А.К. Боярчук - Функции комплексного переменного - теория и практика, страница 6

Обозначим го = р(хо, уа), По определению предела существуют номера я~а~ Е И, п~„~ Е И а/и > а~а~ р(х„, ха) < -*о и Уп ) го!',~ р(х„, уа) < ыг. Тогда чп > и„= гпах(п!'„), п~,~) р(х„ха) е р(х„> уо) < га. По неравенству треугольника р(ха уо) = го ~ (р(х„, хо) ч- р(х„, уа) < га, если только и > поы Получили противоречивое неравенство го > го, источник которого в предположении, что схоляшаяся последовательность имеет два предела, р Определение 3. Пагледоаатгльпость (х„) точек метрического прастрапстаа (Х, р) иизыаается фупдамеитальиай, если (Уг > О) (Лп, Е Я) (У(п ~ )п„Р Е РО): Р(х„ар, х„) < г.

(4) Теорема 2. Если последовательность (х„) точек метрического прострапстаи (Х, р) сходится, то она фупдимеитальиал. щ 11усть х = !цп х„, х Е Х. Тогда Чг > О Лп, Е И; Уп > и, р(х„, х) < -'. Следователыю, У(н ) п„р Е 1Ч) выполняется неравенство р(х„,р, х) < -' и из аксиом 2)„3) получаем оценку р(х„ор, х„) ( р(х„ор,х) -1- р(х, х„) = р(х„лр, х) + р(х„, х) < г. М Определение 4. Метрическое прострапстоо (Х, р) называется полным, если каждая фупдаментальиал последовательность его точек сходится в ием.

Действительная прямая (см. пример 1) является полным метрическим пространством. Пусть !/(х Е ~2~ у Е О) р(х, у) = )х — у). Метрическое пространство (О, р) не является 2 Х полным, поскольку фундаментальная последовательность рациональных чисел х„= 2+ т, +...

+ — „, сходится к иррациональному числу е Е О. 3.2. Шары, сферы, диаметр множества. В теории метрических пространств используется язык классической геометрии. Пусть (Х, р) — метрическое пространство, хо Е Х, 6 > О. Определение 1. Мноакестао Оо(ха) = (х Е Х ) р(хо, х) < 6) называется открыт ым тиарам радиуса 6 с центром в точке хо, а такхсе 6-окрестиостью точки хо. Определение 2. Миоясестао Ол(ха) = (х Е Х ) р(ха, х) < 6) называется зам к пут ым шаром радиуса 6 с центром а тачке ха.

Определение 3. Мпохсество д(хо, 6) = (х Е Х ) р(хо, х) = 6) называется сферой радиуса 6 с центрам а точке хо. На действительной прямой открьпый (соответственно замкнутый) шар радиуса 6 с центром в точке ха Е К есть интервал (хо — 6, хо+ 6) (соответственно сегмент )ао — 6, ха + 6)), а сфера того же ралиуса состоит из двух точек (х, — 6, ха + 6) . Гл. 1. Основные структуры математического анализа 14 Определение 4. Пусть (Х, р) — метрическое пространство, А и  — два непустых подмножества множества Х.

Неотрицательное чисго р(А, В) = !п( р(х, у) ЕА,уЕЛ назывигтся расстоянием от А да В. Если множество А одноточечное, то вместо р(А, В) записывают р(х, В). Равенство (1) можно также записать в виде р(А, В) = !п( р(х, В) (2) *ЕА если А гз В ~и, то р(А,В) = О, однако р(А, В) = О ~. А гз В пн, пусть например, А = И, В = (х„Е Я~ х„= и — -'; и Е Щ Ц) . Тогда ! р(А, В) = (п( — = О.

и АПВшд1, Определение 5. Пусть (Х, р) — мегприческое пространство, А С Х вЂ” непустае множество. Диаметрам множества А называется число д(А) = Уцр Р(х, У)- ЕА.уЕА Из определения следует, что диаметр нспустого множества может быль неотрицательным действительным числом или +со. Если А С В, то д(А) ( д(В). Равенство г!(А) = О выполняется тогда и только тогда, когда А — одноточечное множество.

Если диаметр множества А конечный, то оно называется ограниченным. Теорема. Объединение двух аграничгнныхмпажеств А и В является ограяиченлыммножгсввом. щ Если а Е А, Ь Е В и х, у — любые точки множества А О В, талибах Е А л У Е А и тогда р(х, у) < д(А), либо х Е В, у Е В и тогда р(х, у) ( д(В), либо, например, х Е А, у Е В и тогда вследствие неравенства треугольника полу«асм неравенство р(х, у) < р(х, а) + р(а, Ь) Е р(Ь, у), поэтому д(А О В'1 < р(а, Ь) + д(А) + д(В). (4) Пусть е > О.

По свойству точной нижней грани найдется такая пара точек а' Е А, Ь' Е В, что р(А, В) ( р(а', Ь ) < р(А, В) + г. Поскольку а и Ь вЂ” произвольные точки, то, полагая в неравенстве (4) а = а', Ь = Ь'. получим оценку д(А ГЗ В) < р(А, В) -1- д(А) + д(В) + е. В силу произвольности выбора е > О имеем д(А (з В) < р(А, В) + д(А) + д(В). ~ Следствие. Если множество А ограниченное, то (гху Е Х множетпва А содержится в замкнутом шире с центром в точке ху и радиусом г = р(хв А) + д(А).

3.3. Открытые множества. Определение 1. Открытым множеством в метрическом простринстве (Х, р) называется подмножество 0 С Х, имеющее свойство; (чх Е 6) (Эб > О): Ог(х) С О. Из определения следует, что пустое множество открытое. Все множество Х также открытое. Теорема 1. Каждый открытый шар является открытым множеством.

щ Пусть (Х, р) — метрическое пространство. Если х Е Ог(ху) С Х, то р(ху, х) < б и 6, = 6 — р(ху, х) > О. Тогда р(х, у) < бы если у Е Ог,(х). Оценим расстояние р(хв, у). Согласно неравенству треугольника имеем р(хв, у) ( р(ху, х) + р(х, у) < р(хо~ х) + 6, = б. Таким образом, выполняется включение Ог, (х) С Ог(ху), т. е.

точка х входит в множество Ог(хр) с некоторой окрестностью. Ь б 3. Метрические пространства Теорема 2. Обьвдинениелюбого семейства (6„)„ел открытых множеств есть открытое множество. щ Если х Е 6« для некоторого Л Е А, то существует такое 6 > О, что Ов(х) С Ол С ]„] 6». ш нел На действительной прямой любой интервал (а, +со) открьгт как объединение открытых множеств (а, х) для всех х > а.

Теорема 3. Пересечение конечного семейства открытых мнохгеств есть открытое множество. щ Достаточно рассмотреть случай двух открытых множеств 6, н О„а затем провести индукцию. Если х Е 6~ П Оз, то существуют такие 6~ > О и 6, > О, что Ощ (х) С 6,, ОЕ(х) С 6, и Ог(х) С 6~ Л Ог где 6 = пнп(бн Ьг).

1» Пересечение бесконечного семейства открытых множеств, вообще говоря, не является открытым множеством. Например, пересечение интервалов (--, -), п Е К на действительной 1 1ч прямой есть одноточечное множество (О], которое считается замкнутылк 3.4. Внутренность множества. Пусть (Х, р) — метрическое пространство. Определение 1. Открытой окрестностью множества А С Х называется любое открытое множество, которое содержит А.

Окрестностью множества А называется любое множество, содержащее открытую окрестность А. В случае, когда А = (х], ведут речь об окрестности точки х (а не множества (х]). Определение 2. Точка х Е Х пизывавтсл внутренней точкой множества А С Х, если А является ге окрестностью. Ьзпожвство всех внутренних точек множества А называется вго внутренностью и обозначается символам (пгА '. Внутренность любого промежутка с начатом а и концом Ь (а < Ь) на действительной прямой есть интервал (а, Ь), так как точки а и Ь не мозуг быть внутренними точками промежутков [а, Ь], (и, Ь), (а, Ь].

Теорема 1. Дня любого множества А С Х внутренностью )пь А является наибольшее открытое множество, содерлсащевгя в А. щ Если х Е !о!А, то существует открытое множество 6 С А, содержащее точку х. Для любой точки у Е 6 множество А по определению 1 является ее окрестностью, поэтому у Е ш! А. Итак, 6 С !и!А, )пгА = 0 (х] С 0 6„С 1п!А. По теореме 2, п.3.3, множество 1пгА е~«~ А ы !А открытое. Если В С А — открытое множество, то из определения 2 следует, что В С )п! А. Таким образом, открытые множества характеризуются условием А = !п! А.

г» Следствве. Если А С В, то (пг А С !и! В. Теорема 2. Дт любав лары лгпожеств А и В вьгполняетсл равенства (пг(А О В) = (п! А гз !п! В. щ Включение 1пг(А П В) С )и!А гз (и!В получаем нз следствия. Согласно теореме 3, п.3.3, пересечение (пгА и (п! В является открытым множеством и содержится в пересечении А О В. По теореме 1, выполняетса включение !п! А гз )пг В С )пг(А гз В). Из полученных включений следует справедливость утверждения. Ш Внутренность непустого множества может быть пустым множеством, например, для одноточечного множества (х] на действительной прямой 1пг(х) =в.

Определение 3. Внутрвннял точка множества Х1А называется внешней точкой для А, а внутренность множества Х1А — мнохгест вам внешних точек множества А. Теорема 3. Для того чтобы точка х Е Х бьиа внешней для А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие р(х, А) > О. т Необходим ость. Если х Е Х вЂ” внешняя точка для А, то существует шар Ов(х) С Х1А (6 > О).

Для любой точки у Е А имеем р(х, у) > 6, следовательно, р(х, А) = 1п( р(х, у) > 6 > О. зал Счфаш«иуз «го пь««ыиие«г — «умл и в. 1б Гл, 1. Основные структуры математического анализа Достаточность. Пусть * б Х. Обозначим 6, = р(х, А). Из условия 6, ) О следует включение Оо, (х) с х'1А, вследствие чего х является внутренней точкой множества х)А. и 3.5. Замкнутые множества, точки ирякосиовеиия, замыкание множества. Пусть (Х, р) — метрическое пространство.

Оиределеиие 1. Мнахсества Г С Х называетсл замкнутым, если ега дополнение СР лвлявтгя открытым множеством. Пустое множество, а также множество Х замкнуты. Промежутки [а, +оо), (-оо, а) и множество Т вЂ” замкнутые множества на числовой прямой. Промежутки [а, 6) н (а, Ц не являются ни открытыми, ни замкнутыми множествами. Теорема 1. Замкнутый шар Оо С Х(хо) и сфера Я(хо, 6) С Х являются замкнутыми множествами.