В. Прагер - Введение в механику сплошных сред, страница 9

р, Т будут использованы для координат общего вида, буквы р, 9, ь †д цнлиндрнческнх коордннат н буквы р, 6, р для сферических координат. Таким обравом, например, велнчнна Тр ы обозначает радиальное напряжение, а не первый основной инвариант тенэора напряжений. В общем случае расстояние между точками с коордннатамн н, р, Т н а+ аЪ, р, Т будет равно не Иа, а ~й,= й,На, Гл. Ь Геометрические основы где Ь,— некоторая функция координат а, р, у; ф кции Ьэ и Ь определяются аналогично. Каждой точке пространства соответствует сис ма ортогональных единичных векторов е<, е<зт. е<т, кото ые называются -бизисимми векторами в втой точке; ектор е<'т указывает направление наибольшей скорости изменения величины а и аналогичное утверждение относится к векторам е и е'т'.

Предположим, что последовательность координат а, р, у выбрана таким образом. что базисные векторы всюду образуют правую систему. Их составляющие в пряиоугольной декартовой системе координат х, можно обозначить через е<'т, е<<е>, е<тт.разумеется, этисоставляющиепредставляют собой функции координат а, р, у рассматриваемой точки.

Составляющие о,, тт, о вектора о в системе а, р, у определяются выражейиями о = е<з>о + е<йо + е<тто, т 1 ' ! с т' т' (1О.1) а составляющие Т, Тйь ..., Т„тензора второго ранга Т<1 определяются соотношениями Т, = Е<ЮЕ<Ю Т + Ет'<с<оТ Е+ ... + Е<ттЕ<т<Т (! 0.2) и т. д. Пока мы рассматриваем только величины. определенные в одной и той же точке, мы можем отождествлять криволинейные составляющие с декартовыми составляющими координатной системы хр положительные координатные направления которой определяются при помощи базисных векторов, например.

Т,.=Ты, Т, =Тне .... С другой стороны, все дифференциальные операторы требуют сравнения величин, определенных в соседних точках. При этом сравнении нужно учитывать, что переход к соседней точке включает иаменение не тольяо криволинейных составляющих, но и базисных векторов. Чтобы пояснить эту мысль, выведем несколько важных соотношений в цилиндрических координатах р, 8, ь. Так как' <те = <1р, <ге» = ртто, <те = Ж, то следовательно, Ь = 1. Ьч — — р, Ь» — — 1. Если двигаться из произвольной точки в радиальном направлении к соседней точке, то базисные век- 10. Криволинейные ноо»динатв1 тори е'р~~ е'~, ек' не изменяются.

С другой стороны. как видно нз рнс. 5, можно записать следующне равенства: де" >в> де'в' >р> дек — дь- е, ай =-е"'. дв =0 (105) Начнем наше рассмотрение с грааиента скаляра >р. Его составляющие в произвольном направлении определяют ско- де'е> й р'1 деая -5= де 1йе Р Рис. 5 рость изменения р в атом направлении. Отсюда получаем зависимость йтад р=ве — +е — — +е — ~>р, (10.4) I ~р> д >в> 1 д и д 1 др р дз дс/ где оператор в скобке представляет собой эквивалент оператора набла в цилиндрических координатах. В декартовых координатах выраженне (10.4) прнннмает внд д р= ~е'Р—.1- е<в> — — + е>о — >р.

(10.5) д 1 д дв др > р да > двр' Применим теперь оператор ди определенный выражением в скобках (10.5), к вектору Га (. Геометрические основа Принимая во внимание равенство- (10.3). получаем градиент вектора д(ор = — е(Р)р>(Р) Р +е(Р)е(В) дер двв дес (, > др 1 др + е(Р>ек> — + с l др + е)в)е(Р) ~ — ов)+ е)в)е(в) — (с — + о )+ е(в>е(с) + Р р(1ое ') Р р(1аэ Р) ( Р р аа до дев дос + е(С)е(Р) — Р с р,дС + е(с)е(в) / ас + е(ое(о l дс (10.7) Учитывая ортогональность базисных векторов, последнее соотношение можно записать в виде дер 1 / дев 1 дюс б(як=до = — '+ — ~ — +о )+ — = др р )да Р) аС 1 д 1 дев аос = — — (ро )+ — — + —.

р др Р р да д( (10.8) П дос дев) И~р асс) е д о =еи) (с — — — — )+е(в) (с — ' — — )+ Р() ( ! Р 1р ()6 дс) Р 1,дй др) +ею~[ а — — ( де — о~)] ° (10.10) Составляющую го(т по оси С можно записать в виде 1Гд ' до1 (го(т)с = ~д (Рв>в) ае ~. (10.11) р (др Определим теперь выражение для величины д>Т( в цилиндрических координатах. учитывая важность этой величины Заменив в формуле (10.8) вектор о, соответствующим выражением из формулы (10.5), найдем выражения для оператора Лапласа в цилиндрических координатах бр=[ — — (р — )+ —,—,+ —,] р.

' (10.0) 1 д д 1 дв дв Чтобы получить компоненты го(ч, умножим уравнение (10.7) на величину е (р и заменим векторные произведения базисных векторов нх значениями; тогда получим следующее соотношение: 10. Криеолииеьиме иоордииогм в теории упругости. Тензор второго ранга ТО определяется выражением Т вЂ” е'Р~е'Рст +есь1есРТ +есг1есоТ + ср с г' рр с р рс с р рс +еси р)Т + сьеснт 1 есме рТ ьр с Р ,.

с 1 « +е)се~>Т, + есоесь1Т, + ессоесоТ . (10.12) Применяя к этому тензору оператор до определенный выражением (1О.б), и принимая во внимание ортогональность базисных векторов, находим .соотношение В теории упругости тензор Тср — — Т, представляет собой симметричный тенвор напряжений, а для сплошной среды, находящейся в равновесии при отсутствии массовых сил, величина д,ТО обращается в нуль. В силу соотношения (10.13). это условие равновесия эквивалентно следующим уравнениям: дтрр 1 дт,, Р ьт — '+ — (Т вЂ” Тм) = О, ьс р дТ« 2 — +-Ть дс р =О, дтсс — + — Тс дС р р = О. р да ьт др + дТь (10.14) р да+ 1 дт„ + др ьт<, Р р дэ др В случае цилиндрических координат выражения (10.3) для производных базисных векторов можно получить непосредственно из рис.

б. Соответствуюсцие формулы в общих криволинейных ортогональных координатах получаются следующим образом. Пусть связь между прямоугольными декартовымн координатами хс н криволинейными координатами Гв. А Гвомвгоиквскив основы и р, Т какой-либоточкизадаетсятремяфункциями х,=х,(а р,Т). Тогда выполняются, например. соотношения дх< дх( т — — =й, да да (10.16) — =Й,в( . дх< <а> да (10.16) Дифференцируя формулу (10.16) по р, получаем соотно- шение — >т + 'в,, д'х( дв)'> да, додд а дд дд (10.1У) Умножая формулу (10.11) на величину в<З> или на величину в<т> и учитывая 'ортогональность базисных векторов, получаем следующие зависимости: (10. 18) или 1 д х дв<'> ' в<т>= — <в<т>. й, дадв < дв (10.

19) Аналогичные формулы имеют место и для других произвол- ных базисных векторов по криволинейным координатам. Левые части этих уравнений определяют компоненты вектора производной де<а>(д(1 по направлениям р к Т соответственно. С другой стороны. вектор де<а>/др„представляющий собой производную единичного вектора е<а>, ортогонален этому вектору, так что составляющая де<а>/др в направлении а равна нулю.

Следовательно, получим соотношение де~~"~ 1 дах — = — — ( (в<а>вФ>+ в<т>в( т>т. Глава П НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ 1. Тепвор напряжений. Теоретическая механика занимается исследованием систем дискретных материальных точек, механика же сплошных сред рассматривает равновесие н движение газов, жидкостей н твердых тел, масса которых считается распределенной непрерывно. Плотиослгь р в произвольной точке Р непрерывной среды определяется при помощи предельного перехода, результат которого эквнвалентен утверждению, что элемент объема сПг, содержащий эту точку Р, имеет массу раЧг. Плотность можно также определить как удельную массу илн, пользуясь удобным, хотя н менее точным способом выражения.

как массу, отнесенную к единице объема. Вместе с массой в пространстве непрерывно распределены и силы, обусловленные наличием массы, например сила тяжести. Отнесенная к единице массы сила, связанная с существованием массы, называется удельной массовой силой. Так, например, удельная массовая сила. соответствующая силе тяжести. представляет собой вектор и, направленный вертикально вннз, абсолютная величина которого равна ускорению силы тяжести. Прн ясследованни напряженного состояния необходимо иметь ввиду, что кроме таких пространственно распределенных массовых сил на сплошную среду действуют также поверхностные распределенные силы.

Чтобы поясннть те предположения, которые делаются относительно этих поверхностных снл, рассмотрнм ограниченный регулярной поверхностью некоторый объем У сплошной среды. Пусть Р— точка граничной поверхности 8 объема У н пусть ло — элемент этой поверхности 8, содержащий точку Р. Пусть положение элемента Ю поверхности задается единичным вектором ч внешней нормали к поверхности 8 в точке Р. Та сторона элемента поверхности Ю. в которую направлен вектор >, Га П. Налряясенное состояние Рис. 6 приложенный в точке Р, называется положительиой старомод «8, а другая сторона — отрицательиой.

Предположим, что иа элемент «8 поверхности, ограничивающей объем У. действует внешняя сила. равная Т<">«8, а момент отсутствует. Силу Т<"> «8 назовем новерхносисной силой, действующей с положительной стороны элемента «8 иа отрицательную, а величину Т<"> назовем наирнхсениелс. Далее примем, что напряжение зависит только от положения точки Р и направления веке тора нормали ч, ио ие зависит от формы элемеита поверхности «8 и вида по- У верхиости 8. Таким образом, для рассматриваемой точки Р мы имеем соот«о, оч«о ветствие между векторами Р Т'> и направлениями ч про<<ч хч страиства.