Ландау Э. - Основы анализа (947420), страница 15
Текст из файла (страница 15)
н=- ь Обычно вместо Х Г(п) пользуются также небрежной записью 1(у) + 1(у+ 1) +... + 1)х) Глава б 1б8 (и аналогично для произведений); однако вполне безу- пречна лишь, например, запись [(1) + [(1 + 1) 4-[((1 + 1) [- 1) + + [(((1 + 1) + 1) + 1), другими словами, а+Ь+с+Ь, что, таким образом, по определению сводит дело к ста- рому сложению и означает ((а [- Ь) + с) + Ь, либо, например, запись а Ь с Ь [8 Ь (11 си в р а т [1 и ь ю т р 1.
Можно также спокойно писать, например, а — Ь+с в смысле а 1-( — Ь)+с, так как под такой записью всегда понимается [(1)+[(1+1)+[((1+ 1)+1) с [(1) = а, [(1 + 1) = — Ь, [((1 (- 1) + 1) = с. Теперь строчные латинские буквы будут снова обозначать положительные целые числа. Теорема 287. Если [(и) определено при п (х, то существует Е такое, что х [ Х [(п)~ <й, ~ [$[(п)$, О) = [Я, О!.
в=с Доказательство. Пусть % — множество тех х для которых такое Е существует (при любом [(п)). Колеилеиенме числа 1) Если 1(1) определено, то 1 ! „'5', ](л)! = ] Ц1)], 1 ч; ] ] Цл) ], О] = [] ((1) ], О]. Поэтому при х= 1 требуемым свойством обладает Е=]Н1)] Таким образом, 1 принадлежит множеству []И. !1) Пусть х принадлежит %. Если 1(и) определено при и ~( х+ 1, то существует Б такое, что ! Х Н)!--:Е, ;„[] ц ) [, О] = [Е„О]. и=а Но, согласно теоремам 278 и 271, а+г ж !Л (()!=!Х И)+(( +1)!< <! ч'„(( )]+]1( +1)]4=" +[[(~+1) ю=г Следовательно, положив Б = Я, + !](х + 1)], будем иметь а+г ! Х [(и)! <Е.
С другой стороны, по теореме 278, х+г а .К []1(и)], 0] =,5, [[](л)], 0] + []1(х+1)], 0] = = [Ео О ] + [][(х+ 1) (, О] = [Е, + ]](х + 1)], 0 + 0] = [Б, О]. 170 Глава о Таким образом, Е обладает требуемыми свойствами длн случая х + 1. Следовательно, х + 1 также принадлежит множеству %, и теорема доказана. Теорема 288. Если 1(п) определено при п ( х, то [[ И 1(п)~, О] = и [[1(п)[, О[. Доказательство. Пусть И вЂ” множество тех х, для которых выполняется это равенство. 1) Если 1(1) определено, то в с [( П[(п) ~, О] = [)((1) [, О) = П [[1(п) ,', О[.
Таким образом, 1 принадлежит множеству %. 11) Пусть х принадлежит %. Если 1(п) определено при и ( х+ 1, то, в силу теорем 278 и 268, х+1 х П [[(~п)[ О[= П [[[(и)! О! '[[1(х+1)[ О[= х = [) Д 1(п) ~, 0] [ [1(х+ 1) [, О[ = =[[И[(п)~.[((х+1)[ — 0 О, я х ~ П 1(п)! 0 + 0 ° [[(х + 1)[[ = = [[ П [(п)~.[1(х + 1)[, 0] = х а+е = [] Д'[(п).((х + 1)~, 0] = [[ Д 1(п)[, О].
Слеловательно, Х + 1 также принадлежит множеству 8)1, и теорема доказана, Комплекснме числа 171 Теорема 289. Если !(и) определено при п (х, гпо П ((п) = п я=с тогда и только тогда, когда !(п) =и для некоторого п Сх. Доказательство. Пусть % — множество тех х, для которых справедливо утверждение теоремы.
!) Равенство 3 П !(п1= И в=г тождественно с !(1) = и. Таким образом, ! принадлежит множеству %. !!) Пусть х принадлежит !Й, Равенство х+г П !(и) =п означает, что х П ! (п) ! (х + 1) = и; п=г но по теореме 221 для этого необходимо и достаточно, чтобы П ((и) = п или !(х -(- 1) = и, т. е. (так как х принадлежит множеству %) — чтобы !(и) и при и (х или при п=х+1. Таким образом, х+1 также принадлежит %, и теорема доказана. Глава б $9, СТЕПЕНИ В этом параграфе строчные латинские буквы будут обозначать целые числа.
Определение 71. Д Т ири х)0, а=1 ири ~:;ь п, х=О, ири дл'=и, х(0. (Читается: т в степени х.) Таким образом, та не определено лишь при т=п, х(0. Заметим, что при ~„-Еп, х(0, согласно первой строке определения 71 и теореме 289, р~л! Ф п, е так что — в этом случае имеет смысл. Б~л Теорема 290. Если ~~:п, т фп. Доказательство.
Для х) 0 это следует из теоремы 289, для х = 0 — из определения и для х (0 — из того, что ах~~а~ Теорема 291. 1 Доказательство, т1=П~=1. а=1 Теорема 292. Если х)0 Комплексные числа 1УЗ или 1Фв, рФ11, (1Р)х — кахРх Доказательство. 1) Пусть„при фиксированнык т и р, Я вЂ” множество тех х) О, для которых (111) =1*О . 1) По теореме 291, (в)'=а =й' Таким образом, 1 принадлежит множеству %. 11) Если х принадлежит %, то кст к (в)*"=П (в) =П е). (в)=(гю )(е)- к к =(~*1) (Р*Р) =(П,~ ~) (ПР.Р) = ке1 к4-1 =П~ П О=1*"Р"' к=1 и, следовательно, х+1 также принадлежит й.
Таким образом, при х ) 0 всегда (Р))" = г*р". х= О, тфп, р а'=и. (тв)х= е се = в*в . х(О, 1 фи, р фи. 2) Пусть Тогда 3) Пусть Предварительное замечание. Обе части во всяком случае имеют смысл, так как при х (О, в силу предположения, тр о'= и. !74 Глава 5 В силу 1), тогда (в1)У«~ — ~~«19~«~ и„ следовательно, с с с с (а«)м аФ1а~«~ а;«~ е~«~ (В) =Т Ю*. Теорема 293. с*= с. Доказательство.
В силу теоремы 292, с с=с =(сс) '=с с, и = с'св — с"с = с '(с* — с), следовательно (в силу теоремы 290 н 221), с* — с=и, с*= с. Теорема 294. Если х>о,у>О или $Фп, гло ~и ~«+ в Доказательство. 1) Пусть х>О, у>О. Тогда, в силу теоремы 281, «г «Фу 7*1" = и 7, ' И 3 = и 3 = ь « =1 й=1 «=! 2) Пусть причем либо х~~ О, либо у (О.
Нохсллехеные ввела а) Пусть . <0, у<0. Тогда, в силу 1), ~аксу) ф~~~~у = ф 1 и с с с С~у ~х~ ~у~ вв ве ухну $ ~х еу~ р) Пусть х>0, у<0. Тогда гх $*Р = 3* — —— ~у~ А) При х) ~У(, х=1У~ имеем: — = с = те = ~к+ е. С) При х<!у~, в силу 1), имеем: а~ ахс с х-1у1 — хсу $ г х ии х 1у1-и )у1-х е $ Т) Пусть х<0, у~0, Тогда, в силу ))), тхси =есина — еуск еке-в е) Пусть х=0.
в силу 1), имеем: к 1у1 х-1у1 $ к ~у) ~а+В ~!у~ ~у~ В) При Глава 5 Тогда тххх Еху — ту — хвву — тхВу. в) Пусть х фО, у=О. Тогда, в силу 6), ~х~у — у~х — вту+ х тих+ у Теорема 299. Если ~фи, лво $х ~х-у ву Локазательство. По теореме 294, тх-угу — ~(х-у)+у тх. так как при этом, по теореме 290, ту„-Е п, гио Вв — ~х у ,у Теорема 296. Если т ФИ лго Доказательство. По теореме 295, ао — '= — =1- =Г* ях тх Теорема 297. Если л>о,у>о или Юу=~ . Комплексные кисла 177 Ло казательство.
1) Пусть х=п, к)О, у О. Тогда, по теореме 289, (Ех)У = (П ')У = ПУ = П = Пхв 2) Пусть т ф и. а1 Пусть т, к фиксированы и % — множество тех у.х О, для которых (хнх)У вЂ” Ехе (тхх)1 ххх — Хх ° 1 Таким образом, 1 принадлежит множеству 99. П) Пусть у принадлежит л11. Тогда, по теореме 294, (ххх) У+ 1 — (ххх)У(ххх) à — ннхаххх — хххУ+ х ххх 1У+! ) и, аналит, у+ 1 также принадлежит Я. Таким обрааом, при у > О утверждение теоремы справедливо. Ь) Пусть у=о. Тогда 17 ')У = Е = У'У. с) Пусть Тогда, в силу а, (ххх);У~ — хххааа! и> следовательно, по теореме 296, (~х)У = - — =.— — = — = ~-ех1УЭ = тхУ. е е е = (ах)-У вЂ” (ахун 12 Знх.
749. В. Ландау. 178 Глава 5 $10, ВКЛЮЧЕНИЕ ВЕН[ЕСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ Теорема 298. [Е+Н, 0) =[Е, 0)+ [Н, 0); [Š— Н, 0) = [Е, 0) — ]Н, О); [ЕН, О) = [Е, 0] [Н, 0); Г ~-'. — 0)= — "' при Н+ 0; Я '1 [Я, 0] н ] [н, о] [ — Е, О) = — [Е, 0); ][Е, 0) ]=]ьЕ]. Д о к а з а т е л ь с т в о. 1) [Е, 0) + [Н, О] = [Е+ Н, О+ 0) = [Е+ Н, 0]. 2) [Е, 0) — [Н, 0) = [Š— Н, 0 — О] = [Š— Н, О]. 3) [Е, 0][Н, 0] = [ЕН вЂ” 0.0, Е.0+0.Н[ = — [ЕН, 0]. 4) В силу 3), при Н ~ 0 имеем: [Н, О) ~=„, О~=~Н вЂ” „,О~= [-., О], 5) — [Е, 0) = [ — Е, — О] = [ — Е, 0[. 0)!Е;]=У']Е~]Е~= У'иЕ=У'ЕЕ+О О=] [Е, О), Теореме 299. Кольплепсные числа вида [х, 0) удовлетворяют пяти агсиолеале для натуральных чисел, если за 1 принять [1,0] и положить [х, О]'= [х', О].
й о к а з а т е л ь с т в о. Пусть [Д[ — множество чисел ]х, 0), 1) [1, О] принадлежит множеству Щ. 2) Вместе с [х, 0) также [х, О)' содержитсн в Ц]. 179 Коаилеисиме числа 3) Так как всегда х' -.с'= 1 [, 0[Ф-[~, О[, [х, 0[' †.~: [1, О[ 4) Из [х, О[' = [у, О[' следует: [х, О[ =, [у', 0[, х =у, х=1', [х, О[ = [у, 0[. 5) Пусть множество [Щ чисел из Я[ обладает следующими свойствами: 1) [1, 0[ принадлежит множеству [Й[. Н) Если [х, 0[ принадлежит [И[, то и [х, 0[' прииздлежит [Щ.
Обозначим через % множество тех х, для которых [х, О[ принадлежит [!Й[. Тогда 1 принадлежит % и вместе с каждым х из И также х' принадлежит %. Следовательно, каждое положительное целое число к принадлежит множеству 811 и, значит, каждое [х, 0[— мночкеству [!И[. Тзк как, в силу теоремы 298, между понятиячи суммы, разности, произветения и [в случае его существования) частного двух чисел вида [Б, 0[, с одной стороны, и аналогичными понятиями для вещественных чисел, с другой стороны, имеется полное соответствие и то же верно для символов — [Б, О[ и [[Б, 0[[, и так кач мы можем принять в качестве определения, что [Е, О[ ) [Н, 0[ прн = » Н, [Б, О[ С [Н, О[ при Е ( Н, то, таким образом, комплексные числа вида [Б, 0[ обладают всеми свойствами, доказанными нами в гл. 4 для вещественных чисел, и, в частности, числа [х, О[— 12" Глава б всеми свойствами, доказанными для положительных целых чисел. Поэтому отбросим вещественные числа, заменим их соответствующими комплексными числами [Е, О[ и будем иметь дело только с комплексными числами.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
