Ландау Э. - Основы анализа (947420), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Теорема 172. Из Я < Н, Н < Е или Б <Н, Н< Е следусгн Я ( Е. Док азате л ьст во. При знаках равенства в предположении — очевидно, в противном случае — уже установлено теоремой 171. Теорема 173. Из К < 11, Н<Х Я (Е следует Определение 49. Если Е <0, Д оказател ьство. При двух знакзх равенства в предположении — очевидно; в противном случае — уже установлено теоремой 172. Вещественные числа 107 аго и называетеа рациональным, когда 2=0, либо когда ' < 0 и ~ о ~ рационально.
Таким образом, мы имеем теперь положительные рациональные числа, рациональное число 0 и отрицательные рациональные числа. Определение 60. Если 2<0, 1+Х= У 1=У вЂ” Х; следовало бы а — (с + Х) в таком случае всегда — отрицательное иррациональное.) Определение 51. Если Я <О, то ы называетсн целым, когда Б=О, либо когда а<0 и ! Б! — целое.
Таким образом, мы имеем теперь положительные целые числа, целое число 0 и отрицательные целые числа. Теорема 174. Каждое целое число рационально. то и называетсн иррационпльным, если оно не рационально. Таким образом, мы имеем теперь положительные иррациональные числа и отрицательные иррациональные числа. 1Числа с — Да; мы указали одно иррациональное 1, но тогда н всякое положительное число 1+Х иррационально, так как из 1'лава 4 108 Доказательство.
Для положительных чисел мы это уже знаем; для числа 0 и отрицательных чисел это следует из определения 49 и определения 51. $ 3. СЛОЖЕНИЕ Определение 32. — ()Б!+!Н), когдаЕ<0, Н<0; д — ,'н~ ~е! > !н~; О, длЕ>О,Н<О, 1Б!=~н!; — ()Н,'— )Б1) (Е)< ~н~', Е+Н =— , когда Б<О, 1? > 0; , когда Е= О; , когда Н= О. (-)- читается: плюс.) Е+ Н называется сумлгой чисел Е и Н или число.и, по гучаеоигггмся путем прибавления Н к Б.
По поводу этого определения заметим: 1) Для Б>О,Н 0 мы имеем понятие Б+Н уже из определения 34. 2) Это понятие использовано также в определении 52. 3) В третьем случае рассматриваемого определения используется понятие суммы из второго случая. 4) Четвертый и пятый случаи перекрываются, когда Б =Н= 0„ но тогда и число, определяемое как сумма Е + Н, одно и то же (а именно, 0). Теорема 173 (закон коммутативности сложения). Е+ Н Н+Б. До каза тел ь ствО. При В=О Всщсс1лвснлив числа оба числа равны Н; при Н=О оба равны Е. При Е)0, Н) 0 приходим к старой теореме 130. При Ес.,О, Н 0 имеем, по теореме 130, Е+Н= — (1Е~+~Н1)= — ~~Н!+!Е11=Н+Е.
При Е<0, Н)0 утверждение теоремы было принято прямо аа определение. При Е>О,Н 0 имеем, по предыдущему случаю, Н+Е=Е+Н, и, следовательно, Е+Н=Н+Е. Определение БЗ. 0 ари Е=О, ~Е! ири Е(0. Е ( — читается: минус.) Заметим, что при Е) 0 мы имеем понятие — Е уже в определении 43. Теорема 176. Если Е > О, слота. Е=О, соотв.
Е(0, гио — Е (О, соосив. — Е = О, соотв. — Е > 0 и обратно. Глана 4 Локазательстпо: определепия 43 и 53. Теорема 177. — ( — Е) = -'. до к аз а тел ь ство: определения 43, 44 и 53. Теорема 178. ! — Е1= ~ Е ' Но к азательс тв о: определения 43, 44 и 53. Теорема 179.
Е+( — Е) = О. Локазательство: определения 52, 53 и теорема 178. Теорема 180. — (Е+ Н) = — Е+ ( — Н). Доказательство. По теореме 175, имеем — (Е + Н) = — (Н + Е) — Е+ ( — Н) = — Н + ( — Е), поэтому без ограничения общности можно предполагать, что Е>Н; — (Н+ Е) = — Н+( — Е) тотчас следуег — (Е + Н) = — Е + ( — Н).
Пусть, таким образом, : )~ Н. Е~б, Н>О, — Е+( — Н)= — (Е+Ц) 1) Если то действительно, имеет место, по крайней мере, одно из соотношений Е>П, Н>Е, а из 1!2 рлаеа е то Н<О, ="+ Н = — (! ="1+ ! Н ~ ), Ы-( ( — Н)=~З~+~Н~= — (З+Н). Определение 54. " — Н = Б + ( — Н1. ( — читается: минус.) Я вЂ” Н называется уазностью Б минус Н или числом, получающимся аьнием вычита- нии Н из Б. Заметим, что (как это и должно быть) определение 54 при Б)Н)0 согласуется с нашич старым определением 35.
Действи- тельно, тогда Б>0, — Н<0, 1Б(>! — Н~, Е '-( — Н) ~З~ — ~ — Н~ З вЂ” Н. Теорема 181. — (Я вЂ” Н) = Н вЂ” Б . Доказател ьс тво. По теоремам 180 и 177, имеем — (и — Н) = — (Б + ( — Н)) = — Я +( — ( — Н)) = Я ~-Н=Н+( Е)=Н 2. Теорема 182. Из Я вЂ” Н>0, соотв. Б — Н= О, соотв. З вЂ” Н < 0 еледуеги Я>Н, соотв. Б = Н, соо)ив. Е<Н и обратно. Доказательство. Так как — Н также является произвольным вещественным числом, то вместо — Н можно писать Н и, следовательно, доказывать равносильность соответственных случаев для Б+ Н > О, соотв. Б+ Н = О, соотв, Н+ Н < 0 Пз Вещественные числа Е> — Н, соотз. Е= — Н, соотз.
Е< — Н. Если тогда Е = О или Н = О, то утверждение теоремы очевидно. Если же нн Е, ни Н не равно нулю, то я случае Е О,Н)О и з трех первых случаях определения 52, если третий разбить на три подслучая 1Н~>!Е~, 1Н~=)Е!, ~Н~<~Е~, мы оудем и я предположении и и утверждении иметь, соотзетстзенно, анаки ><>=<>=<. Теорема 183.
Ив Е) П, соотв. Е=Н, соотв. Е <Н следует — Е < — Н, соотв. — Е =- — Н, соотв. — Е > — П и обратно. До к а з а т е л ь с т я о. По теореме 182, первое соотзетстнует случаям Š— Н О, соотя. Š— Н = О, соотз. Š— Н < О, а второе †случа — Н вЂ” ( — Е) ) О, соотз. — Н вЂ” ( Е) соотз. — П вЂ” ( — Е) < О; но — П вЂ” ( — Е) - — Н+( — ( — Е)) = ц.
и = Е + ( — Н) = Š— Н, Теорема 184, Каждое вещественное число может быть аредселавлено в виде разносиьи двух иоложагиельных чисел. я зая. 74а э. ландау. !!4 Глава 4 Доказательство. 1) Если Е>0, то Š— (Е! 1) 2) Если Е=О, то Е=1 †] 3) Если Е< 0, — Е=!-(=(! ' ! +1) — 1, -= — ((!Е!+1) — 1)=1 — (! !+1). Теорема 185.
Из -"=Ег — э Н=% — Ъ Е следует Е + Н = (Е, + т~,) — (Е, + т~з). До ка за те л ь ст в о. 1) Пусть Е>0, Н>0. Так как ("-!-1)+(1+8)=( +Р)+(8+1)= -((«+Р) ~-а) !-т=т-,-( -!-(Р+8)) = = (1 + а) + (!1 -!- 8), то тогда (Е+Н)+(Еа !- Оз) Е,+ть, и, значит, утверждение теоремы справедливо. 2) Пусть Е<0, Н<О. Тогда, по теореме 181, Ез — Е,= — =>О, Оз — е,= — Н>О, Вещественные числе и, значит, в силу 1), =.+( — Н) =(Е,+,а) — (Е, )-~,), Я+ Н= — ( — Б+ ( — Н)) = (Е, + ть) — (Ев+ иа). 3) Пусть я>о, нсо, Е,— Ев> О, т1в — тн > О. Н>~Н', Е, — Ев >ч1, — ~„ так что А) Если то н, следовательно, Е1+%=((Ее Ев)+ Ев)+%=(Е1 ЕЯ)+(Ее+то) =(!в+ т11)+(се — Ее) = =(Е +11)+((1а — 1),:-((Е~ — Ев) — () -- 1)))= = ((Ев + т1,) + (т1в — ъ1,)) + ((Е, — Ее) — (ив — ть)) = = (Еа + ('Е1 + ( ъ — 1))) + ((Š— Ев) — (~ — л1') = = (Ев + ив) + ((Е, — Ев) — (т1а — в,)), (Е, + т1,) — (Е, + т1в) = (Е, — Е,) — (т, — т1,) = = л — ~ Н ~ = Е + Н.
В) Если Е(~н(, Н=~Н!, Е,— Е, = ив — т1„ так что то, в силу А), Я +Н = — ( — Н+ ( — о)) — (й~ — тд)+ (Ев — Е )) = — ((та + Е ) — И1+ Е,)) = (т)~ + Е ) — (ив + Е,) = =(Е1+ ~,) -(Ев+ ъ). С) Если Глава 4 1!6 то Ев =- Ег+ Иг г!г! Е! + г!! = Ег + т! Е+ Н= 0=(Ев+ъ1,) — (Ее+ т 1. 4) Пусть Я(0, Н>0. Тогда, в силу 3), Н+ К =(~!+ Е ) — (тг+ Ег)„ а + Н = (Е, + то) — (Ег + т,а). 5) Пусть Я О. Тогда Е,=Е„ и+ Н=Н. а) При имеем (г! тг) + (Е! + гг) = ((т!! т!г) + т!г) + Е! = т1, + Е, = Е, + ч1„ Н = ч1, — т!г = (Е, + в!) — (Ег+ г!г) = (Е, + та) — (Ег+ в!г). Ь) При тЬ = "гг имеем Н = О = (Е, + „) — (Ег+.!г). с) При тм Ст!г в силу а), имеем — Н = т!г в!! = (Ег+ в!г) — (Е, + т1,)) Н= — ( — Н)=(Е,+ти) — (Е,+;,).
6) Пусть Н О. Веигественные числа 117 Тогда, в силу 5), Е+П=Н+-=(ти+Е,) — (1э+Еа) = = (Е1+1~) — (Ея+ а). Теорема 186 (закон ассоциативности сложения). (Е + Н) + Е = Е + (Н + Е). До каза те льот во. Согласно теореме 184, имеем Е=Е,— Е,, Н=ч1,— ч1з, Х Е,— Ея. Тогла„по теореме 185, получаем: (Е+П)+к=((Е, +~,) — (Е,+~1,1)+(Е,— Е,)= = ((Е, + ти) + Е,) — ((Е, + ъ1з) + Еа) = = (Е, + (с, + Е,) ) — (е, + (ъ + Ез)) = (Ес Ея) +((тп+гс) (ч1а+ Еа)) =Е+ (Н+ Е) Теорема 187.
При заданных Е и Н уравнение Н+Т=Е имеет точно одно решение, а именно, Т = Š— Н. Доказательство. 1) Т=Š— Н есть решение, так как, по теореме 186, П + (Š— Н) = (Š— Н) + Н = (Е + ( — 11)) + Н = = Е + ( — Н+ П) = Е + О = Е. 2) Из Н+Т=Е следует Š— Н = Е + ( — Н) = — Н + Е = — Н + (Н + Т) = ( — н + н) -~- т = о + т = т.
Глава 4 Теорема 188. Соотношение Б+ Х>Н+Е, соогнв, Я+ Х=Н+Х, соотв. К+Х(Н+Х имеет леесто тогда и только тогда, когда вылол- няется соотвегиственное соотношение Е>Н, гоств. Е =Н, гоств. Я<Н. Доказательство. По теореме 182, соотношения из первой строки равносильны соответственным соотношениям (Н+ Х) — (Н+ Х) > О, . (8+ Х) — (Н+ Х) = О, соотв. (Б + Х) — (Н + Х) . 0; и из второй строки — соответственным соотношениям Б — Н>0, соотв. Б — Н= О, соогив.
Я вЂ” Н(0. Но (Н + Х) — (Н + Х) = (Б + Х) + ( — Х + ( — Н)) = =(к+(Х+( — 7)))+( — Н)=Е+( Н)-Я Н. Теорема 189. Из Я)Н, Х>Т следует е+Х) Н+Т. Доказательство. По теореме 188, Н+Х)Н+Х н Н+Х=Х+Н>Т+Н=Н+Т, следовательно, К + Х )Н + Т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
