=Х— г Х показывает тогда, что Я принадлежит нашему мно жеству. 3) Пусть задано какое-нибудь число из рассматри ваемого множества. Оно имеет вид Хг", где Х вЂ” ннж нее число относительно 1, 'г — нижнее число относнтелв но т1. Выберем нижнее число Хв) Х относительно 1; тогда Х,1') ХУ, так что наше множество содержит некоторое числ ) Х1'.
Определение 36. Сечение, настроенное е влеорел 141, обезначаетгн $ т1 ( читается: раз; впрочем, точи большей частью не пишут). Оно назыеаетсн ароизе~ Сечения дением Е на т! или сечением, получающимся путем умножения Е на». Теорема 142 (закои коммутативности умножения). Е Ло к а лат ел ьство. Каждое ХУ есть также 1Х и обратно. Теорема !43 (закон ассоциативности умножения), (Е>)) Е Е (тЕ) Ло каз ат ель ство.
Каждое (Х1') с есть также Х(1'л) и обратно. Теорема 144 (закон дистрибутивносги). Е (т!+Е) Е>)+ЕЕ Локазательств о. 1) Каждое нижнее число о~носительно Е(>!+Е) имеет вид Х(У+Я) = ХУ+ХЕ, где Х, 1', л — нижние числа, соответственно, относительно Е, ч>, ". Но Х1'+ Хе. есть нижнее число относительно Е>! + ЕЕ. !!) Каждое нижнее число относительно Ет)+ЕЕ имеет вид ХУ+Х>Е, где Х, 1, Х„Л вЂ” нижние числа, соответственно, относительно Е, ть Е, Е. В случае Х~~ Х, обозначим через Хя число Х, в случае Х( Х, — число Х,. В обоих случаях Хя будет нижним числом относительно Е, н, значит, Хя()г+ л) — нижним числом относительно Е (ч!+ Е). Из ХГ( Хяг, Хгг ( Хяг вытекает ХУ ~-Х>Е (Х,1 +Хам=Хя(~'+~), Глава 3 слеаовательно, Х1'+ Хге". будет ниткним числом и отно- сительно Е (чг + Е).
Теорема 145. Оз Е ) гг, соогив. Е = ч1, еоолгв. Е < гг еледуеги ЕЕ) чг"., соотв. ЕЕ=те, еоотв. 11<~1".. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) Кслн Е) тн то, по теореме 140, существует такое е, что Е = г1 + о. Поэтому ЕЧ =- (г1 + о) Ч = мгГ+ ОЕ) ггЧ. 2) Из 1 = тг, разумеется, следует Ее — гге З) Из Е < г~ следует и, значит, в силу 11, Теорема 146. йз Ег.) г"„еоо .. ЕЕ=тг"., '-.. ЕЕ<,Е следует Е) гг, соогггв. Е=т„соотв. Е<гг. Д ока зат ел ьст в о. Следует из теоремы 146, поскольку три случаи оба раза взаимно исключают друг друга и в совокупности исчерпывают все возможности. Сечения Теорема 147.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
