Ландау Э. - Основы анализа, страница 9

До к аз а тел ь ство. 1) Х (рациональное число в старом смысле) есть наименьшее верхнее число относительно сечения Х (старого Хе). 2) Если для сечения 1 существует наименьшее верхнее число Х, то каждое нижнее число ( Х, каждое верхнее число )~ Х н, следовательно, сечение совпадает с Х (старым Хь). Теорема 158. /7усть 1 — сечение. Х являепгся нижним числом относительно 1 тогда и только тогда, когда Х<г, и верхним числом — тогда и только тогда, когда Х)~ с. До к азат ел ь ство.

1) Если Х вЂ” нижнее число относительно 1, то, поскольку Х вЂ” верхнее число относительно Х (старого Хч), имеем: ОВ !лава 3 2) Если Х вЂ” наименьшее верхнее число относительно 1, то, по теореме 157, 3) Если Х вЂ” верхнее число относительно 1, но не наименьшее, то возьмем какое-нибудь меньшее верхнее число Хн Тогда Х, есть нижнее число относительно Х и, следовательно, Теорема 159. Есло 1( ть та суи1ествует Л ттсое, что 1(Е ( т1. Доказател ь ство. Выберем верхнее число Х относительно $, издающееся нижним числом относительно т1, и затем какое-нибудь нижнее число л относительно ч1, большее, чем Х.

Тогда, по теореме 158, будем иметь: 1(Х(Е( 1. Теорема 180. Каждое г>1в может быть предипавлено в виде г=Ху, Х> с, 1'> ч1. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ь — меньшее из сечений е — 1ч 1 и „; имеем: С<1, С(е„„.„,. Выберем, по теореме 159, л, и ла такие, чтобы 1<к,<1+~, ~<г,< л+.. Сечения 97 Тогда г,г, < (Е+".)(й+.Г) =-(Е+Ц,1+(Е+Ц) Е < < (Е + ".) ч1+ (Е + 1) ". = (Еч) + ч7".) + (Е+ 1) ~ = = Ее + ((Е+ л) + 1) '. ( Еч1+ (Š— Еч)) = Е.

В произведении мы будем иметь Х===à — >(г,гз) — =К., >Е, и 1 гз 'зг, у=г,> ь так что оно и будет давать требуемое разложение для е., Теорема 161, Длн каждого Е уравнение Ее =Г илгеет точно одно Решение, Доказательство. 1) Существует, самое большее, одно решение.

Действительно, из Е, > Еа ЕгЕг > :з:з. следует Оно образует сечение. В самом деле: 1) Если Х(1 и Х(г, то ХХ < Х ° 1 = Х ( Г. 7 зак. тиь о. ланлях, 11) Рассмотрим множество тех рациональных чисел Х, для которых ХХ< '.. Глава 3 Если Х)~ 1 и Х)~Е, то ХХ> Х 1=Х>г. 2) Из ХХ<Е, У<Х следует УУ< ХХ<".. 3) Пусть ХХ< г. "— хп Обозначим через 2 меньшее из сечений 1 и имеем: Š— ХХ « ' Х+(Х+ 1) .

Тогда Х+2)Х и (Х+ 2) (Х+ 2) = (Х+ 2) Х+ (Х+ 2) 2 < <1ХХ+2Х)+(Х+ 1) 2 = ХХ+(Х+(Х+1)) 2 < < КХ+ (" — ХЛ) = г. Обозначим построенное нами сечение через ,'. Мы утверждаем теперь, что ЕЕ=".. действительно, если бы мы имели ЕЕ>ь, то, по теореме 159, суп1ествовало бы 2 такое, что ЕЕ>2)". Будучи нижним числом относительно ЕЕ, 2 имело бы вид 2 =- Х,Хз, Х, < Е, Ха < Е. С о>с >ал обозначив через Х боль>нее из чисел Х, н Лз, иы ио- тучили бы Х<!, 2.(ХХ<"., з противоречие с оирсдслсписм чпс>ш 2.

Бели же мы ш>ели бы со, ио теореме 1>>9, существовало бы 2 такое, что 11< 2<:. По теореме 160, 2 имело бы вид 2 = Х,Х„Х, >-1, Х.:=:.. Обозначая через Х меньшее нз чисел Х, и Хз, мы по- лучили бы Х>1, 2 ~ХХ.' ь, что снова противоречит определению числа 2. Определение 42. Каждое сечение, нв лвл>пощвесн рациональным числом, назывпельсл ир~>а>сиональны.и числом. Теорема 162. Сущссл>вует ло крайней мере одно ир1>ационалвнов число. Д о к а з а т е л ь с т в о.

Достаточно показать, что решение уравнения Е1 = 1', существующее по теореме 161, иррационально, Но в противном случае 1 бь>ло бы представимо в виде н У то мы имели бы уу ( !' (Уу) = хх =- ( ! 'У)у ( (1'УН1'у), у ( х( !'у. Положим Тогда х — у= и. У+ а — х ( 1у =у+у~ и (у. Но вообше (е + те) (е + те) = (е+ те) о + (о+ те) те = = (ее+ тее) + (ете + тем) = (пи+ 1' (ете)) ~- тете. Следовательно, положив у — и=1, мы получили бы хх + !! = (у + и) (у + и) + !! = =(уу+ 1'(уи)) +(ии+ Й) = =. (Уу + (1'и) (а + !)) + (ии + г!) = = (уу + 1' (ии)) + ((1' !и!) + ии) + !!) = = (уу+ 1' (ии)) -/- (и + !) (а + Е; = =(уу+ 1'!ии)) ,'-уу= !'(Уу)-!-!'(иа) = =- хх+ 1'(ии), !! = 1'(ии), у — ° — =1 и а что противоречит, однако, предположенной минимальности числа у, поскольку а (у.

по теорече 27, среди этих представлений сушествовало бы представление с наименьшим возможным у. Так как 1'=!% = — ° — = —, У У УУ' > лава 4 ВЕЩЕСТВЕННЬ1Е ЧИСЛА 6 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ Определение 43. Сечения мы будем теперь назыеи>иь положительныл>и числалщ; соответственно, мы будем теперь говорить: положительное рациональное число (взамен прежнего рационильного числа) и положи>пельное целое число (взамен прежнего целого числа). Мы создаем новое, о>плавное от положительных чисел, число О (читается: нуль). Мы создаем, далее, числа, отличные от положи. тельных чисел и числа О и называемые отрицательными числами, так, ч>по каждол>у 1 (т.

е, каждому положительному числу) ставится в соответствие отрицательное число, обозначаел>ое — 1 ( — читается: минус). При етом — 1 и — т1 счит >ются за одно число (т. е. равными) >польки тогда, когда 1 и т1 представляют собой одно число. Положительные числа, число О и о>прицательные числа мы называем вещественными числами. Прописные греческие буквы, если ие оговорено противное, означают всюду вещественные числа. „Равно' записывается символом =, „ие равно" (отличио от)— символом Ф. Таким образом, для каждого В и каждого Н имеет место одно и только одно из соот»ошения Я=И, БФН.

Для вещественных чисел понятия тождества и равенства сливаются, так что следующие три теоремы тривиальны: Теорема 163. Теорема 164. Из Е=Н го2 с".гаги 4 следуенг Н= Теорема 163. гЧз Е=:Н, следуесп Н =- Х 5 2. ПОРЯДОК Определение 44. Е, если Е=Е, (Е~=~ О, если Е=О, Е Е, если Е= — Е. Число ~ Е ( назьг е., сссгся абсолсотны,к значением чис га Е, Теорема 166. ~:-( положительно для пололсиспель- ных и олг1шионшльных Е. Доказательство: определение 44. Определение 45.

Если хоспя бы одно из чисел Е и Н не полозкительно, то Е)Н Определение 46. Е < Н тогда и сполько лгогда, когда Н) Е. ( ~ читается: меггьшс,) тогда и толььсо тогда, когда либо Е отрицательно, Н отрицательно и ~ Е ~ < ! Н ), либо Е = О, Н отрицательно, лабо Е положительно, Н отрицаспельно, либо Е положительно, Н= О. () читается: больше.) Заиетггм, что для пары положительных Е и Н мы уже имеем понятия ) и (, причем последнее даже использовано в одном из случаев определения 4о. Вещественные числа 1ОЗ Заметим, что для пары положительных Я и Н определение 46 находится в согласии с нашими старыми понятиями. Теорема 167.

Длл любых Я и Н имеет месоьо один и только один из следующих трех случаев: Е=Н, Я)Н, Я<Н. До казат ель от в о. 1) Если Я и Н положительны, то мы знаем зто из теоремы 123. 2) Если Я положительно, а Н=Оили отрицательно, то Я~Н; далее, по определению 45, Я ) Н и пэ определению 46 Я не <Н. 3) Если Е = О, Н положительно, тз Я~Н; далее, по определению 45, Я не)Н и по определению 46 Я < Н 4) Если Я = О, Н = О, то Я =Н, Ене)Н, Я не <Н.

5) Если Я= О, Н отрицательно, то ЯфН, Я)Н, Я пе<Н, 104 6) Если Я отрицательно, а Н положительно или Е1=0, то 7) Если Е и Н отрицательны, то ЕфН, Е)Н, Е не (Н для [Е/(~Н~, Е=П, Е не ) Н, не <Н для (Я)=~Н[, Ефй, Е не )Н, Е "'Н для (Я())Н!. Определение 47. "1~.Н означает Я)Н или Я=Н. ()~ читаетссы больше или равно.) Определение 48. Е" Н означает Я < Н или Я = Н. ( ( читается: меньше или равно.) Теорема 168.

Из Н Н (Е Доказательство: определение 46. Теорема 169. Положительные числа — зто числа ) О, отрит[ательные числа — зто числа( О. До к азат ел ьот в о. 1) По определение 45, следуеги и обратно. Е =/=Н, Е не)Н, Я<Н. Вещестеелвме числа 2) Из Я >О, по определению 45, следует м — ~ и = с. 3) По определению 46, 4) Из по определению 46, следует Я = — Е.

Теорема 170. 1Я~>О. Доказа тел ьст во: определение 44, теорема 166 и теорема 169. Теорема 171 (транзитнвность порядка). Из Я<Н, Н<Е следует Я(Е. Доказательство. 1) Пусть Е) О. Если то и мы приходим к старой теорече 126. Если то необходимо 2) Пусть — 1( О. Я(О, Я) О, Н~ О, Я(О, Я(Я Я=О 106 Тогда Н<0, и, следовательно, к<0, й < Х. 3) Пусть Х < О. Тогда Н<0, 2<0. Далее, ~=.! >~Н!, ~Н~>~Х~, и, следовательно, 1=.1>М Б < Х.