Ландау Э. - Основы анализа (947420), страница 6
Текст из файла (страница 6)
Если Š— рациональное чис.ю, соответс~лвуюисее дроби —, то х у уЕ= х. Доказател ьств. —— а ух ху х '!у !у 1у Дроби Определение 27. Рациональное число 17 из теоремы 110 называется часгпным Х по 1' или рациональным числом, получагощимся путем деления Х на У'. Оно Х будет обозначаться через — (читается: Х на )с). Если Х и 1' — целые числа, Х= х, у'=у, то понимаемое в смысле определений 26 и 27 рациональное число — означае~, в силу теоремы 114, класс, котоу рому принадлежит понимаемая в старом смысле дробь х х †.
Смешения обоих символов — не следует опасаться У У так как в будушем дроби отдельно не будут встречаться; впредь — буде~ всегда обозначать рациональу ное число. Обратно, каждое рациональное число в силу теоремы 114 и определения 27, можно представить в виде у Теорема 115. Для калсдых двух заданных Х и г' существупп е такое, чгпо еХ> У, Г Д о к а з а т е л ь с т в о.
— есть рациональное число. Х по теореме 89, сугцествуют (на нашем новом языке) целые числа е, э такие, что В силу теоремы 111, ю)~1. Следовательно, по теореме 105, гХ = Хг = Х( — о ) = ~ Х вЂ” ) и ~~ (Х вЂ” ) 1 =- е 1' =Х вЂ” )Х вЂ”, = 'г'. о Х Глава 3 СЕЧЕНИЯ $ !. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Определение 28. Множество рациональных чисел называется сечением, если: 1) оно содержит рациональное число, но не каждое рациональное число; 2) каждое содержащееся в нем рациональное число меньше каждого не содержащегося; 3) в етом множестве нет наибольшего рационального числа (т. е. числа, большего каждого возможного другого, отличного от него, числа этого множества). Само множество называют таьэке нижним классом, множество не содержащихся в нем рациональных чисел — верхним классом, и соответственно говорят о нижних и верхних числах относительно данного сечения. Строчные греческсе буквы всюду, где не оговорено противное, будут сбозначать сечения.
Определение 29. ( = читается: равно), если каждое нижнее число относительно г есть нижнее число относительно т1 и каждое нижнее число относительно ц есть нижнее число относительно Е Другими словами: когда оба множества совпадают. В противном случае 1~ т1 (чь читается: не равно). Из этого определения тривиальным образом вытелают следующие три теоремы: Сечения 69 Теорема 116. с, Теорема 117. Из 1 = т1 следует Теорема 118. Из Е=~Ъ '6=" следует 'Теорема 119.
Если Х вЂ” верхнее число относительно Еи Х,>Х, то Х, —, также верхнее число относительно Е. Локазательство. Следует из условия 2) определения 28. Теорема 120. Если Х вЂ” нижнее число отнссилгелвно Е и Х,<Х, то Х вЂ” также нижнее число опсносительно .". Локаза т ел ьство. Следует из условия 2) определения 28. Разумеется, и обратно, требование теоремы 120 тождественно условию 2) определения 28. Таким образом, для того, чтобы доказать, что некоторое множество рациональных чисел есть сечение, достаточно показать, что: 1) оно не пусто и, вместе с тем, существует рациональное число, не лежащее в нем; 2) вместе с каждым его числом в нем содержится и всякое меньшее число; 3) для каждого нз его чисел в зеи содержится и некоторое большее число, то Глава 3 ф 2.
ПОРЯДОК Определение 30. Пусть с и ч1 — сечения; тогда Е>1 () читается: больше), если существует, нижнее число относительно Е, являющееся верхним числом относительно я. Определение 31. Пусть с и т1 — сечения; тогда Е С ч1 (( читается: меньше), если существует верхнее число относительно Е, являющееся нижнилг числом оигносительно т1, Теорема 121. Из следуегл Д о к а з а т е л ь с т в о. Существует верхнее число относительно тн являющееся нижним числом относительно Е. Теорема 122. Из 1 ~т, следуегн т1) с. До к а за те л ь ство. Существует нижнее число относительно т1, являющееся верхним числом относительно Е. Теорема 123.
Длн любых двух сечений Е, т1 имеет гиесто один и только один из следующих ягрех случаев: с=я, Е>п, Е<я. Доказательство. 1) Соотношения Е=т1 Е)ч1 несовместимы в силу определений 29 и 30. Соотношения Е( ч несовместимы в силу определений 29 и 31. Сеченая 71 Е>ть Е<ч1 следовало бы существование нижнего числа Х относительно Е, являющегося верхним числом относительно ч1, и верхнего числа У относительно Е, являющегося нижним числом относительно чь В силу условия 2) определения 28, мы должны были бы иметь тогда одновременно Х(Г, Х>1', Следовательно, может иметь место, самое большее, один из указанных трех случаев. 2) Если ЕФ то нижние классы рассматриваемых сечений не совпалают. Такии образом, либо некоторое нижнее число относительно Е является верхним числом относительно ч1, и тогда Е> чь либо некоторое нижнее число относительно ч1 является верхним числом относительно Е, и тогда Определение 32.
Е > л означает Е>ч1 или Е= л. ()~ читается: больше или равно.) Определение 38. Е (ч1 означает Е <ч1 или Е=чь Е ( читается: меньше или 1.авно.) Теорема 124, 77з Е) ч1 Глеел 3 сл сдута т~ . Доказательство: теорема 121. Теорема 125. Из Е<л следует До к а з а те л ь с т во: т'ореиа 122. Теорема 126 (т апзитивность порядка). Из Е<ть 'й Е следуслс Доказательство.
Существует верхнее число Л' относительно Е, являющееся нижним чяслом относительно ч, и верхнее число У относитсльно ть явля1ощееся нижним числом относительно ".. Вследствие свойства 2) сечения и, имеем Х<1, так что 1' есть верхнее число относителыю Е Поэточу Е<".. Теорема 127. Из Е<ть 1 <". лгп Е< с, следует Е<"..
Доказательство. При знаке равенства в предположении — очевидно; в противном случае — уже установлено теоремой 126. Теорема 128. Из Е< и ч<"- следует 73 Сечения Д о к а з а т е ль с т в о. При двух знаках равенства в предположении — очевидно; в противном случ:е— уже установлено теоремой 127. $3. СЛОЖЕНИЕ Теорема 129.
1) Пусть 1 и ч! — сечения. Множество рациональных чисел, представимых в виде Х -,'- 1; где Х вЂ” нижнее число относительно 1, а 1'— нижнее число относительо ч1, есть сечение. !1) Иияагсое число етого множетпва не может бюль яредслгавлено в виде суммы верхнего числа огиносиигельно ! и верхнего числа относительно ть Доказательство. 1) Пусть Х вЂ” какое-либо нижнее число относительно 1 и У' — какое-нибудь нижнее число относительно в, тогда Х+ 1' принадлежит рзссматриваемому множеству.
Если же Х,— какое-нибудь верхнее число относительно 1, Г, — какое-нибудь верхнее число относительно ч1, то дла всех нижних чисел Х, соответственно у относительно 1, соответственно ч1 имеем Х<Х» 1'< Ум н, следовательно, Х . ~- У < Х, + У„ Х,-'„1;чьХ+ у. Таким образом, Х, + 1; не принадлежит рассматривае- мому множеству. Тем самым попутно уже доказано и Н). 2) Нам нужно показать, что каждое число, меньшее некоторого числа нз рассматриваемого множества, также принадлежит этому множеству. Пусть, таким образом, Х вЂ” нижнее число относительно 1, 'г' — ниж- нее число относительно ч! н л<Х+ К Тогда !Х-г у) — < !Х у).1 Глава 3 следовательно, по теореме 106, Е Х-«- «'< 11 значит, по теореме 105, Х- — „<Х ° 1=Х «',<У' 1=1'; это означает, в силу второго свойства сечения в при.
2 менении к 1 соответственно а, что Х вЂ” соотХ+ «" Х ветственно «' — есть нижнее число относительно 1, Х+ «' соответственно ч«. ««о суммой этих двух рациональных чисел служит заданное Я: Х У, Х х+ «+ Х+ у= (Х )- «) х+ «'= ~' 3) Пусть задано какое-нибудь число из рассматриваемо~о множества. Оно имеет вид Х+ «; где Х— нижнее число относительно с, а «' — нижнее число относительно ч«. В силу третьего свойства сечения, суптествует нижнее число относительно Ц тогда Х, + « > Х+ У, так что рассМатриваемое множество содержит некото- рое число >Х + «'. Определение 34. Сечение, построенное в теореме 129, обозначают 1+а (+ читается: плюс).
Оно назыеоетсн суммой сечений с и ч«или сечением, лолугаюсйимсн путем прибавлении ч«к 1, Сечения 75 Теорема !30 (закон кочмутативности сложения). :.+ 1= !+1. Доказательство. Каждое Х 1- 'г' есть также 1'+ Х и обратно. Теорема 131 (закон ассоциативности сложения). (1-!-»)-д-г=с+("! '-"-). Дока з а т е л ь с т в о. Каждое (Х + 'г) + л есть также Х + (!'+ л) и обратно.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
