А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика, страница 8

Определение 4. Пусть М вЂ” произвольное мнолсество. Покрытием множества Е С М называется такое семейство (Вл)лел подмножеств множества М, что Е С О Вх. АЕА Связь между компактностью и вполне ограниченностью множества точек метрического пространства устанавливает следующая теорема. $4. Комвактиые мнив(яства 19 Теорема 2 (Хаусдорфа). Всякое компактное множество К С Х вполне ограничено в метрическом пространстве (Х, р). т Предположим, что К компактно, однако лля некоторого еь > О не имеет конечной еьсети. Возьмем произвольное х, б К.

По предположению множество (х,) не образует еь-сети для множества К, т.е, р(х„К) > е,. Выберем любую точку х, б К, удовлетворяющую условию р(х(, хз) > еь. Поскольку множество (х(, хз) не является еь-сетью лля множества К, то найдется такая точка х, б К, что р(х„х,) > еь(( = 1, 2). Пусть выбраны точки х„х,, ..., х„, удовлетворяющие условию р(х(, х,) > еь (( ~ 5 д (, )' ( и). Найдем такое х„ы б К, что р(х„х„„) > г, () = 1, и). Инцукпией ло п б Я построена последовательность (х„) точек множества К, члены которой удовлетворяют условию р(х„х)) > еь (( и' 5).

Из послецовательности (х„) нельзя выбрать сходящуюся подпоследовательность, что противоречит предположению о компактности множества К. Источник противоречия — в предположении, что К не является вполне ограниченным. Ы Теорема 3 (Фреше). Если метрическое пространство (Х, р) полное, то каждое вполне огра«иченное в нем множество Е С Х компактно. т Если Е С Х вполне ограничено, то че > О в множестве Х существует конечная е-сеть для множества Е. Пусть (х„) — произвольная последовательность элементов из Е. Поскольку существует конечное покрытие множества Е открытыми шарами с радиусами, меньшими е, то по крайней мере один такой шар содержит подаоследовательность (х„). Таким образом, ((е > О из любой последовательности элементов множества Е можно выделить подпоследовательность, расстояние между элементами которой меньше е.

Пусть чп б М с„= — „'. Выберем из последовательности (х„) подпоследовательность (х~,") с расстояниями между элементами меньше 1. Из этой лодпоследовательности выделим новую (х'„в) с расстояниями, меньше -,'. Пусть выбраны поцпоследовательности (х")) 5 = 1, й. Выделим из (х~„) поцпоследовательность (х„) с расстояниями, меньшими — „, . Получили после(ы( (ьь))) ( довательность подпоследовательностей (х(„)) „. Образуем новую последовательность (х(„"'), ьен' составченную из диагональных членов указанных подпоследовательносзей.

Члены этой последовательности, начиная с номера й б М, принадлежат й-й подпоследовательности, в силу чего ч(п > ((, т > 1() р (х~„"), х( ') ( ( . Следовательно, последовательность (х~„*ч) фундаментальная. Поскольку пространство (Х, р) полное, то 1(ш х'„"' = х, х б Х. По определению множество Е компактное в пространстве (Х, р). ы Из теорем 2 и 3 получаем следующее утверждение. Теорема 4. Для того чтобы множество Е С Х было компактным в пространстве (Х, р), необходилю, а если (Х, р) — полное пространство, то и достаточно, чтобы Е было вполне ограниченным в нем. Теорема 5.

Компактное подмножество К С Х полного метрического пространства (Х, р) является компактом тогда и только тогда, когда оно замкнуто в (Х, р). < Необходимость. Пусть К С Х вЂ” компакт, т.е. компактное множество. Согласно теореме 5, п, 3.5, пространство (К, р) является полным, в силу чего множество К замкнутое. достаточность. Если множество К С Х замкнуто в (Х, р), то согласно теореме 5, п.3.5, пространство (К, р) полное, т. е. К вЂ” компакт.

и Следующее утверждение позволяет дать новое определение компактного в себе множества, эквивалентное определению ! . Теорема 6. Пусть Р С Х вЂ” замкнутое множество в метрическом пространстве (Х, р). Дея того чтобы Г было компактным в себе, необходимо и достаточно, чтобы из любого покрытия этого множества можно было выделить конечное покрытие. т Необходимость. Пусть Р С Х вЂ” компакт, [О ) ял — семейство открытых множеств, покрывающих Р, (е ) — бесконечно малая последовательность положительных чисел, х,, хз, ..., х„— конечная е,-сеть для множества Г. Тогда Р = ( ( Р;, где Г( = О„(х( ) г) Р. и) и) (о (и *= ( Множества Г( — компактные в себе, причем д(Р() < 2е(, где д(Г;) — диаметр множесша Г( Прелположим, что не существует конечного покрытия множества Г.

Тогда этим свойством обла- 20 Гл. !. Основные структуры математического анализа дает хотя бы одно из множеств Р„которое обозначим через Рн . Рассуждая аналогично, выделим из Рн компактную в себе часть Рой диаметром й(Гнч) ( 2е,, которую нельзя покрыть никаким конечным семейством, вьгделенным из семейства (О ) вл. Продолжая этот процесс выделения компактных в себе частей, получим последовательность вложенных друг в друга замкнутых множеств 2 ~ ''" ~ ! г диаметры которых стремятся к нулю (поскольку д(Р,„,;„) ( 2г„и г„= а(1)). По теореме ! существует точка хь Е Г, принадлежащая всем этим множествам. Поскольку семейство (6„) ел покрывает множество Г, то существует такое множество О„ь из этого семейства, что хь Е О„ь.

Так как О ь — открытое множества, то существует е-окрестность О,(х,) С О ь. Выберем и С )ь( нз условия д(Гчч;„) < г. Тогда справедливо включение Рч„, С О,(х,), противоречащее предположению о том, что никакое конечное семейство из (О ) сл не покрывает множество Г;„, г„.

Источник противоречия — в первоначальном предположении, что не существует конечно~о покрытия множества Р. Достаточность. Предположим, что из всякого покрытия (О ) ал множества Г можно выделить конечное покрытие. Пусть М С Р - подмножество, не имеющее прелельных точек. Тогда ч'х Е Г существует окрестносп, О,. (х), не содержащая точек множестна М, кроме, быть может, точки х. Эти окрестности покрывают множество Г.

Выделим из семейства (О~.~) вл конечное покрытие (О, (х,)) —,„. Так как М С ( ) О, (х,) и в кюкдой окрестности О, (хг) может содержаться не более одной точки из М, то множество М конечное. Следовательно, всякое бесконечное подмножество М С Р должно иметь предельные точки, т. е, Р— компактное в себе множество. В Определение 5. Мчалсгства К С Х точек метрического пространства (Х, р) называется компактным, если из любого покрытия (О„) ьл множества К можаи выделить капечпаг ега пакрьипие. 9 5. Связные пространства и связные множества Определение !. Метрические пространства (Х, р) пазываетс» связным, если пв существует двух таких открытых пепустых падмпажгств А С Х и В С Х, чта А ьз В = Х и А гз В =йь.

Эквивалентная формулировка; метрическое пространство (Х, р) связно, если из всех падмпахггств множества Х талька пустое миажгства и само Х одновременно открыты и замкнуты. Определение 2. Множество Е С Х в метрическом пространстве (Х, р) связпа, если связно падпрагтрапства (Е, р) . Определение 3.

Открытое связное мпахсества называется областью. Определение 4. Область вместе са своей границей называется замкпутай областью. Действительная прямая является связным пространством. Для того чтобы множество А С К было связно, необходимо и достаточно, чтобы А было промежутком (ограниченным или нет). $ 6.

Предел и непрерывность отображения из одного метрического пространства в другое бз. Предел и непрерывность отображения. Пусть (Х, рл) и (У, рт) — метрические пространства, у: Х !', хь Е Х вЂ” предельная точка множества Вг.

$6. Предел и непрерывность отображения из одного метрического щюстраиства в другое 21 Определение 1. Точка а Е )' назыеается частичным пределом отобрахсения «е точке хе, если суигестеует такая лоследоеательность (х„) точек мнохсестеа РР что (х„х,) л (Чп Е Г( х„Ф хР д ( 1пп «(х„) = а). Условия (1) можно записать в виде; '(рх(хо~ х„) = о(1)) л (чп Е р( рх(хг, х„) > О) Л (ру(а, «(х„)) = о(1)). Множество всех частичных пределов отобрюкения «в точке ха обозначим символом Ег(хь). Определение 2.

Если множество Ег(хь) состоит из одной точки а, то она назыеаетгя пределом отображения «е точке хь и обозначается символом !цп «(х). о Смысл опрелеления 2 состоит в том, что лля любой последовательности (х„) точек множества Рг, члены которой отличны от хе, сходящейся к хе, посяедовательность («(х„)) схолится к а.

Предел отображения в точке на языке последовательностей принято называть пределом е смысле Гейне (1321-18В1). Оеределение 3 (Гейне). Отображение «называется непрерыепым е точке хч Е РГ, если 1пп «(х) = «(хь) всякий роз„как только х„хч и Уп Е ь'( х„Е Рз. — а Если отображение «непрерывное 7х Е Рг, то будем его называть пепрерыеным. Если хь Е Рг и является предельной точкой множества Рг, то отображение «непрерывно в точке хч тогда и только тогда, когда !цп «[х) = «(хч). В изолированной точке каждое *- о отображение непрерывное. Отображение, не являющееся непрерывным в точке х, Е Рг, наплвается разрыеным в ней.

Пусть х, — предельная точка множества Рг и хе Е Рг. Она называется точкой устранииого разрыва для отображения «, если существует 1цп «(х) Е У. В этом случае отображение «", определенное формулой «(х), если х Е Рг~(хч), «(х) !!щ «(х) при х = ха, о является непрерывным в точке хе. Теорема (о непрерывном образе компакта). Пусть «: Х вЂ” г' — непрерыеноеотображепие и Рг — компакт. Тогда множество Ег компактное е себе, т. е, непрерывный образ компакта есть комлаюн. т Рассмотрим произвольную последовательность точек (у„) из множества Ег —— «(Рг).

Тогда существует такая последовательность (х ), что чп Е Р( х„Е РГ л у„= «(х„). Согласно опреде- ЛЕНИЮ КОМПахта, СущЕСтВуЮт ХЬ Е РГ И ПОдПОСЛЕдааатЕЛЬНОСтЬ (Х„ь) таКИЕ, Чта *„, -+ ХЧ Прн й — оо. По определению непрерывного отображения имеем у„„= «(х„ь) «(х,) = у, Е Е(, что означает компактность в себе множества ЕГ.