А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика, страница 9

И 6.2. Непрерывность композиции огобраищиий. Пусть (Х, рх), (Т, рх), (Я, рх) — метрические пространства, «: Х У, д: У Я, Е(СР . Теореиа 2 (о непрерывности композиции отображений). Пусть отображение « непрерыено е точке хч Е РГ, а отобралсение д неарерыено е точке «(хо) Е Р . Тогда композиция д о «нелрерыена е точке хч. ° пусть * хо и Уп е м х„е Р,.г. тогда у = «(х„)/~«(хч) л у„е Р . поэтому д(уч) д(«(хо)) при и — ~ со. Следовательно, (д о «)(х„) = д(у„) д(«(хч)) = (д о «)(хо) Гл.

1. Осноошые структуры математического анализа 22 Теорема 2. Русто хо — лредельнал точка мнохсестеа Ре,ы Если !цп Г(х) = уо и отобрахсе*ь ние д У вЂ” ь Я гсепрерыагсо е точке уо, то 1(ш д(Т(х)) = д(уо). ь <ч Полагаем Г У(х), если х б РгЦхо) Г'(х) = уо при х = хо. Отображение у* непрертовно в точке хо. По теореме 1 композиция д о Г" непрерывна в этой точке. Поэтому !цп (д о У)(х) = )пп (д о У')(х) = (д о Г*) (хо) = д(Уо). Ы 6.3. Непрерывность обратного отображения. Теорема (о непрерывности обратного отображения).

Пусть (Х, рх) (Г, ру)— метрические пространства, У: Х Г и Рг — компакт. Если отображение У непрерыоно и обратимо, то У ' непрерыеное, м пусть (у„) — последовательность точек множества ег, сходящаяся к уо б ег, и а— частичный предел последовательности (Т '(у„)) . Поскольку Рг — компакт, то а б Р). Из непрерывности отображения Г следует, что У(а) является частичным пределом последовательности (у„), в силу чего У(а) = уо и а = / '(уо).

Таким образом, все частичные пределы последовательности (Т (у„)) равны У (уо), т.е. Огп Г '(у„) = У '(уо), что означает непрерывность отображения Г в точке у,. Так как у, — произвольная точка множества ЕР то à — непре— с рывное отобрюкение. М 6.4. Предел н непрерывность отображения в смысле Козни.

Некоторые свойства непрерывных отображений. Пусть (Х, рх), (Г, ру) — метрические пространства, У: Х У. Определение 1. Русто хо — предельная точка мнолсестеа Р) и а б 1'. Гочка а называется пределом отображения У е точке хо е смысле Коши, если (ое > 0) (3б > 0) (чх б Рг, 0 < рх(хо, х) < б): ру(а, Г(х)) < е. (1) Теорема 1. Определения предела отображения о точке «о Геине и по Коши зкеиеаленппсы. М ПУСТЬ 1!Ш У(Х) = а В СМЫСЛЕ КОШИ, Х„- Хо И ЧУП б а) Х„Р' Хо.

ТОГДа ДЛЯ УхаэаииОГО в условиях (1) б > О существует и, б М: 1(п > по 0 < рх(хо, х„) < б. Согласно определению 1, чп > л, ру(а, Г(х„)) < е, т.е. У(х„) — а. Получили, что точка а является пределом отображения Г в точке хо в смысле Гейне. Предположим, что а = !пп Г(х) в смысле Гейне, и покажем, что а является пределом -*и отображения Г в точке хо в смысле Коши. Допустим, что это не так, т.е. для некоторого ео > 0 нельзя указать соответствующего б > 0 в условиях (1): ч(б > 0 Лх б Р) такое, что 0 < рх(хо, х) < б, однако р„(о, у(х)) > ео. Пусть (б„) — бесконечно малая последовательность положительных чисел. По предположению О(п б М)(эх„б Ру)(с(п б р(х„р х, гс 0 < рх(хо, х„) < б„): ру(а, 1(х„)) > ео.

Поскольку б„= о(1), то йпз х„= хо, откуда лосские следовать предельное соотношение йш р;(а, У(х„)) = О, противоречащее тому, что оп б (Ч ру(о, У(х„)) > ео. Источник противоречия — в предпололсении, что а не является пределом отобралсения Г в точке хо в смысле Коши. и Оиределеиие 2. Отображение У с Х У назыеается непрерыоным о точке хо б Рг е смысле Коши, если (з(е > 0)(йб > 0)(ссх б РР рх(хо х) < б): ру(Г(хо) У(х)) < е.

(2) Очевидно, по определения Гейне и Коши непрерывности отображения в точке равносильны. 56. Предел и иеирерывиость отвбрткеиия из одкого метрического вростраяства и другое 23 Понятие непрерывности отобралсения в точке носит локальный характер. На это указывают следуюпсие утверждения. Теорема 2 (о непрерывности сужения отображения). Пусть атабразкениеУ: Х- Е непрерывно в точке хо Е Рс, А С Вг и хо Е А, Тогда сузкение 1!л — непрерывное в точке хо отображение. < ПУсть х„- хо и ссп Е Р( х„б А, То~да Усл(х ) = У(х ) У(хо) = 1|л(хо).

> Напомним, что множество И С Х называется окрестностью точки хо Е Х (см. п.3.4), если существует такое открытое множество 0 С Х, что хо Е 0 С (г. Если хо Е А С Х, то пересечение А гс )г называется окрестностью точки хо в А. Теорема 3. Пусть существует такал окрестность И| точки хо в ВР чта отображение У~се непрерывно в точке хо. Тогда отображение 1: Х Т непрерывно в точке хо. < ПУсть х„х, и )си Е Р( х„б РР СУШсствУет такой номеР по Е в), что )Сп > ло х Е И. Поскольку У(х.„+.) = У!и (х.оь.) У~и (хо) = У(хо), то У(х„) — У(хо) при и сю. По определению отобрахсение У непрерывно в точке хо.

м Смысл теорем 2 и 3 состоит в том, что свойство непрерывности отображения в точке зависит только от тех значений, которые ояо принимае~ в некоторой ее окрестности. Сформулируем понятие непрерывного отображения на языке окрестностей. Оиределение 3. Пусть (Х, рх) и ()г, рг) — метрические пространства. Отображение 1: Х г' называется непрерывныл| в точке хо Е РР если для кахсдой окрестности (г' тачки 1(хо) в .ннажестве Ег существует такал окрестность )г точки хо в множестве РР чта 1(И) С И|. Отображение 1 лазываетгя непрерывным, если онп непрерывна ссх Е РР Посказьку множества 0,(1(хо)) С Е|, 0|(х,) С Вг являются окрестностями точек 1(хо) и х,, то понятие непрерывности отображения 1 в ~очке хо можно сформулировать на языке си б-окрестностей: отображение 1: Х -| Г называется непрерывным в точке хо Е Вг, если длн каждой окрестности 0,(1(хо)) С Ег существует такая акрестласть 0|(хо) С ВР чта У(0|(хо)) С 0,(1(хо)).

Теорема 4. Ды того чтобы отображение 1: Х Г была непрерывным в точке хо Е ВР неабхадил|о и достаточна, чтобы прообраз 1 '()г') каждой окрестности точки 1(хо) в ЕГ был окреппнастью тачки хо в Р|. < Необходимость. Если отображение 1 непрерывно в точке хо Е РР то из определения 3 следует, что хо Е )г С 1 '()г'), следовательно, прообраз 1 'Пг') является окрестносзъю точки хо в Вг. Достаточность. Если И' = 1 '()") — окрестность точки хо в Вт, то существует такое откРытое множество С, что хо Е 0 С И', в силУ чего г' В 1(0). М Следуюшие две теоремы носят вспомогательный характер. Теорема 5. Пусть 1 с Х вЂ” | )г и хо Е Вг — тачка прикосновения множества А С ВР Если атабразкение 1 непрерывна в тачке хо, та 1(хо) — точка прикосновения множества У(А).

щ Если )г' — окрестность точки 1(хо) в Ег, то по теореме 4 1 '()с') — окрестность точки хо в Вг. Так как хо — точка прикосновения мно|кества А, то А гс 1 '()с') Флс. Следовательно, суздествует точка х Е А п 1 '()"), в силу чего 1(х) е 1(А) сз )г', т.е. множество 1(А) сз ъ" не- пустое. Поскольку ог' — окрестность точки 1(хо), то последняя является точкой прикосновения множества 1(А), й Теорема б, Пусть У: Х Т, А' С Ег, В' С ЕГ и А' Р В'. Тогда '(А'')В') = 1 '(А'))1 '(В'). т Пусть х Е У '(А' )В') Тогда 1(х) Е А )В ~ 1(х) Е А' л 1(х) К В' ~ х б 1 '(А') л х 6 Ус(В') ~ = х Е 1 '(А')зУ '(В') ~ 1 (А'сВ') С У '(А'))1 '(В').

Гл. 1. Основные структуры математического анализа 24 Если у Е ( '(А'))7 '(В'), то уЕТ (А)пуЕТ (В)~Т(у)ЕА ЛТ(у)ЕВ мьТ(у)ЕА~В ~ и у б 1 '(А')В') ю 7 '(А'Р,Т '(В') С 1 '(А'~чВ ). Из полученных в конце цепочек импликаций включений следует доказываемое равенство. м Следующее утверждение носит глобальный характер. Теорема 7. Пусть 7: Х У. Следующие свойства эквивалентны: 1) 7 — непрерывное отображение; 2) прообраз 7 '(О) каждого множества, открытого в ЕР открыт в Рг ! 3) прообраз 7 '(Р) каждого мнохсегтва Р, замкнутого в ЕР замкнут в Рг ! 4) для каждого множества А С Рг справеддиво включение 7(А) С У(.4).

и Докажем, что выполняется цепочка нмпликаций !) ~ 4) ~ 3) ю 2) ~ 1). Пусть отобрюкение 7 непрерывно и А С Рг — произвольное множество, А — его замыкание, состоящее по определению из всех точек прикосновения множества А. Если х Е Рг — точка прикосновения множества А, то по теореме 5 7(х) — точка прикосновения множества 7(А). Поэтому 7(А) С 1(А) и !) ю 4). Если выполнено условие 4) и Р С Ег — замкнутое множество в ЕР А = 7 '(Р), то 7(А) С Р = Р. Следовательно, А С Т '(Р) = А н так как А С А, то А замкнуто. Таким образом, 4) о 3). Пусть выполнено условие 3). Согласно теореме 6 имеем У (!пгР) = 7 '(Р!ЭР) = 7 (Р)зг7 (ОР) = !пгТ (Р). Следовательно, 3) ~ 2). Осталось установить, что 2) ю 1).

Пусть выполнено условие 2). Если )г' — окрестность точки 7(х) в ЕР то существует открытая окрестность И" С )г' этой же точки. Прообраз 7 '(И") является открьпым множеством в РР содержащим точку х и содержащимся в 7 (уи), По теореме 4 отображение У непрерывно в точке х б Рг. Поскольку * — произвольная точка, то 7 — непрерывное отображение и 2) мь 1), и Заметим, что образ открытого (соответственно замкнутого) множества при непрерывном отображении, вообще говоря, не будет открытым (соответственно замкнутым). Например, отображение а х', х Е И, непрерывное в К, однако образ [О, 1) открьпого множества (-1, 1) не является открытым.

б.б. Рввиомерио непрерывные отображения. Пусть (Х, рх), (г', ру) — метрические пространства, 7: Х ь У. Определение. Отображение 7 называемся равномерно непрерывным на множестве РР если (ч(е > 0)(зб > О)(т(х~ б Рыхг е Рг), рх(хн хг) < б): ру(У(хг), У(хг)) < е (1) Очевидно, что равномерно непрерывное отображение непрерывное. Обратное утверждение, вообще говоря, несправедливо. Например, непрерывная Функция х х', х 6 И, не является равномерно непрерывной, так как для данного Л > 0 разность (х+ )ь) — х = )г(2х+ (г) может принимать сколь угодно большие значения.

Теорема 1. Пусть (Х, рх), ()г, ру), (Я, ра) — метрические пространства, У: Х ь У, д: г' Я. Если У и д — равномерно непрерывные отображения иа множествах Рг и Рд, то композиция Ь = д ь Т: Х Я равномерно непрерывна иа множестве Рд,г. и Согласно определению равномерно непрерывного отображения 0(е > 0)(Зг) > 0)(ч(у, б Рд уг 6 Рд)1 рт(ун уг) < г)): ря(д(уг)г д(уг)) < е (2) Поскольку отображение У равномерно непрерывное, то для указанного 0 > 0 существует такое б > О, что (3) !7(хг б РР хг б Рг)(рх(хп хг) < б) ю рх(7(х~), 7(хг)) < Ч.

Из (2) и (3) получаем, что ч!е > 0 Зб > 0: ч(Х~ Е Рд г Хг Е Рд,г) (рк(аг Хг) < б) ~ ра(Л(Хг), (г(Хг)) < Е, $6. Предел и непрерывность отобраагеиия аз одного метрического пространства в другое 25 т. е. отображение б = д о 1 равномерно непрерывное. м Теорема 2 (Кантор). Зелкве непрерывное на компакте отображение У: Х ч У равномерна непрерывное. М Пусть Р1 — компакт, 1 — непрерывное отображение. Предположим, что 1 не является равномерно непрерывным. Тогда существует такое ео ) О и две последовательности (х„), (у„) точек множества Р1, что рх(х„, У„) < -„', однако ру(1(х„), у(у„)) ) ео.