В. Прагер - Введение в механику сплошных сред, страница 3

Тогда, согласно выражению (З.З), составляющая вектора по оси х, 'имеет вид е'=е,соз(х',, х,)+е соз(х,', х)+е соз(х',, к )=с„еи (3.4) 8. Скаляр и вектор Общая формула преобрзаования для составляющих вектора получается путем аамены индекса 1 в первом и последнем членах формулы (3.4) на буквенный индекс; таким образом, (3.5) Легко усмотреть полную аналогию между формуламн преобразования (2.7) и (3.5). Соотношение (3.5) можно положить в основу второго определения понятия вектора: в любой прямоугольной декартовой системе координат вектор определяется тремя компонентами, которые при преобразовании координат (2.7) преобразуются по формулам (3.5). Уравнение (3.5) представляет собой сокращенную запись трех уравнений, которые получаются из равенства (3.3), если последовательно совмещать направление р с направлениями осей штрихованных координат.

Отсюда следует, что равенство (3.5) и основанное на нем второе определение понятия вектора не содержат ничего нового по сравнению с равенством (3.3) и соответствующим первым определением понятия вектора. Формулу преобразования (3.5) можно легко разрешить относительно нештрихованных координат. Умножив обе'части формулы (3.5) на величины с» и используя соотношение(2.13), получим равенство и»= с 7п',. (3.6) Подобно тому как точку с координатами хн хг, хз для краткости обозначают через хн мы будем обозначать вектор с компонентами пн ог, оз через он Из линейности формулы преобразования (3.5) следует, что суммы и,+пн иг+пг, из+о» соответствующих компонент двух векторов и~ и ть преобразуются как компоненты одного вектора.

который называется суммой векторов и~ и пн В символическом обозначении сумма векторов и и т записывается в виде и+ш В этой символической записи знак плюс имеет особое значение, которое следует из определения векторной суммы. Поэтому, строго говоря, знак плюс в выражении и+ т следует отличать от обычного анака плюс; для операции векторного сложения следовало бы использовать знак плюс, набранный, например, жирным шрифтом.

2 в. Прьгьр (в Гв. А Геометрические основы С другой стороны. знак плюс в выражении и,+ е~ для обозначения компоненты суммы векторов иь и е, имеет обычное алгебраическое' значение и введение особого символа для этой операции является излишним. Отсюда непосредственно следует, что для сложения векторов справедливы коммутативный и ассоциативный законы. В самом деле, можно записать равенства и, + ет — — е~ + ио и, + (е, + чо,) = (ит + е,) + чоо (3. 7) Если указанные символические обозначения используются не обязательно в декартовой системе координат, то справедливость соответствующих соотношений и+ ч=ч+и, и+(ч+ит)=(и+ч)-+че (3.8) должна быть доказана особо.

Из линейности формулы преобразования (3.5) следует, далее, что произведения Ле,, Лее Лез компонент вектора е, на скаляр Л преобразуются как компоненты вектора, который называется произведением вектора е, на скаляр Л. Символически это произведение записывается в виде Лч, а в координатной записи з виде Лер Хотя произведение Лч записывается беэ использования специального знака ~ операции, значение этого умножения вектора на скаляр следует пояснить особо. С другой стороны. в декартовой системе координат выражение Ле, не требует такого пояснения. Поскольку имеет место равенство (3.9) Л(и +е) =Лит+ Ле, то справедлив дистрибутивный закон для сложения и умножения на скаляр: Л (и+ ч) = Лп+ Лч.

(3. 10) Если компоненты ен е,, ез вектора представляют собой функции параметра з, то, как следует из линейности формулы преобразования (3.5), производные этих компонент по з, т. е. с(е,/дз, доз/с(з, с(е /с/з, представляют собой компоненты вектора; этот вектор называется производной исход. ного вектора е, по з и символически обозначается через с(е,/с(в или с(ч/с(з. Аналогичные замечания имеют место и для производных более высокого порядка от оп ез, е по ж 8. Свавяр и вектор Согласно определению дельты Кронекера, справедливо равенство йехие = ин поэтому последний член в формуле (3,11) имеет значение и,ог или и ю, так как для немого индекса можно использовать любую букву. Следовательно, и'ю'.

= и.о,, у у (3. 12) т, е. рассматриваемая сумма произведений представляет собой скаляр; она называется скалярным произведением векторов и, н о, и символически ваписывается в виде и ° у. Чтобы найти выражение скалярного произведения, не зависящее от системы координат, обозначим модули сомножителей. через и и о, а их направления через р и т.

Далее, подставим в выражение ир, составляющие вектора у, определяемые формулой (3.2), а также определяемые соответствующим образом составляющие вектора и. Тогда, учитывая формулу (2.3), получаем значение скалярного произведения в виде и,о, = ив сов(р, «). Это значение можно получить другим путем: спроектируем, например, первый сомножитель на направление второго и умножим зту проекцию на модуль второго сомножителя. В таком виде скалярное произведение вводится обычно в механике; например, мощность равна скалярному произведению силы на скорость в точке приложения силы. В частности, скалярное произведение векторов равно нулю, если его сомножители взаимно перпендикулярны, и обратно, равенство нулю скалярного произведения двух ненулевых векторов показывает. что зти векторы ортогональны.

Из координатной записи и,ть непосредственно следует справедливость коммутативного, дистрибутивного и ассоциативного законов и у=у ° и, и (у+%)=п у+и ' ту, ) Л (и ° У) = (Лп) У = и (ЛУ). (зл 3) Скалярное произведение вектора о, самого на себя ~Р.= о(+ ой+ озз (3.14) Рассмотрим теперь сумму произведений соответствующих компонент двух векторов и, и ор Из формул (3.5) и (2.13) следуют равенства и о =(се ирис,,о,)=се с,,иеи,=йыи,ог (3,11) Гл. Д Геометрические осноем равно квадрату его модуля. Хотя квадрат модуля можно ваписать в виде о', записывать левую часть формулы (3.14) в виде огг нецелесообРазно, так как пРи такой записи не Ясно, что 1 представляет собой немой индекс.

Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным гектором. Направление в пространстве обычно задается своим единичным вектором. Обозначив компоненты единичного вектора, имеющего направление р. через рн получим рг = соз (р, хг), и формулу (3.3) можно записать в виде ягою = пуо (3.15) Заметим, что в правой части соотношения (3.15) латинскими индексами отмечены компоненты, подчиняющиеся формулам преобразования (3.5), тогда как греческий индекс в левой чаетн не имеет такого смысла. В самом деле, из формулы (3.15) следует, что о<ю представляет собой скалярное произведение векторов о, и р, и поэтому не зависит от системы координат.

4. Тензор. Обобщая первое определение понятия вектора (см. п. 3), условимся, что для любого направления е пространстее каждому тепзору можно поставить е соотеетстеие вектор посредством линейного и однородного относительно направляющих косинусое соотношения. (Термин тензор вначале появился прн анализе напряжений в механике сплошной среды'), где каждому элементу поверхности, проходящему через фиксированную точку, ставится в соответствие отнесенный к этому элементу вектор напряжений. Условия равновесия доказывают, что соотношение между направлением нормали рассматриваемого элемента поверхности и вектором напряжений линейно и однородно относительно направляющих косинусов нормали. Таким образом, напряженное состояние в какой-либо точке сплошной среды определяется при помощи тензора, тензора напряжений в этой точке.) Символически тензоры обозначаются заглавными буквами.

В прямоугольной декартовой системе координат хн хг, хз тензор Т задается векторами Т,, Тг, Тз, соответстзувмцнми координатным направлениям. Эти векторы называются проек- ') От слова гевзюз — напряжение — Прим. ред. Е. Телзар циями тензора на координатные направления. Вектор Т~ь~. соответствующий направлению р, задается формулой Таа= Т, сов(р, х )+ Тг сов(1ь, х )+ Тгсоз(р, хг) = Тут, (4.1) которая аналогична формуле (3.3). В координатах хн хг, хз вектор Т, определяется своими компонентами Тп, Тен Т, по осям координат. Компоненты векторов Тг и Тз аналогичным образом обозначим соответственно через Тгн Тю, Т и Т н Тт, Тт. Девять величин Т, называются компонентами тензора Т по отношению к системе координат хн х,, х.

Подобно тому как вектор с компонентами он о. и называют вектором ор пак и тензор с компонентами Тп, Тпь ..., Т называют тенаором Тор Если в формуле (4.1) совместить направление р с положительным направлением х,' второй системы прямоугольных декартовых кбординат х,', х'. х и величину тензора Т для этого направления обозначить через Т1, то компоненты р, единйчного вектора с направлением р можно отождествить с коэффициентами сп в формуле (2.7) преобразования координат. Таким образом, можно записать равенство Т1 — — спТо (4.2) Р Обозначим через Тн значение вектора'Т1 для направления х,'.

С другой стороны, согласно формуле (3.5), значение Т~ для этого направления имеет вид срТ,~. Следовательно, в декартовой системе координат формула (4.2) имеет вид Ф Тп = спсмТг! (4.3) Р Соответствующие формулы для Тм и Тм получаются нз формулы (4;3) путем замены индекса 1 индексамн 2 н 3. Таким образом, общая формула преобразования для компонент тензора имеет внд Тт = сгьсрТ~р (4.4) Эту формулу преобразования можно положить в основу второго определения понятия тензора: з любой прямоугольной декартовой системе координат тензор определяется девятью компонентами, которые лри преобразовании координат (2.7) преобразуются ло формуле (4.4). Га /.

Геометрические основа Если требуется показать все девять компонент Тпо Тж, ..., Тзз тензора Т, то это обычно делается при помощи матрицы Тп Т, Т, Т= Т, Т, Т Т, Т. Т, (4.5) Так как в правой части формулы (4.6) индексы / и / являются немымн, то их можно переставить, не изменяя значения этой части формулы. Следовательно, получим равенство Ти = с//с/«Т// = с/«с/~Т~/. (4.7) Сравнение формул (4.7) и (4.4) приводит к следующему результату: если девять величин Т, представляют собой компоненты тензора Т, то значения Т, также будут компонентами тензора, который называется трансионироеинным по отношению к тензору Т и обозначается через Тт.