Ландау Э. - Основы анализа (947420), страница 16

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 16)

[Однако, вещественные числа сохранятся парами в понятии комплексного числа.) Определение 72. [Освободившийся теперь символ) Е будет обозначать комплексное число [Е, О[, на которое мы перенесеМ также наименование вещегтвенное число. Равным образом, [Е, 0[ будет теперь называться целым числом при целом Е, рациональным числом при рациональном Е, иррациональным числом при иррациональном Е, положите.гьным числом при положительном Е, отрицательным числом при отрицательном Е.

Таким образом, например, вместо и мы буден писать О, а вместо е будем писать 1. Теперь мы можем обозначать комплексные числа строчными или прописными буквами любого алфавита (притом не обязательно одного и того же). Однако, для одного особого комплексного числа обычно употребляется специальная строчная латинская буква. Определение 73. г'= [О, Ц. Теорема 300. гг' = — 1. г[оказательство.

0=[0, 1[[0, 1[=.[0-0 .1 1, 0 ° 1 — '1.0[= =[ — 1, 0[= — 1. Теорема 301. Аля вещественных и„и илгеегп лгесто равенство и,+и,в= [и„и,[. Таким образом, для каждого комплексного числа х сущетпвует однозначно определенная пара вещественных чисел и„ив токая, чего х =и, -'-ивг. Комплексные число 181 Доказательство. Если и„ив вещественны, то и, + ияю = [и,, 0[+ [и, 0[ [О, 1[ = =[и„О!+[ив ° 0 — 0 ° 1, ия ° 1+О 0)= = [и„О[ + [О, и [ = [и„иа[.

Теорема 301 делает излишним употребление символа [ [. Комплексные числа — это числа и, + и ю, где и, и ия вещественны; равным, соответственно различным парам и„ия соответствуют равные, соответственно разллчные числа, и сумма, разность, произведение двух комплексных чисел и, + ияК и, 1; оаю (где и„ию, о„оя вещественны) образуются по формулам ( +ие)+(о +~~1)=(,+~,)+(ия [-~~)', (и, + ия!) — (ею + ояю) = (и, — о,) +(ия — оя) ю, (и, + ив)(ею+пег)=(ир, — иаое) + (ира+ ир ) ю'. При этом нужно запомнить дюже не сами зти формулы, а только то, что вычисления с комплексными числами подчиняются тем же законам, что и вычисления с веществеююныии числами, причем, кроме того, имеет место теорема 300; тогда указанные выше формулы для суммы, разности и произведения двух комплексных чисел получаются следующим простыв вычислением: (и, + ия!) + ( о, + ояю) = (и, + о,) + (ияю'+ о ю) = = (и + ою) + (ив + о. ) ю', («, +ююя') (ею+от) =(и,— ою) +(ияю — эя() = = (и, — ою)+(ия — оя) ю', (и, + иею) (ою + оюю) = (и, + иаЮ) ею + (и, + ивю) о: = = и, о, + изгою + и, ояю + иеюоаю = = ир, + ир,ю'+ и,гюяю+ иаояюю'= = июою+ ивою(+ июоа!+ ивов( — 1) =- = (ир, — иа"а) + (иря+ ияо,) ю.

182 Глава 5 Что касается деления, то в предположении, что о, и па не оба равны нулю, вычисление дает следуюдее каноническое, в смысле теоремы 301, представление частного двух комплексных чисел: и1 + ив! (а, + и,!) (и, — и,!) и + ие! (и!+ ие!) (ит — ит!) (ивов + ивов) + ! — (и!ив) — иви!) ! (и!и! + и' иа) + ( — (игив) + иеи!) ! (ивов -)- аеи ) + ( — (и1ие) + иеив)! Овиг + и,иа иви! + ивов + — (и,ив) + и,и, . !.

о~и1 + ивие иги, †', иаи, .

Характеристики

Список файлов книги