Ландау Э. - Основы анализа (947420), страница 2
Текст из файла (страница 2)
Чтобы по возможности облегчить труд читателю, я некоторые (не очень объемистые) множества слов повторял в нескольких или всех главах. Разумеется, Предисловие для знатока Эта книжечка является уступкой коллегам (к сожалению, составляюшим большинство), не разделяющим. мою точку зрения на следующие вопросы. В то время как в школе, разумеется, приходится откаааться от строгого построения элементарной математики без всяких пробелов, математическое преподавание в высшей школе должно знакомить слушателя не только с материалом и результатами, но и с методами доказательств.
Лаже тот, кто изучает математику главным образом ради ее приложений к физике или другим наукам и кто поэтому часто вынужден самостоятельно разбираться в новом математическом материале, может лишь тогда уверенно сойти с протоптанной тропы, когда он научился ходить, т. е. различать неверное от верного, предположения от доказательств (или, как некоторые изящно говорят, †нестрог доказательства от строгих). Поэтому я в в согласии с некоторыми моими учителями и коллегами, с некоторыми авторами, из трудов которых я черпал, и с большинством моих учеников— считал правильным, чтобы студент уже в первом семестре узнавал, на каких основных фактах как на аксиомах можно без пробелов построить анализ и как это построение можно начать.
При выборе аксиом, как известно, можно поступать различным образом, Поэтому я считаю отнюдь 16 Лредислоеие Если же тому или иному коллеге другого направле.ния весь этот материал покажется даже настолько простым, что ои включит его в свои лекпии для начинаюшях (придерживаясь предлагаемого мною или какого- либо иного пути изложения), то этим я достигну всего, на что только мог осмелиться. эдмунд ллндьу Берлин, 2В сенпсября 1929 г. Глава т НАТУРАЛЬНЫЕ ЧИСЛА % 1, АКСИОМЫ Мы считаем заданным: некоторое множество, т. е.
совокупность вещей, называемых натуральными числами, с перечисляемыми ниже свойствами, называемыми аксиомами. Предпошлем формулировке аксиом несколько замечаний, относящихся к употребляемые нами символам и ф, Строчные латинские буквы обозначают в втой книге всюду, где не оговорено противное, натуральные числа. Если задано х и задано у, то либо х и у — одно н то же число; это можно записать также в виде (= читается: равно); либо х и у — не одно и то же число; это можно записать тзкже в виде х гГУ ( Г читается: не равно). Отсюда чисто логически вытекает: 1) х=х для каждого х.
2) Из следует 3) Из х=у, у=а следует Таким образом, аапись вида а 6=с=а, 2 Зап. 74К в. ляялау. Глава 1 под которой непосредстве«но подразумевается лишь, что а=(«, ««=с, с=И, овна«аег, кроме того, что, напоивер, а=с, а=Ф, 1«=б. (Соответствую«цие заяечания относятся и к аналогичным записям в последующих главах.) Мы принииаеи теперь, что множество нагуральных чисел обладает следу«ощими свойства««и: Аксиома 1. 1 ес«пь натуральное число. Т. е.
наше множество не пусто; оно содержит вещь, ниевуему«о 1 (читаегся: единица). Аксиома 2. Для каждого х ил«естся точно одно нгтуральное число, называемое его последу«о«иам и обозначаемое х'. При записи последующих для чисел х, зтданчых не в виде одной буквы, мы будем, во избежание путаницы, заключать последние в скобки. Аналогично мы будем поступать во' всей книге и при записи выражений х+у, ху, х — у, — х, хв и т.
п. Из следует также Аксиома 3, Всегда х'ф1. Т. е. 1 не служит последующчм пи для какого числа. Аксиома 4. Из х' =у' следует х у свойствами: 1) 1 принадлежит множеству И. 2) Если х принадлежит 9)1, то и х' аринадлсжит %. Тогда 2)1 содержит все натуральные числа. ф 2. СЛОЖЕНИЕ Теорема 1. Ив хну следует х' ф.у' Доказательство. В противном случае мы имели бы х =у и, с>едовательно, по аксиоме 4, х=у, х' ф х.
Теорема 2. Доказательство. Пусть 2)1 — множество тех х, дли которых это утверждение справедливо. 1) По аксиоме 1 и аксиоме 3, 1'ф1; следовательно, 1 принадлежит множеству й. 1!) Если х принадлежит ',й, то х' ф х, следов>тельно, по теореме 1, (х')' ф х', значит, х также принадлежит В. Глава 1 В силу аксиомы 5, Йс содержит тогда все натуральные числа, т. е. для каждого х имеем х' ф х.
Теорема 3. Если хф1, ао сутествуегп (и притом, по аксиоме 4, только одно) и гпакое, чао х= и'. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть % — множество, состоящее из 1 и тех х, для которых существует и, обладающее указанным свойством. По аксиоме 3, каждое такое !) 1 принадлежит множеству й. П) Если х прйнадлежит Я, то, понимая под и число х, имеем с / х =и, так что и х' принадлежит Ы. В силу аксиомы 5, 911 содержит тогда все натуральные числа; таким образом, для каждого существует и такое, что х= и'.
Теорема 4, одновременно Определение 1. Каждой паре нагпуральных чисел х, у можно, и притом лишь единственным образом, отнеспги натуральное число, обозначаемое х+у (+ читается: плюс), аак, чтобы: 1) х+1 х' для каждого х, 2) х+у' =(х+у)' для каждого х и каждого у„ х+у называеаея суммой чисел х и у или числом, получающимся путем прибавления у к х. 21 Иатуральнме числа доказательство. А) Покажем сначала, что если при фиксированном х можно определить х +у для всех у так, чтобы х+1=х' х+у = (х+у)' для каждого у, то этими условиями х+у определяется однозначно. Пусть ая и 6я определены для всех у и таковы, что Р а,=х, Ь,=х, ая~ = (а„)', бас —— (бк) для каждого у. Пусть % — множество тех у, для которых а„= Ья. !) а, = х' = 611 следовательно, 1 принадлежит множеству %. 1!) Если у принадлежит И, то а„= Ья, следовательно, по аксиоме 2, (а„)' = (Ья)', значит а„~ (ая)' = (Ь„)' = Ье, и, таким образом, у' также принадлежит Ч)1. Поэтому % есть множество всех натуральных чисел, т.
е. а„= Ья для каждого у. В) Покажем теперь, что для каждого х действительно возможно определить х+у для всех у так, чтобы х+1=х' х+у'= (х+у)' для каждого у. Пусть % — множество тех х, для которых такая возможность,(притом, в силу А, только одна) имеется, Гллвп ! 1) При требуемыми свойствами обладает х+у= у'. Лействительно, х+ 1 = 1' = х', х+ у' =. (у')' = (х+у)'. Следовательно, 1 принадлежит множеству %. 1!) Пусть х принадлежит %, так что х+у определено для всех у. Тогда х'+ у = (х+ у)' дает требуемую сумму для х'. Лействительпо, х'+ 1 = (х+ 1)' = (х')' х'+у'=(х+у')'= ((х+у)')' =(х'+у)'. Следовательно, и х' принадлежит %.
Поэтому И содержит все х. Теорема Б (закон ассоциативности сложения). (х + у) + « = х + (у + «). Локазатель ство. Пусть х и у фиксированы, и % — множество тех «, для которых верно утверждение теоремы. !) (х+у) + 1 = (х+у)' = х +у' = х+ (у+ 1), следовательно, 1 принадлежит множеству Л!!. !!) Пусть «принадлежит %. Тогда (х+у)+«=х+(у+ «!. следовательно, (х+ у) + «' = ((х+ )/) + «)' = (х+ (у+ «))' = = х+ (у + г)' = х+ (у+ «'), так что и «' приналлежнт Я. 23 Натуральные числа Тем саиым утверждение теоремы справедливо лля всех л.
Теорема 6 (закон коммутативности сложении). х+у= у+х. Доказательство. Пусть у фиксировюю и 1))!— множество тех х, для которых верно утверждение теоремы. !) Имеем у+1=у', с другой стороны, по построению, проведенному при доказательстве теоремы 4, 1+у =У. Следовательно, 1+у-у+1, так что 1 принздлежит множеству Я. П) Если х принадлежит П, то х+у= у+х и, следователыю, (х +у)' = (у+х)' =у+ х'.
Но по построению, проведенному при доказательстве теоремы 4, х'+у =(х+у)'. Следовательно, х'+у=у+х', так что и х' принадлежит Я. Тем самым утверждение теоремы справедливо для всех х. Теорема 7. уфх+у. Доказательство. Пусть х фиксировано и Я— множество тех у, для которых верно утверждение теоремы. Глава 1 1фх', 1 т'= х + 1; следовательно, 1 принадлежит множеству Я.
!!) Если у принадлежит И, то уфх+у, следовательно УФ(. +у)', у'Фх+у', так что и у' принадлежит а!!. Тем самым утверждение теоремы справедливо для всех у. Теорема 8. Из следует х ',-уф х-!-ю. Л о к а з а т е л ь с т в о. Пусть у, а — фиксированные числа такие, что у 4= и % — множество тех х, лля которых х -)- у ./: Х + 2. У4- ' 1+у4=1+а' следовательно, 1 принадлежит множеству Я, !!) Бели х принадлежит й, то х+уфх+а, следовательно, 1х + у)' ф (х + а) ', х +уфх'+а, так что и х' принадлежит Я.
Натуральные висли Тем самым утверждение теоремы справедливо при всех х, у, е, Теорема 9. Для любых заданных х и у имеет место один и только один из следуюи!их ньрех случаев: 1) х =у. 2) Существует (и, значит, по теореме 8,— только одно) и такое, тно х=у ~-и. 3) Суьйествует (и, значит, по теореме 8,— только одно) о такое, чисо у=х+о. Доказательство. А) По теореме 7, случаи 1), 2), равно как и случаи 1), 3), несовместимы. Из теоремы 7 следует также несовместимость случаев 2), 3); действительно, в противном случае мы имели бы х=у+ и=(х+ о)+ и =х+(о+ и)=(о+ и)+ х. Таким образом, может иметь место, самое большее, лишь один из случаев 1), 2), 3). В) Пусть х фиксировано и Ж вЂ” множество тех у, для которых имеет место один (и, значит, в силу А,— только один) из случаев 1), 2), 3).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
