Ландау Э. - Основы анализа (947420), страница 14
Текст из файла (страница 14)
Если 1(п) определено при и (х -~- 1, то оно определено тем самым и при и (х, так что здесь имеется, и притом точно олно, требуемое й (и). Тогда требуемыми свойствами для случая х -~-1 булет обладать выражение 1)м(п) пРи и (х, (х) + 1(х ~ 1) при п = — х+ 1. Действительно, во-первых, Ямы (1) = 6к(1) =1(1). Во-вторых, прн и(х (так как тогда и+ 1 <х) имеем: а, (и + 1) = о (и + 1) = б (п) ье 1 (и+ 1) гг (и) ее ((и + 1), а при п=х имеем: Ь ( + 1) = й (х) + (( + ) = р +г(п) г) ((и + 1), Таким образом, при и(х г 1 Глава 5 в обоих случаях получаем: д ет (и+ 1) = д „(и) + 1 (п + ц. Поэтому х+ 1 также принадлежит множеству Я, и Я содержит все положительные целые числа. Теорема 276.
Если 1'(п) определено при п (х+ 1, то дли соответспввуюших д (и) и д +, (и) имеет Место равенство д„, (х+ 1) = д,(х) 16 1(х+1). До каза тел ь с та о. Это равенство содержалось в самом построении д +,(и) в п. 2), П) доказательства предыдущей теоремы. Определение 69. Если 1(п) определено при п(х, то ~~„((п) =д (х) (=д (х)). Если т' означает +, то пишут если вр означает °, то пишут (~~~ ~читается: сумма; П читается: произведеиие.) Вместо и в этих символах может стоять также любая другая буква, обозиача1оцгая положительные целые числа.
Теорема 277. Если 1(1) определено, то с 7 1(и) =1(1). о=! .ц о к а з а т е л ь с т в о. дт (1) = 1(1). Комплексные число Теорема 278. Если Г(п) определено при п(х+1, псе з+1 з 7,Г ( ) = 7 Н ) + Г(х+ 1). Д о к а з а т е л ь с т в о: теорема 276. Теорема 279. ~~ т=[[х, О[. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть т фиксировано и 8)[в множество тех х, для которых выполняется утверждаемое равенство. 1) По теореме 277, т Х ~=~=~с=т[1,0[. Таким обрззом, 1 приналлежит множеству 811. П) Если х принадлежит !Й, то, в силу теоремы 278, в+с з ~~~ Х+т=т[х, О[+я[1, О[ = в=с в=1 = т ([х, 0[ + [1, 01) = т [х + 1, 0].
Таким образом и х+1 принадлежит 2М. Поэтому утверждаемое равенство справедливо для всех х. Теорема 280. Если 1(1) и Н1+ 1) определены, то 1+1 ""[. Н с) = Г(1) + Г(1+ 1). в=э Доказательство. По теоремам 278 и 277, имеем: 1+1 Х Нп) = 7 Цп) + Ц1+ 1) = Н1) + Ц1+ 1), Глава 5 Теорема 281. Если !(и) определено при п~(х+у, то х-~-у х у ((и)= 5ь." !(и)+ ~,' !(х+и). Доказательство. Пусть х фиксировано и %— множество тех у, для которых выполняется утверждаемое равенство. !) Если 1(п) определено при и ( х+1, то, по теоремам 278 и 277, х+! !(и) = ~ ! (и) + 1(х+ 1) = х 1 = 7 !(и) иу 7 !(х+п) Таким образом, 1 принадлежит множеству 8)!.
!!) Пусть у принадлежит 9)!. Если !(и) определено при п ~ х+ (у+ 1), то, в силу теоремы 278 (при- мененной к х+у вместо х), имеем: х+«у+1! 7 !(и) = (х+у1+ 1 х+у 7 ((и) = 5~~~ ((и'ь+ !((х+у)+1) = «~~ !(п) еь ~~~~~ !(х+ и),' + 7(х+(у+1)) = ь«=1 о 1 = Х !( ! —.: (Х !(х+ )й! !(х+(у+1))1, о=1 В 1 что, в силу теоремы 278 (примененной к у вместо х и 1(х+ и) вместо !(и)), у+1 !(п) + ~ !(х+ п). и=1 п=1 Таким образом, у+ 1 также принадлежит 8)1, и теорема доказана. 159 Комплексные числа Теорема 282.
Если 1(п) и д (п) определены при и (х, гпо н х и ~~, (((п) ие д (и)) = ~~~~ 1(п) + ~„ь) (и). Доказ а тел ьств о. Пусть ь))! — множество тех х, для которых выполггяется утверждаемое равенство. 1) Если 1(1) и д(1) определены, то ! 7 (1(п) + д(п)1 =1(1) ггз д(1) = ! ! 1(и) еь ~~~~ д (гг). ьь:- ! Таким образом, 1 принадлежит множеству %. П) Пусть х принадлежит ь111. Если 1(п) и д(п) определены при и(х+1, то, принимая во внимание, что (т+р)гр()ггс и) = ((т+р) гс;)-,: н =(г+ы(т=.рг))) грп = =((1+~)Е1!)еь = (1+~) Э(р:.р ) = =(е+з) Э (1):р ) имеем; 7 (1(и) —:: д(и))=- В! =,з! (1(гг) гз д(п)) 4-: (1(х+1) + д(х+ 1)) = и=! х Ж = г' 7 1(гг) Ф 5в.' д (гг)1 дг (1 (х ! 1) ьр д (х ! 1)) = ! и=! =~ 7(1( )+1(х+1)'.
+ ( 7 д(и)+ д(х+1Й= ьн=! н=! ьс+ ! ю+ ! = Х 1(гг)+ Х д(п) ьь = ! и=! Таким образом, х+ 1 также принадлежит зьг, и утверждаемое равенство верно для всех х. Глана б 160 Теорема 283. Пусть н(и) отображает числа п (х на числа т (х, и ((п) определено при п (х. Тогда ((е(п))= ~," 1(п). Докавательст.во.
Положим для краткости 1 (е (и)) = а (и). Пусть Б — множество тех х, для которых утверждение ~~,' а(п) ~,' ((п) справедливо (при всех допустимых е и ~). 1) Если х= 1, то е (1) = 1, так что, когда 1(1) определено, имеем Я, 6 (и) = 9 (1) = 1(1) = Я, Н") Таким образом, 1 принадлежит множеству И. П) Пусть х принадлежит 3И. Пусть н(п) отображает числа и (х+1 на числа т (х+1, и 1(и) определено при п ( х + 1. 1) Если н (х+ 1) =х+ 1, то е(п) отображает числа п (х на числа т (х Тогда 8 (и) = ~ 1(и), ц (х + 1) =1(х+ 1), Комллсксныс числа и, следовательно, Х 6(л)= 7 6(и)+ 6(х+1)= и 1 и=-1 х х+! = ~~,' ((и) и! ((х+ 1) = ~~~~ ((н). и 1 и=.1 2) Если !ж 8 (1+ л) = !ж !(5 (1+и)) = и и=1 х х = Х !(1+(5(1+ ) — 1))= Х (11+а), и 1 и=1 и, следовательно, в силу теоремы 281, в()=8(1)+ Й 8(1+ )= х и+1 =!(1) 1р 7 !(1+ ) = Х ((н).
11=! и 11 и ! 3) Пусть 5(х+ !)<х+ 1 5(1)) 1. Положим 5(1) =а и определим Ь условиями 1 < Ь < х+ 1, 5(б) = 1. Тогда а)1, Ь)1. 1! Зии. И9. Э. Ли!щау. 5(х+ 1) <х+ 1, 5 (1) =1, то 5(н) отображает числа п, для которых 1+ 1 < и.< х + 1, на числа лс, для которых 1+ 1 <и! < х+ 1; следовательно, 5(1+ и) — ! отображает числа и.<х на числа 1л < х. Поэтому Глава 5 162 а) Пусть а(х+ 1. Тогда, как ~ 1 при п=1, г,(п) =1 а при п= 5, ~ г(п) при 1(и (х+1, пфЬ, отобрав<агат числа и (х+1 на числа гп (х+ 1. Но а(п) = га(гт(гг)) при п ~,х+ 1. Дейетвнтельно, вя (в, (и)) переводит 1 червя 1 в а=я(1), Ь через а в 1=в(Ь), всамое другое п (х+1 через ю(гг) в в(п). в,(и) оставляет 1 на месте, а ва(п) оставляет х+ 1 на месте.
Поэтому, в силу 2) и 1), имеем: «+т «+г ~~, д(п) = ~, 1(в(п)) = ~, 1(ва(в,(п))) = «+' «+т = 7 На (п))=Х Игг) р) Пусть а=х+ 1, Ь(х+1. Тогда юв (и) так и ая(и) = а при и=1, 1 при п=а, и при 1(п(х+1, Ь при п=1, 1 при и=Ь, п при 1(п<х+1, пфЬ !бй Колгалексаме числа отображает числа п (х+! на числа ьп~х+1. При этом г(а)= з, (гв(п)) при п ( х+1. Действительно, ы,(за(ьг)) переводит 1 через Ь в а = г (1), Ь через 1 в 1=а(5), всякое другое п (х+1 — через п в з(а).
га(п) оставляет х+1 на месте. Поэтому, в силу 1) и 21, имеем: х+ь хаь ~~," а(п) = ~ ((з(п)) = ~ ((а, (з (и))) = х+ь ((зь (ьс)) = Я," ((п). т) Пусть а=Ь=х+1. Если х = 1; то равенство х+ь 7 й (и) = 7 И ) тривиально. Если же х ) 1, то отображает числа п ( х+ 1 на числа аь (х+ 1. 1 при ! з,(и) =! х+1 при г (а) при ьь =- ь х;:- ь и=1, а = л. + 1, 1Сп(х+! 164 Глава б Следовательно, в силу 1), а+1 7 9()= 79(п)+9( +1)= х — 1 = 9(1) чр 5' 9(п+1) +1(х+ц= ьь = 1 Вх — 1 — 9 (1) + ~ 7 ( + 1) 94 ( + 1) = а=1 х — 1 9(х+1)+ Х 9(п+1) +9(1)= х=1 х — 1 1(г(х+1)) 94 ~~, 1(в(о+1)) + 1(в(1)) = х — 1 = И1) + Х Ивв (и+1)) + Их+1) = л — 1 ((( (ььь вь х ((,(ньь(() Ф(( (*4 ьы= = 7 ((вь(п)) + ((гв (х+1)) = х+1 а+1 = ~~~~ 1(в (и)) = ~ 1(11) .
Итак, во всех случаях х+ 1 также принадлежит множеству %, и теорема доказана. В определении 70 и теоремах 284 †2 латинские буквы обозначают исключительно целые (не обязательно положительные) числа. Определение 70. Пусть у(х и ((п) определено п(ви у(п(х, Комплексные числа Тогда о (е Ьг) — у Х (( ) = 7 (((п+у) — 1). Вместо п может стоять также любая другая буква, обозначающая целые числа. Заметим, что х+1>у'„у((п+у) — 1(х при 1(п((х+1) — у, и что при у = 1 определение 70 (как и должно быть) находится в согласии с определением 69.
Теорема 284. Пуси(ь у (и(х, и пусгпь 1(п) определено при у(а (х. Тогда ~~, 1 (п) = ~ 1(п) + ~ 1(п) . Доказательство. По определению 70 и теореме 281, имеем: н (х+!) — в ',), 1(а) ч, 1((а+у) — 1) = я=в ю 1 (о+г)-и 1((п +у) — 1) + и=1 -:() ~ 1(((((и+ 1) — у)+а)+у) — 1), так как ((и+ 1) — у)+(х — и) = =(х+( — и))+((и+ 1)+( — у)) = .=(х+И вЂ” и)+(и+1)))+( — «) =(. +1) — «. Глава 5 1бб Но (((и + 1) — у) + и) +у = ((и + 1) — у) + (у + п) = = (((и+ 1) — у) + у) + п = и -~- (и + 1), следовательно, но определению 70, Ж и (е+ )] — Вв+ )) 1(п) = ~ ((п)+,5, 1((п+(и+ 1)) — 1)= и=в и=е а=1 и :в = 7 ((и)+',(.", Нп).
Теорема 285. Пуспгь у~х и ')(и) определено при у (п (х. Тогди До к аз а тел ь от в о. Согласно определению 70, левая часть утверждаемого равенства М в-)) — е (((и +у) — 1), а правая (нринимая во внимание, что у (и — о (х при у+о па. х+о) явив) Е1)-)Еев) 1 (((и + (у+ э)) — 1) — о); но здесь ((х+э)+1) — (у+о) =(1+(х+о))+(( — э)+( — у)) = (1 -~ ((х . 1- о) (- ( — о))) + ( — у) = =(1+ х) — у=(х+ 1) — у 167 Кбл(алексине числа ((и + (у + чь) ) — 1) — о = (л + (у + о)) — (1 + о) = -((п+у)+-)+( —.+( — 1»= =(((л+у)+о)+( о))+( 1)= = ((п+у)+(о+( — о))) — 1 = (и+у) — !.
Теорема 286. Пус(иь у(х, ((и) определено ири у" п(х и я(п) отображает числа и, для которых у (л (х, на числа т, для которых у (т».х. Тогда ~1(я(п))= ~~~к((л). Доказательство. я, (п) я ((л + у) — 1) — (у — 1) отображает положительные п ( (х + 1) — у на поло- жительные т ((х+1) — у. Поэтому, в силу тео- ремы 283, а (а+ 8-я ((я(п)) ес" У(я((л+у) — 1)) = нч а ьь = ) (а+1) -в (а+ ь) — я Цяь(л)+(у — 1)) е)' 1(п+(у — 1)) = а=ь ьь=) (е+ь)-и Ж 7 Н(и+у) — 1) = 7 Нп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
