kudryavtsev2 (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 11

Для уравнения (х'+ у') (х'+ у' — 1) = 0 (41.61) условия особой точки (41.39) дают 2х'+ 2ху' — х =- О, 2уа -)- 2х'у — у = О. Складывая и вычитая эти уравнения, получим (х+ у) (2х'+ 2у' 1) = О, (х — у) (2хз+ 2у' — 1) = О. Отсюда либо х = у = О, либо 2хз+ 2у' — 1 = О, однако точка (х, у), координаты которой удовлетворяют последнему соотношению, не является корнем уравнения (41.61) (для нее х' + у' = —, и, значит, ни один из сомножителей левой части (41.6Ц не обращается в ноль). Таким образом, единственной особой точкой является (О, 0). Легко проверить, что здесь выполняется условие (41.41) и, значит, точка (О, 0) является изолированным корнем уравнения (41.61). Геометрически, как это сразу видно, уравнение (41.61) задает единич- ную окружность и ее центр (О, 0) (это множество, очевидно, не является носителем никакой кривой, заданной параметрически в смысле п. 17.1).

3. Для уравнения '+у — 3 у=О условия (41,39) особой точки дают уравнения х' — ау =О, у' — ах =О, откуда либо х = у .= 0 и эта точка удовлетворяет уравнению (41.62), либо х = а, у = а, но эта точка не является корнем уравнения (41.62). Снова здесь (О, 0) — единственная особая точка. Нетрудно убедиться, что прп этом выполняются условия (41,42)„и, значит, точка (О, 0) является двойной точкой. Геометрически для кривой, неявным представлением которой является уравнение (41.62) (она называется декартов лист, и мы ЕРВ. уравнение. в котором норуигивотск условии единственности с ней уже встречались в п.

15.3); точка (О, О) является точкой самоаересечения илп двойной точкой (см. рис. 49 в первом томе). 4. Для уравнения (41.63) уе хз — О точка (О, О) является особой точкой; в этой точке выполняется уже условие (41.60), и тем самым в этом случае не выполняются условия теоремы 5. Геометрически кривая, выражаемая уравнением (41.63) и з называемая полукубической параболой у = ~хе, имеет в точке (О, 0) касательную и расположена в окрестности этой точки по одну сторону от нормали, Рис.

Рее Ри. 222 Точки такого типа называготся точками возврата (рис. 127). 5. Для уравнения у' — х'=0 (41.64) точка (О, 0) также является особой точкой, и снова здесь выполняется условие (41.60). Уравнение (41.64), очевидно, распадается на два уравнения: у = х' и у = — х', которые задают две параболы, имеющие в точке (О, О) общую касательную. Особые точки, в некоторой окрестности которых уравнение (41.37) задает две непрерывно дифференцируемые кривые, имеющие в точке (х„, у,) общую касательную, называются точками самонрикосновения (рис. 128) этих двух кривых. Может случиться, что при выполнении условия (41.60) особая гочка окажется изолированным решением уравнения (41.37) или его двойной точкой.

В заключение сделаем некоторые пояснения к уравнению (41.44). -ели (хс, у,) — особая точка уравнения (41.3?), то после параллель- э 4Ь Неявное Фовхчии ного переноса начала координат в точку (х„ у,) уравнение (41.37) примет вид Ро хг 1 2р" ху+ Р~~ у»+о(хо+у»)=0 (41.66) (здесь индексом 0 наверху обозначены значения частных производных в точке (О, 0)), откуда с точностью до бесконечно малых более высокого порядка наше уравнение можно записать следующим образом: — о г — о -о Р„„хг+ 2Р„ху+ Р„е уг = О. (41.66) В случае выполнения условия (41А2) левая часть уравнения (41.66) распадается на два вещественных множителя, каждый нз которых, приравненный нулю, и дает касательные к двум ветвям кривой в точке (О, О) (см.

доказательство теоремы б этого пункта). В случае же выполнения условия (41.41) левая часть уравнения (41.66) распадается на два комплексных множителя: екасательные мнимы». Это естественно, так как здесь говорить о касательной не имеет смысла, ибо в этом случае особая точка является изолированной точкой. Это замечание особенно удобно использовать для определения характера особой точки в случае алгебраической кривой, т.

е. кривой, заданной уравнением Р(х, у) =О, (41.67) где Р(х, у) — многочлен от двух переменных х и у, Если (0„0)— особая точка этого уравнения, то из условий (41.38) и (41.39) следует, что этот многочлен не содержит ни свободного члена, ни членов первого порядка, т. е. уравнение (41,67) имеет вид ахг+2Ьху+суг+0(х, у) =О, где о)(х, у) — многочлеи, все члены которого по крайней мере третьего порядка. Характер поведения решений этого уравнения определяется его главной частью, т.

е. уравнением ах' + 2Ьху + су' О, которое является уравнением (41.66) для данного случая, ибо, как легко видеть, здесь — о -о — о а=Р„„, Ь=Р,» и с Г Если же точка (О, 0) удовлетворяет уравнению (41.67), но не является особой, то уравнение (41.67) имеет вид Ах+Ву+К(х, у)=0, А»+Во) О, 41.7. Замена переиенне~х 4!.7. Замена переменных Часто в различных вопросах математического анализа и его приложениях при изучении той или иной формулы, содержащей какие-либо функции и их производные (обыкновенные нли частные), оказывается целесообразным перейти к другим независимым переменным, а иногда н к другим функциям, которые связаны с данными функциями определенными соотношениями. Все зги преобразования делаются на основании правил дифференцирования сложных и неявных функций.

Рассмотрим примеры. Пусть и = и(х, у). Преобразуем выражения А=~,—,„') +( — "), (41.68) деи деи В= — +— дхе дуе (41.69) к полярным координатам г, гр. Из формул, связывающих декартовые координаты с полярными х =гсов ер, (41.70) у=г гйп гр, находим дх де . ду, ду — =созер, — = — гз(пер, —.=з(пгр, — =гсозер. (41.71) дг ' дч дг ' дч Применим формулы дифференцирования сложной функции: ди ди дх ди ду ди 2и — — — + — — = — соз ер+ — з(п ер, дг дх дг ду дг дх ду ди ди дх ди ду ди - ди дч дх д~р ду де дх — = — — + — — = — — г айп ер+ —.г сов ер, ду ди ди разрешим получившиеся равенства относительно — и — : дх ду ди ди ди ецпч — =- — соз <р — — —, дх дг де г ди ди . ди сое~р — = — з(п ер + —— ду дг,, де г (41.72) где )г(х, у) — многочлен, все члены которого имеют порядок не ниже второго.

Из теоремы о неявных функциях (см, свойство у'1 в теореме 1 п. 41.1) следует, что уравнение Ах+ Ву =О является в этом случае уравнением касательной в точке (О, О) к графику решения уравнения (41.67). З 4Ь Неявные 41унниии и подставим получившиеся выражения в (41.68): гд ди з|п Ет з /ди . ди соз грех А=~ — созгр —.' — ) +~ — 51п~р+ —— (,дг д<р г ) 1 де д<у г ) =('-".)'+-'(Ф)'. Теперь перейдем к вычислению выражения (41.69). Продифференцируем формулы (41.70) сначала по х, затем по у: дг . д<р дг .

дт 1=созгр — гзшср —, О=созгр — гз)п~р —, дх дх = ар ду ' дг дгр . д» д~р 0=51п~р — +гсоз<р —, 1=51п<р — +гсоз~р —, дх а» = ду ду ' дг до дг Разрешим получившиеся системы относительно дх' дх' ду др, и — '. ду дг дг . до з1пт д<р соз ~р дх ' ду ' дх г ' ду г — =созгр, — =51п~р, — = — —, — = †. (41.73) Продифференцируем теперь формулы (41.72) по х и у; тогда, используя (41.73), получим д'и д (ди ди з1пд~) дг д (ди ди йпу-'~ йр дхз дг 1 дг — =- ( — соз<р — — ' ~ — + — ( — соз~р — — — ' д~р г у дх д~р1дг д~р г ) дх д'и з 2 соз о ип ер дзи 51п' гр дзи = д.аМУ'Р г деда+ гз дФз+ з1пз<р ди 2созтз!п<р ди + — ' — + г дг гз дт ' д'и д Гаи .

ди соз~р~ дг д lди . ди соыр1 д~р — — — 51П ГР+ — — — + — — 51П ЕР+ —— дуз дг 1 дг дгр г ) ду д<р )дг дгр г ) ду дзи 2 соз гр Мп гр де и созе гр дзи = — 51п'гр+ ' — + —. —,+ дг' г дг а~у гз дЧХ соз~тди 2созтз!пср ди гз д, г дг Подставляя получившиеся выражения в (41.69), будем иметь дзи ! д"и 1 ди В= —.+ — —. + — —. а,' ачз Г аГ' В случае, когда в преобразуемое выражение входит не одна, а несколько производных данного порядка, удобно применять метод вычисления не производных, а дифференциалов. Например, считая 4/,7, Замена перехленник независимымн переменными х и у, найдем выражения для дифференциалов с(г и /)ср.

Из формул (4!.70) имеем //х=созлр//г — гз)пер//лр, е/у=.яплр/)г+гсозсрс)лр, отсюда //г = сов ср /(х+ з)п лр с)у, /(ср = — '— '" 'р с!х-1- — ~ /)у (41.74) Г (отметим, что из этих формул также сразу получаются формулы (41.73). Для функции им и(к, у) имеем //и = — //г+ — с)лр = ди ди дг длр /ди ди ип лрт /ди . ди сое лр1 = ~ — соз ср — — — ! с(х+ ~ — яп ср+ — — ! //у. (41.75) (,дг д~р г ! ),де дт г! Коэффициенты у дифференциала /(и при дифференциалах /(х ди ди и /)у являются производными — и —, поэтому из формулы (41,75) дк ду' сразу получаются обе формулы (41.72).

Найдем далее вторые дифференциалы !Рг н /Рлр из формул (41.74): /Рг = яп ср //ср //х+ соз лр //лр //у = хая о дхе — 2сое среип Чахл/у г сох*яду' е /сох лр ) Мп ср ! /сцп лр сох Ч /Рлр = — ~ — //х+ — //у! Йр+ ( — л/х — —. //у) //г = ! ге г' 2 сох т х !и лр дхе — 2 (соее о — ! пх Ч) дх ду — 2 сох лр е !и ч Иуе ге Теперь для /Ри и получим деи деи д'и ди !Ри = — с(ге+ 2 — с)г с)лр+ — //лрх+ — /Рг+ дее дг длр дте дг ди / дхи 2 сох лр е!и ср деи елпе лр оеи Отсюда и получаются выражения для вторых производных Ми деи деи Ье' дхду дуе — — и — как соответственно коэффициенты у дх', 2//х//у л //уе.

Аналогичные методы применимы, конечно, н в случае, когда !роизводится какая-либо другая замена переменных х= х(и, и), /= у(и, о), когда именлся производные высшпх порядков, а также согда речь идет о функциях большего числа переменных. Э чз. Зпаис««мосте Функций ф 42. Злвисимость ФункциЙ 42.1. Понятие зависимости функций. Необходимое условие зависимости фуннций Определение 1. Пусть на открытом множестве бс:.Е" заданы непрерывно дифференцируемые функции; у,=у«(х), 1=1, 2...,, т, х=(хт, ..., х„)~6.

(42.1) Если суи(ествуют открытое множество 0 в пространстве Ем — ' и непрерывно дифференцируел«ая на 0 функция тв "- ум — « «р(у«, ..., у,), такие, чп«о (у, (х), ..., у, (х)) ~ 0 и «р(у«(х), ..., у т (х)) = у (х),х ~ б„то функция у называется зависимой на множестве 6 от функций ут, ..., у„,, Определение 2. Если среди функций системы (42.1) есть функ- ция, зависимая от остальных на множес«пви б, то зта сиоп«ема нали- вается зависимой на множепнве 6. Если ни одна функция системь«(42.1) не зависит от остальных на множестве б, то в«па сиаиема называется независимои" на б. В вопросе зависимости системы функций (42.1) фундаменталь- ную роль играет матрица Якоби этой системы ~~ ~'~~, 1=1, 2,..., т; 1=1, 2, ..., и.