kudryavtsev2 (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 9

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если в точке х>о> ~ 6 якобиаи отображеиия ие равен нулю, а у>в> = Ях>">), то в силу теоремы 3 существует окрестность О„точки у>о>, иа которой определено обратное отображение ) г. Отс>ода, в частности, следует, что в каждую точку у ~ 0„ при заданием отображеиии ) отображается по крайней мере одна точка х(6, т. е.

О,с:)(6). Таким образом, для точки у<о>~ 1(6) существует ее окрестность 0 ~/(6), а зто и означает, что точка учо> внутренняя для множества 1(т6) Следствие 1 доказано. Следствие2 (принцип сохранения оп>крыт о г о м н о ж е с т в а). Пусть отображение 1 отображает открыпгое множеыпво 0~ Е" в пространспию Е". Если отображение 1 непрерывно дифференцируемо на 6 и если его якобиин не обращаегпся в нуль в 6, пю образ множества 6 также является оп>крытым множеством. Д о к а з а т е л ь с т в о. Если у ~1(6), то, согласно следствию 1, точка у является внутренней точкой множества((6).

Так как у— произвольная точка множества 1(6), то это означает, что множество 1(0) состоит только из виутреииих точек, т. е. открыто, Следствие доказано. С л е д с т в и е 3. Пусть отображение >' отображает огпкрыпюе множество 6~Е" в пространопво Е".

Если отображение 1 непрерывно дифференцируемо на 6 и если его якобиан не обращается в нуль в 6, то для каждой точки х>о> >-6 сущеспюует ее окрестность, которая при отображении / взаиино однозначно отобразкается на нгкогпорую окрестносп>ь 0 точки у>о>. До к а з а те л ьот в о. Возьмем окрестность 0 точки у>о>, „т построенную при доказательстве теоремы 3, иа которой отображение ) ' взаимно однозначно. Согласно следствию 2, множество) г(0,) открыто и, следовательно, является окрестностью точки х, которую мы и обозначим через 0„. Очевидио, 1(0„) = О„. Следствие доказано.

У п р а ж и е н и е 2. Построить пример непрерывно дифференцируемого отображения некоторой плоской области. икобиан которого нигде не абра. жаетсв в ноль и которое не взаимно однозначно Теорема 5 (принцип сохранения области). Образ и;верной области в и-мерном просп>рантае при непрерывно дифференци- 4т'д. Уравнение, в котором нарушаются условия единственности руемолс отображении с якобианом, не обраи(аюи(имея в нуль, являет ся областью.

Доказательство. Пусть 6 — область, 6с:Е" и у = 1(х) — отображение 6 в Е', удовлетворяющее условиям теоремы. Согласно следствию 2 теоремы 3, множество /(6) открыто. Покажем, что любые две его точки можно соединить кривой, целиком лежащей в 1(6). Действительно, если у' (- 1(6) и у" С)(6), то по самому определению множества т(6) существуют точки х'~-6 и х" с 6 такие, что 1(х') = у' и Дх") = у". В силу же того, что 6 — область, существует кривая с представлением х(с), и < с < )1, соединяющая в 6 точки х' н х": х' = х(а), х = х(1т) и х(Г)~6, и <1~(Р. Очевидно, что кривая с представлением 1(х(У)), а < с < )) соединяет в У(6) точки у' и у", т. е. 1(х(а))=у', /(х())))=-у" и 1(х(1)) ~~ 1(6) при а < 1 < )).

Теорема доказана. 41.6. Неявные функции, определяемые уравнением, а котором нарушаются условия единственности. Особые точки плоских кривых Мы уже знаем, что если некоторая точка х<о>= (х';"') удовлетворяет уравнению Р(хм ..., х„).=0 (41. 36) дР и в этой точке производная — не равна нулю, то, при соответству! ющнх условиях на непрерывность самой функции 1 и указанной производной, уравнение (41.36) разрешимо в некоторой окрестности точки хлм относительно переменной х, н решение является непрерывно дифференцируемой функцией остальных координат. Естественно возникает вопрос: а что будет в случае, когда в точке хсо> частные производные по всем аргументам обращаются в нуль— определяет в этом случае уравнение (41.36) какие-либо фуякции или нет? Остановимся на этом вопросе, однако ввиду его сложности ограничимся лишь рассмотрением двумерного случая. Итак, мы будем рассматривать уравнение г" (х, у)=0, (41.3?) где функция р определена и непрерывно днфференцируема в некоторой окрестности точки (хв, ув), такой, что Е( „уа) =-0.

(41.33) 46 В 4>. Неявные 4>эякчии Пусть Рк(хо, у„)=-Г>(х„, уо)=-0. (41.39) Покажем, что и при выполнении этих условий уравнение (41.37) иногда может быть разрешено в окрестности точки (х„у,) относительно одной из переменных, так что получится непрерывно дифференцируемая функция; однако это можно сделать, вообще говоря, не единственным образом. Таким образом, условие Р,'(х„у,)+ Ру'(х„уо)+ О, (41.40) которое в нашем случае!см. (41.39)) не выполняется и которое позволяет применить теорему 1 о неявных функциях к одному из переменных, естесгветю назвать условием едино>пвенности разрешимости уравнения (41,37).

0>ьределение 11. Точка (х„у,), удовлетворяющая условиям (41.38) и (41.39), называется особой точкой уравнения (41.37). Особая точка называется изолированной, если существует ее окрестность, в которой она является единственной особой >почкой. Геометрически, если уравнение (41.37) является неявным представлением какай-либо кривой, то в окрестности особых точек этого уравнения кривая, вообще говоря, не является графиком некоторой гладкой однозначной функции (как это имеет место при выполнении условия (41.40)); здесь возможны разные особенности„которые мы сейчас и рассмотрим. Введем для краткости записи обозначения о о гяк (хо Уо) = соя~ Рху (хо~ Уо) = Ркю г>э (хо Уо) = 1'яою Теорема Б.

Пусть функция Р(х, у) определена и дважды непрерывно дифференцируел>а в некоторой окрес>пнос>пи точки (х, у ), копюрая является особой изолированной точкой оля уравнения (41.37) и пуспю Р!я Р,",— 1:.', + 0. Тоеда, если (41.41) то >почка (х„у,) являеп>ся изолированным решением уравнения (41.37), т. е. существует окрестное>пь точки (хо, уо) „никакая точка которой, за исключением самой точки (х„уо), не удовлетворяет уравнению (41.37); если же с,„с Р„як" О, (41.42) то уравнение (41.37) разрешил<о в некоторой окрестности точки (хо, уо), но не однозначно: имеютсл две различные дифференцируемь>е функции, удовлетворяющие уравнению (41.37).

Поэтолгу точка (хо, уо) называется в этом случае двойной пючкой. 4йб, Уравнение, в котором наруи)а)отел условия единственности Например, если Ро +О (41.43) то существуют две дифференцируемые функции )т(х) и )з(х), определенные в некоторой окрестности точки х, и такие, что в этой окрестности Р(х, (ы (х)) = О, Г(х, )'з(х)) = О, причем 7)(хо) = ) з(хо) = у„ а пРоизводные фУнкции )т(х) и уз(х) в точке хо ЯвлиютсЯ Различными корнями уравнения Рк + 2Рк й+Р й --О, (41.44) До к аз а тел ь ство. Пусть выполнено условие (41.41), вместе с условиями (41.39) оно дает условие строгого экстремума для функции Р(х, у) в точке (хо, у,) (см.

теорему 3 в и. 40.2). Поэтому существует окрестность О точки (х„у ), такая, что при (х, у) ~ О и (х, у)+(хо„уо) либо всегда Р(х, у) ) Р(хо, уо), либо всегда Р(х, у) ( Р(х„уо), и так как Г(хо, у,) = О, то Г(х, у) ~ 0 для всех (х, у) ~ О, (х, у) и'= (хо, уо), т. е. точка (х„у,) является изолированным корнем уравнения (41.37)**). Пусть теперь выполнено условие (41.42). Разложим функцию Р(х, у) по формуле Тейлора в окрестности точки (х„у,) до второго порядка; тогда, учитывая условия (41.38) и (41.39), получим Р(х у)= 2 [Рхк(х х) +2Ркг(х хо)(у уо)+ +Го (у — у,)')+о(с'), (41.45) где г = у'(х — хо)з+(у — уо)'. Положим х — хо = г'соз ф, У вЂ” Уо = ГБ)п ф.

Очевидно, (г, ф) — полярные координаты точки (х, у), причем за начало полярной системы координат принята точка (х„уо). В этих координатах Е(х, У)= г (Г"ксоззф+2Гл созфыпф+Р,'„Япзф)+о(гз)= = — Р (ф) + о (г'), (41,46) где Р (сР) =- Ро„соз'ф+ 2Е„'.г сов ф Яп сР+Ро з1п')Р, (41.47) илн при Ч)+ и (21+1), А=О, ~ 1, ~2, ...: *) Корни этого уравнения вещественны н различны в силу условна(41.42) и (41.43). **) Отметнм, что в доказательстве этого утверждения используется яе то, что точка (ко, у,) является изолированной особой точкой, а лишь то.

что она является просто особой точкой, в которой выполняетсн условие (4!.41). Е 4!. Неявные функции Р (ср) = созе ср (Г„+ Р„„18 ср+ Р„в1и' ср). (41.48) Предположим теперь, что выполнено также и условие (41.43). Пусть й, и Ае — корни уравнения (41,44) и пусть ср, = агс1н йс н сря = асс!8 й„тогда %1+ ~ 2. ~я+ ~ з ° (41.49) и из (41.48) следует, что Р(ср)=сазяср(18ср — 1дсрс)(18ср — 1Дср,), (4!.БО) Из формул (41.47) и (4!.48) видно, эео функция Р(ср) обращается в воль только для углов вида ср.= ср, + /сп и ср = ср, + /сп, А = О, Ч- 1, ~2, ..., причем при переходе аргумента через эти значения она меняет знак.