В. Прагер - Введение в механику сплошных сред, страница 8

Например. в силу последнего уравне- ния (6.5), 1-компоненту третьего уравнения (8.7) можно пре- образовать следующим образом: еггздг(езг игпи) = езгг еаг (и дгиг+ игдзо ) = = (8з 81 — 3з Ьгг) (и д и + и д,п ) = = и д и, — игдГоз+ издго — оздГир (8.8) Последняя строка этого соотношения представляет собой 1-компоненту правой части третьего уравнения (8.7). Ана- логично, используя соотношение (6.13), легко убедиться в правильности последнего уравнения (8.7) при помощи сле- дующих выкладок: дг(иго) =од,и + и дгп = оГ (д,и — д из) + и дГи, + и (дгпà — д пз)+ иГд р, = = з, зо (г + тезиз+ е, ьиууа+ «Гдгоз, (8.9) Гл.

!. Геометрические осноем где )се — вектор, двойственный д,ир т. е. го(п. а Ве — вектор. д ойственный дрр т е го1ч. В заключение рассмотрим еще несколько комбинаций введенных выше дифференциальных операторов. Ротор градиента скалярного поля р определяется посредством равенства еыад1(дер) = аыед1ер. Так как тензор аыа антисимметричен, а оператор д е — симметричен относительно индексов / и А, то справедливо равенство го18тадр=О. Предоставим читателю установить аналогичным образом справедливость следующих соотношений: б(чйтабр=йр, (8.11) б! ч го1 ч = О, (8.12) го1 го1 ч = игаб д1ч ч — Еч. (8.13) 9. Интегральные теоремы. В области определения тензорного поля Туы ..

рассмотрим некоторую выпуклую регулярную область У, т. е. выпуклую область, ограниченную Рнс. 2 поверхностью Ю, состоящей из конечного числа частей с непрерывно вращающейся касательной плоскостью. Интеграл от величины дьТ~у,. по объему 'ч' можно вычислить путем разделения объема т" на приамы с бесконечно малыми поперечными сечениями при помощи плоскостей, перпендикулярных к осям ха и лз (рис. 2). Вклад одной из этих призм У.

Интерральные теоремы 49 в рассматпиваемый интеграл можно ваписать следующим образом: (2)ы ... — '11и...)гУхзгУлз. (9.1) где одной и двумя звеадочками обозначены вершины призмы с большей и меньшей координатами хн Если обозначить через ч единичный вектор внешней нормали к граничной поверхности 8, то произведение с(хзФхз можно записать Ф ° ° Ф 4. '° Э ° а в виде т,Н8. илн в виде — ч~ И8 .

где а8 н Ф8 — элементы поверхности призмы, вырезанные из поверхности 8. Следовательно. выражение (9.1) эквивалентно следующему соотношению: Т~зг... т~ 18'+Т7в, .т," (8". (9.2) Члены. отмеченные одной и двумя звездочками и имевшие в формуле (9.1) различные знаки, входят в соотношение (9.2) с одинаковым знаком. Поэтому в дальнейшем отпадает необходимость различать таким способом вершины призмы н рассматриваемый интеграл можно ваписать в следующем виде: где дУ и И8 обозначают элементы У н 8 соответственно. Заменяя индекс 1 на !. получаем теорему Гаусса ~ дгТр~ ... ИУ = ~ тгТ!ы . 48.

Выше для простоты предполагалось, что объем У выпуклый. Если объем У не удовлетворяет этому услоэию, но может быть составлен из конечного числа выпуклых регулярных областей, то справедливость теоремы Гаусса легко установить путем суммирования выражений (9.3), записанных для каждой части объема 1г. Более подробное обсуждение теоремы Гаусса читатель найдет в гл. 1Ч книги Келлога [К е !! од О. Р., Ронпдяйопз о! Ро!епйа! Тпеогу, Ярг!щег, Вег!!п, 1929[. Гл.

А Геометрические осяззм Важные частные случаи теоремы Гаусса симролически ааписываются следующим образом: ~ йтабрЫУ= ( трИЮ, ~ 41т т с(У = ~ т ° т Ф8, ~ го1ч гМ = ~ ч Х ч г18. (9.4) Чтобы получить выражение интегрального закона (9.3) для двумерного случая, рассмотрим, например, регулярную Рис. 3 область 8 в плоскости ха=сопя(, т.

е. область, ограничен- ную кривой Е, состоящей из конечного числа дуг с непре- рывно вращающейся касательной (рис. 3). Аналогично преды- дущему, находим выражение ~ диТ~ы . гБ = ( ч,Т зг ~К, (9.3) где ин ъз, Π— компоненты единичного вектора внешней нормзли к кривой Ь, а подчеркнутые индексы могут принимать значения 1 или 2. Вследствие этого ограничения вектор о, с компонентами о, = др, из= (ь можно отождествлять с градиентом скаляра 9 только тогда, когда дзр = О, ству ~ йтабТЮ = ~ чрйЕ. (9.6) Аналогично для плоского векторного поля и,= о,(хн хт). о =от(хн ха), оз — О находим соотношения 3 ~ б!ч чЮ= ~ и ° чйЕ.

~ го1чй8 = ~ ч Х чйЕ. (9.7) Другой путь использования формулы (9.5) состоит в рассмотрении трехмерного векторного поля ч, но при этом подинтегральное выражение в левой части формулы (9.6) заменяется составляющей вектора го1 ч по оси хз. Тогда в декартовых обозначениях получим следующее равенство: в~,/др~ЫЗ = ~ ззцчгогйЕ. (9.8) Так как езз) —— О, то в УРавнении (9.8) индекс 1 можно заменить индексом Е Тогда в подннтегральное выражение в правой части фоРмУлы (9.8) бУдет входить множитель ез,7тг, который при /= 1 и /= 2 принимает значения — ч и т, ' соответственно, а прн /=3 обращается в нуль.

Этот множитель представляет, следовательно, /-компоненту единичного вектора. касательного к Е. Он получается из вектора ч путем поворота на тот же угол, который преобравует положительное направление х, в положительное направление хз. Произведение этого вектора иа бесконечно малый элемент длины йЕ представляет собой направленный элемент длины, который можно ааписать.в виде йЕ/ или бЕ. Тогда полинтегральное выражение в правой части формулы (9.8) будет равно ов йЕ» или ч ° 4Е и формула (9.8) принимает внд ~ (го1 ч)~с%= ~ ч ° ЙЕ. (9.9) Интеграл от ч бЬ по замкнутому контуру Е называется циркуляцией вектора ч вдоль контура Е. Интегральная теорема (9.9) относится к замкнутому плоскому контуру Е и к ограниченной им плоской области. Обобщим эту теорему на любую замкнутую кривую Е и а поверхность $ — вписанной многогранной поверхностью $', ограниченной многоугольником 1.' (рис.

4). Применение формулы (9.9) к любой грани многогранника $' показывает, что интеграл от составляющей го1т, нормальной к поверхности этой грани, равен циркуляции вектора т вдоль контура грани; Рнс. 4 Записав это соотношение для каждой грани и проивведя суммирование, мы замечаем, что слагаемые, которые соответствуют общим границам двух граней, взаимно уничтожаются. Понтону в правой части останется лишь циркуляция вектора т вдоль контура Ь'.

Переходя к пределу при $'-ь$. получаем соотношение ~ » ° го1тЮ=~ т ° бЕ. (9.10) тле направление обхода кривой Ь и направление единичного вектора нормали ч к с($ соответствуют правилу правого винта. Интегральная теорема (9.10) называется шеорелгой Стокса.

В заключение приведем еще несколько примеров приме. ненни интегральных теорем, содержащих производные высшего порядка. Для скалярных полей р н ф по теореме Гаусса (9.3) можно записать равенства .~ рднф Нг' Г (дг (<риф) — дрдгф) гЛ~ = = ~ фч,дгфгГ$ — ~ дгфдяфйу, емы б 9 ° йтаб ф И)г, (9.11) где др/дч'рредставляет собой скорость изменения ф в направлении внешней нормали ч к поверхности 8. Соотношение (9.11) называется первым тождеством Грина. Заменяя в формуле (9.11) чг на ф и производя вычитание, получаем второе тождество Грина Рассмотрим далее типичные применения интегральных теореи.

Если дан вектор ч = ягаб о, то в силу соотношения (8.10), го1 ч = О. Покажем теперь, что справедливо обратное утверждение: векторное поле ч, определенное в односвязной области )с и имеющее в втой области тождественно равный нулю ротор. можно представить как градиент скалярного поля р. Для этой цели произвольную фиксированную точку О области гс соединим с произвольной точкой Р втой области при помощи двух дуг Ц и 1т, целиком лежащих в области гс и направленных от точки О к точке Р. Тогда дуга ь, и дуга 1ч, пройденнаяв обратном направлении, образуют замкйутую линию. Так как область )с должна быть односвязной, то эту линию можно считать границей поверхности 8, содержащейся в 'области гс.

Применяя теорему Стокса и пользуясь обычными обозначениями, получаем следующее соотношение: ) ч ° б(. — ~ ч ° б =О. о о так как предполагается, что го1 ч = О. Эта зависимость показывает, что интеграл (9.14) о вдоль пути от фиксированной точки О до точки Р зависит только от положения конечной точки Р. но не зависит от выбора пути в области определения векторного поля ч..

Следовательно, этот интеграл представляет собой скалярную 4 в. Прагер Гп й Геометрические основы функцию положения р(Р). Чтобы показать, что град ент втой функции есть вектор ч, рассмотрим точку Р', рас оложенную'вблизи точкн Р. Обозначим через йе бесконе но малое расстоянне РР', а через р — единичный вектор, аправленный от точки Р к точке Р'. Выбрав для определ ння величины р(Р') путь ОРР', найдем приращение этой величины в следующем виде: ага'> = т (Р') — т (Р) = Р ° ч йз.

(9.15) Комбинируя соотношения (9.15) и (8.2), получаем равенство р (ч — йтаб р) =О. (9.16) Так как единичный вектор р может быть выбран произвольно, то в равенстве (9.16) выражение в скобках должно обращаться в нуль. Этим устанавливается тот факт, что векторное поле. имеющее нулевой ротор (безвимревое поле), является градиентным полем. В качестве пряложення первого тождества Грина докажем. что в регулярной области тс векторное поле ч определено однозначно, если всюду в обземе У заданы его дивергенция и ротор, а на граничной поверхности Ю обаема У задана его нормальния составляющая. Допустим, что существуют два различных векторных поля чы> н ч'", удовлетворяющие 'этим условиям, и обозначим разность чсп — ч<г1 через ж, а единичный вектор внешней нормали к поверхности о' через ч.

Из указанных выше условий для полей чыг н чГг> следуют соотношения 81чвт=О, то1вт=О в объеме У (9.17) н ч ° пт= О на -яоверхности 8. (9.!8) Так как, согласно второму уравнению (9.17) поле вт является безвихревым, то поле вт должно быть градиентом скалярного поля, которое мы обозначим через р, т. е. должно выполняться равенство (9.19) Принимая во внимание уравнение (8.11) и первое уравненйе (9.17), получаем соотношение ар=О в объеме У, (9.20) Полагая в первом тождестве Грина р=ф н учитывая соот- ношение (9.20), получаем формулу ~ (Втаб р)з Н1 = О. (9.22) Так как подинтегральное выражение в формуле (9.22) не может быть отрицательным.

то оно должно тождественно обращаться в нуль, т. е. Отаб р = ж = О н, следовательно, тш=тш.'Таким образом, предположение о том. что существуют два различных векторных поля, которые удовлетворяют условиям задачи, приводит к противоречию. 10. Криволипеййые координаты. При обсуждении основных положений механики сплошной среды н прн выводе общнх уравнений можно ограничиться декартовыми координатами. Однако прн решении отдельных задач бывает удобнее пользоваться системой ортогональных криволннейных коорлннат.

Поэтому необходимо дать метод, позволяющий перейти от уравнений. вапнсанных в прямоугольных декартовых координатах, к уравнениям в ортогональных криволинейных координатах. Разумеется, общее тензорное исчисление дает возможность вывести уравнения, справедливые в любой системе координат. Однако, поскольку в втой книге общее тензорное исчисление не излагается. будет рассмотрен специальный способ. относящийся к криволинейным ортогональным коордннатам. Чтобы набежать протнворечня с правилом суммирования. принятым для нижних латинских индексов, мы будем обозначать криволинейные координаты греческими буквами: буквы в.