А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика, страница 5

Изоморфпзм. Пусть множество Е обладает внутренней бинарной операцией Т, а множество Р— внутренней бинарной операцией .1. Изоморфизиом множества Е на Р называется такая биекция что ч(а б Е, Ь Е Е) 1(а Т Ь) = )(а) 2. з (Ь). При этом множества Е и Р называются июморфныии относительно операций Т и Х. Пусть, например, Е = )ч, операция Т вЂ” сложение, Р = (2"), операция л — умножение. Отображение ŠР— изоморфизм, посколысу ч(п б (ч(, т Е Щ и+ и» 2нъ = 2" 2, т.

е. ((и+ пз) = у(п)/(гн), 5 2. Математические структуры Математической структурой называется множество объекюа или несколько множеств объектов различной природы, обладающих системой бинарных отношений и бинарных операций, подчиненных определенным аксиомам. 2.1. Группа. Группой называется непустое множество Е вместе с правилом, ставящим каждым двум эле- ментам а Е Е, Ь б Е в соответствие некоторый вполне определенный третий элемент а о Ь б Е так, что выполнены следующие условия: 1) операция о ассоциативна: у(а б Е, Ь б Е, об Е) а оЬо с = (а об) ос; 2) в Е существует нейтральный элемент, т.е.

такой элемент и, что чуа б Е а оп = а; 3) ча б Е За' б Е: а о а' = и (а' называется элементом, обратным элементу а). Если, кроме того, 4) ч(а Е Е, Ь Е Е) а о Ь = Ь о а, то группа Е нюыаается абелевой или коммутатииной. Если в группе Е операция о имеет алдитивное (мультипликативное) обозначение "+" (" "), то группу называют аддитивной (мультилликативной), а нейтралънзяй элемент нулевым (единич- ным) и обозначают соответственно 0 (1). Например, множество Е вместе с операцией сложения образует коммугативную группу. Множество Я)(0) вместе с операцией умножения также обра- зует коммутативную группу. 2.2. Кольцо.

Кольцам называется множество Я, в ко~ором заданы две бинарные алгебраические операции: сложение и умножение, причем по сложению это множество — абелева группа (аддитианая группа кольца В), а умножение связано со сложением законами дистрибутивности: ч(аЕВ, ЬЕВ, сбВ) а(Ь+с)=аЬ+ас, (Ь+с)а=Ьа+са. Если операция умножения коммутативна, то кольцо называется коммутативнмм. Если В Э 1, то кольцо называется унитарным. Например, множество О рациональных чисел вместе с операциями сложения и умножения образует унитарное кольцо.

2З. Тело. Если колыю, лишенное нейтрального элемента опюсительно операции сложения, образует группу относительно операции умножения, то оно называется телом. $2. Математические структуры 2.4. Поле. Тело, в котором операция умножения коммутативна, называется полем. Например, упорядоченные тройки (О, ч-, .), (В, +, ) являются соответственно полями рациональных и действительных чисел. Определение.

Пусть 1К вЂ” тела (пале). Отобрагкение ! . (: К ч и+, гдв и+ = (х б !)( ~ х ) О), называется абсолютным значением (модулем) в теле (пале) К, если У(а б К, !3 б К) выполннютсл следующие условия (акгиомы): 1) !о) = 0 ю а = 0; 2) !а ф =(а( ф(; 3) (а + д! ( (а~ е ф (нераввгктво треугольника). Тело (поле), в котором определено абсолютное значение, называется нормированным. 2.5. Векторное пространство няд полем К. 11ормированное пространство. Векториым (линейным) пространством над полем К называется упорядоченная тройка (Е, +,.), состоящая из множества Е, элементы которого называются векторами, операции сложения и операции умножения на элементы поля К. Указанные операции должны иметь следующие свойства, называемые аксиомами векторного пространства: ч(х й Е, у е Е, г б Е, Л б '.К, и б К) 1) х -~- у = у + х; 2) (хту)ч-г =в+(у+г); 3) ЗО б Е: х -1- О = х) 4) 3(-х) б Е: х Ч- (-х) = 0; 5) Л(х+ у) = Лх+ Лу, (Л+ р)х = Лх+ рх; б) (Лр)х = Л(рх); 7)1 х=х.

Имея в виду упрощение записей, вместо тройки (Е, -ь, .) пользуются векторным пространством Е. В произвольном векторном пространстве Е выполняются следующие свойства: 1) Л 0 = 0; 2) О х = 0; 3) ( — !)х = -х. Пусть Š— векторное пространство над нормированным полем !К. Отображение Ц Ц: Е Ж называется нормой (длиной) в пространстве Е, если ч(х б Е, у б Е, Л б К) выполняются условия (аксиомы): 1) ЦхЦ =Ою в=0; 2) ЦЛхЦ = (Л/ ЦхЦ; 3) Цх ь УЦ ~( ЦхЦ + ЦУЦ (неравенгтво треугольника).

Значение нормы на векторе х б Е называется нормой этого вектора. Упорядоченный набор (Е, ч-, ч 1( 1() называется нормированным векторным пространствам. С целью сокращения записи обычно пишут Е вместо набора (Е, +,, (~ Ц). Из аксиом 2), 3) сяедуег, что 1(оц = О, 1(хц > О ух й Е. Первое свойство получаем из аксиомы 2) при Л = О, второе — из аксиомы 3) при у = -х. Вектор х б Е называется пределом последовательности векторов (х„) нормированного пространства Е, если (1х„— хЦ = о(1). Запись: 1цп х„= х. Символом Ландау о(1) обозначают бесконечно малые числовые последовательности, т.

е. такие, что !(гп а„= О. Еще один символ Ландау 0(1) употребляют лля обозначения ограниченных числовых последовательностей. Теорема (о непрерывности нормы). Если последовательность (х„) векторов нормированного пространства Е сходится к вектору х, то Цх„(! ((хЦ. и Справедливость утверждения следует из неравенств -Цх„— еЦ й ((хчЦ вЂ” 1(хЦ 4((х„— х(( 'ч'п б я, являющихся следствием из неравенства треугольника. М В нормированном поле К модуль также является непрерывной функцией. Гл. !. Основные структуры математического анализа В векторном пространстве В каждое из отображений (( ((: В Н, где 12 л (Щ = ~~г хг (евклидава норма), =г (ф( = ~ ~1х,! (октаздрическая норма), (2) '=г 'ях(! = гпах (х,( (кубичгская норма), (3) гк К удовлетворяет аксиомам нормы.

Последовательность (х„) векторов нормированного пространства Е называется фундаментальной, если (Уг > 0) (Эп, б )))) (У(п > п„р б Я)): ~~х„ьр — х„(( < г. Нормированное пространство Е называется полным, если каждая фундаментальная последовательность (х„) его векторов имеет предел в Е. Каждое полное нормированное пространство называется банахавым. Теорема.

Каждая сходящаяся послгдовательнасть (х„) векторов праизвальнага нармированнага пространства Е фундаментальна. м пусть г > 0 и х„- х. Выберем такое и, е )г(, чтобы хгп > и, 1(х„— х~( < г. тогда У(п > п„р б К) имеем )(хяьр — хь(1 < )(х„ля — х(1-Ь (|х — х„(1 < г. М Нормированные пространства Н и 3("' являются полными. 5 3.

Метрические пространства Метрические пространства являются одной из разновидностей топологических пространств. Впервые их выделил в 190б г. М. Фреше (1878 — 1973) в связи с изучением функциональных пространств. Одной из фундаментальных харакгеристик взаимного расположения точек множества является расстояние между ними. Внедрение метрики (расстояния) позволяет выразить в простой и доступной форме, на языке геометрии, результаты математического анализа.

Наиболее важными понятиями в теории метрических пространств являются полнота, компактность и связность. 3.1. Аксиомы метрики. Предел последовательности точек метрического пространства. Определение 1. Пусть Х вЂ” произвольное множества. Отображение Х вЂ” г Ж называется г метрикой, если У(х б Х, у Е Х, г б Х) выполняются следующие условия (аксиомы): 1) р(х, у) = 0 ю х = у; 2) р(х, у) = р(у, х) (акгиама гиыиетрии); 3) р(х, у) < р(х, я) + р(я, у) (неравенгтво треугольника). Упорядоченггая пара (Х, р) называется метрическим пространством, а элементы множества Х называются точками метрического пространства. Каждое нормированное векторное пространство Е преврашается в метрическое, если в нем гу(х С Е, у б Е) метрику определить формулой р(х, у) = 1)х — у)1.

Проверка выполнения аксиом 1)-3) не представляет затруднений. Из аксиомы 3) по индукции следует, что У(х; Е Х, 7' = 1, и, и > 2) выполняется неравенство р(хг, х„) < р(хг, хз) + р(хг, хз)+, . + р(х„„х„). (2) Если р — расстояние в Х, то г((х Е Х, у б Х, я б Х) выполняется оценка (р(хг я) — р(у, я)( < р(х, у). (3) б 3.

Метрические пространства 13 действительно, из аксиом 2) и 3) имеем р(х, г) < р(у, г) + р(х, у) и р(у, л) < <р(у, х) + Р(х, г) = р(х, у) + р(х, г), откуда -р(х, у) < р(х, з) — р(у, г) ~< р(х, у). Из неравенства (3) следует, что У(х Е Х, у Е Х) р(х, у) ) О. Пример 1. Функция р(х, у) = )х — у) У(х, у) Е !))' есть расстояние в множестве К, а метрическое пространства (Й, р) называется действительной пряной Пример 2.

Пусть (Н, -ь, ч )) . !)) — нормированное пространство (см, п.2.5), Отображение )(~ )й, где р(х, у) = !!х — у)), У(х, у) Е Ж~, удовлетворяет аксиомам метрики. Пример 3. Пусть Х вЂ” произвольное множество, Š— множество о/раниченных отображений Х К. Тогда у(/ Е Е, д Е Е) имеем (1-д) Е Е и опрелелено число р(1, д) = зцр )1(х) -д(х)). / ох Отобрюкение (/, д) р(1, д) является расстоянием в множестве Е.

Выполнение аксиом 1) — 3) очевилио. Определение 2. Пусть (Х, р) — метрическое пространство, х Е Х, х„Е Х т/и Е И. Точка х называется пределом последовательности (х„), если р(х„, х) = о(1). В этом случае пишем х = 1цп х„. Т/оследовательаость точек метрического пространства, имеющая предел, иазыаается сходящейся. Теорема 1. Сходящаяся последовательность (х„) точек метрического простраистои (Х, р) имеет единстаеииый предел. щ Предположим, что !цп х„= хо, )пп х„= уа, ха ~ уа.