kudryavtsev2 (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 13

12э ция (43.4) достигает минимума относительно уравнения связи (43.5). Геометрически зто означает, что точка паРаболоиДа з хе+ У, находЯщаЯсЯ над точкой 1(х;;1, э . П И является самой низкой из всех его точек, лежащих над прямой (43.5) (рис, 129). В дальнейшем будем предполагать, что: 1) функции )(х) и чт(х) имеют непрерывные частные производные первого порядка на открытом множестве 6; 2) и ( и и ранг матрицы — 1= 1, 2, ..., сп, 1= 1, 2, ..., и, ляч в каждой точке множества 6 равен и, т, е.

числу строк. Согласно результатам предыдущего параграфа, иго означает, что функции системы (43.1) независимы в любой окрестности каждой точки х~6. Пусть х<м ~6; согласно условию 2, в точке х1о1 хоть один из определителей вида о (Во ° .. Усе) д(хс, „., х~ ) Э 48. условный вкстреяул» отличен от нуля; пусть для определенности в точке х~о~ +о.

(43.6) д(хо,„+и ..., Хо) Тогда в силу теоремы о неявных функциях (см. п. 41.3) систему уравнений (43.3) в некоторой окрестности точки х<о> =(х~1~~,...,х„'"') можно разрешить относительно переменных хв .ьи ..., х„: хо — ы+1=-'»Г1(х1 -» хо — ы)» (43 7) х =Фд(х1» - » хп — и» )° Подставляя (43.7) в функцию у = ) (х), получим функцию У =- »г (хл»» хо — вь т»1» ° 'фы) = У(хт» '-» хл — т) (43.8) от переменных х„..., х, „определенную и непрерывно дифференцируемую в некоторой окрестности точки х~ ~=(х~~ ',...,х„' ~ ). Точка х~о> является точкой (строгого) условного экстремул1а для функции )(х) отноолтельно уравнения связи (43.3) в том и только том случае, когда точка Р> является точкой обычного (строгого) экстремума для функции (43.8).

Это непосредственно следует из того, что условия (43.3) и (43.7) равносильны. Таким образом, этот метод, основанный на разрешимости системы уравнений (43.3), позволяет вопрос об исследовании условного экстремума свести к уже изученному вопросу об обычном экстремуме. Именно таким образом мы и поступили в рассмотренном выше примере. Однако часто на практике решение системы (43.3) оказывается в явном виде невозможным или весьма затруднительным, поэтому в следующем пункте мы рассмотрим иной путь исследования точек условного экстремума. 43.2. Метод множителей Лагранжа для нахождении точек условного экстремума В этом пункте мы предполагаем выполненными все предположения, сделанные в пункте (43.1) относительно функций 1(х) и гр,(х), 1 = 1, 2, ..., т. Теорема 1.

Пусть точка х~о1 является точкой условного экстремума функции 1(х) при вьтолнении уравнений связи (43.3). Тогда существуют такие числа )ч, ..., )., что вточкех~о> выполняются условия + Х,х — '-+ ... +Х Э вЂ” —— О, 1=-1, 2, ..., и. (43.9) Следствие. Положим й (х) =-1(х)+ Х, ~~,(х) + ... +).„то(х).

(43.1О) ВЗ.а Метод нножателей Лагранжа где ) <, <=1, 2, ..., т — числа, указал<ноге в и<еоргь<е. Функция (43.10) наго<воен<он функцией Лагранака. Если точка х<'о является точкой условного экстре>аул<а для функцт«(х), яю она является стационарной ии>чкой длн функции Лагранжа, т. е. в этой точке — =О, <=1,2, ..., тг. дФ (43.11) дх< Прежде чем доказать теорему, разъясним несколько ее смысл и метод ее использования для нахождения точек условного экстремума.

Прежде всего обратим внимание на то, что у функции вида (43.10) при произвольных числах ),„..„Х каждая точка ее условного экстремума является и точкон условного экстремул<а для исходной функции ), и наоборот. Мы выбираем такие значения Х„..., )>„, чтобы выполнялись условия (43.11), т. е. чтобы данная точка условного экстремума оказалась н стационарной точкой функции (43. 10). Для отыскания точек условного экстремума следует рассмотреть систему п + т уравнений (43.3) и (43.9) относительно неизвесшых х<>о', ..., х,', >, )ч, ..., Х и решить ее (если зто окажется возможным), найдя х( >, ..., х„' и по возможности исключив Х„..., Х . Сформулированная теорема утверждает, что все точки условного экстремума будут находиться среди найденных таким образом точек(х<, ..., х„).

<о> <о> Вопрос о том, какие же нз пнх фактически будут точками условного экстремума, требует дополнительного исследования; соображения на этот счет будут высказаны в следуюшем пункте. Д о к а з а т е л ь с т в о т е о р е м ы. Пусть х< о> =- (х >, ..., х„)— <о> <о> точка условного экстремума для функции 1 н пусть в этой точке для определенности выполняется условие (43.6).

Тогда, как мы видели, точка х< ' =-(х« >, ..., х„'о>„,) (см. п. 43.1) является точкой обычного экстремума для функции д (см. (43.8), поэтому (см. п. 40.1) в точке х<о> дд(х, ..., ха а)=-0 или с(~(х, ..., х„,„, <)>„..., >р ) =О, откуда, пользуясь инварнантностью формы первого дифференциала (см. п. 37.4), для точки х'о' имеем д дх>+...+д— дха=О. (43.12) х< Подставляя (43.7) в (43.3) н дифференцируя получившееся тождество в некоторой окрестности точки х, а значит, и в са-<о> мой точке х<о', получим З дд. Условный экстрелтн 68 дфлл(х,+.,+ ~' л(х„=О,>==1, 2, ..., т.

хс дхн (43.13) В формуле (43.13), так же как и в формуле (43.12), дифференциалы с(х„..., с>х„ы суть дифференциалы независимых переменных, а дифференциалы с1х„н,+>, ..., л(хн суть дифференциалы функций ф„..., ф (см. (43.7)1. Каковы бы ни были числа ).„..., Х,„, умножая равенство (43.13) в точке х' ' для функции лол на ел, > =1, 2, .„т, и складывая их между собой и с равенством (43.12), получим (43.14) Выберем теперь ),„..„е, так, чтобы в точке хло> выполнялись равенства +:,Хл~ ' — — О, у=п — и+1, ..., и. (43.15) >, 7 Это всегда возможно, так как (43.15) является системой и линейных относительно ) „..., ) уравнений с определителем 6611 — л 1 о (с = 1, 2, ..., и; 7'= п — и+ 1, ..., и), 1 дху 1к=х~~> не равным нулю (см. 43.6).

При таком выборе )„..., ). (из (43.14)1 имеем (43.16) дж+ Х)ч дф' =О, 1=1, 2, ..., и — т. (43. 7) ! ! Мы доказали сущеспювание таких Х„..„), что выполняются условия (43.15) н (43.17), т. е. условия (43.9). Теорема доказана, Здесь уже все дифференциалы с(х„..., дх„суть дифференциалы независимых переменных и, значит, сами являются независимыми переменными, которые могут принимать любые значения (см. п.

37.2). Беря л(х„= 1, А = 1, 2, ..., и — т, а все остальные дифференциалы, входящие в формулу (43.16), равными нулю, получим 43.3. Зал<вчинил о достаточных рсловилх У и р а ж н е н и е 1, Доказать, что в предположениях теоремы этого пункта выполнение условий (43.9) является достаточным для того, чтобы точка х<ч> являлась стационарной точкой для функции д(х,, ..., х„ ) (см. (43.8)). (В процессе доказательства теоремы настоян<его пункта мы доказали необходимость условия (43.9) для стационарности точки х<о>.) 43.3.

Замечания о достаточных условиях для точек условного экстремума В этом пункте также будем предполагать выполненными все предположения, наложенные на функции 1 и <р<, < = 1, 2, ..., и<, в и. 43.1. Пусть Ф=(+ и" ).«р< <=1 функция Лагранжа (см. (43.10)) для функции г и уращ<епий связи (43.3). Пусть точка х<о>~6 удовлетворяет уравнениям связи (43,3) и является стационарной точкой функции Лагранжа, т.

е. точкой, которая может быть найдена решением системы уравнений (43.9) и (43.3). Нашей целью является получение метода, с помощью которого можно будет установить достаточные условия для того, чтобы указанная точка х<м являлась точкой условного экстремума рассл<атриваемой задачи. Заметим прежде всего, что если точка х (6 удовлетворяет уравнениям связи (43.3), то <1) = ~(х) — ~(х<о>) =Ф(х) — Ф(х<о>) =ЛФ (43 13) Отсюда сразу видно, что если точка х<го является точкой обычного экстремума для функции Ф, т. е. ЛФ не меняет знака в некоторой окрестности точки х<о>, то точка х<о> является точкой условного экстремума для функции Г.

Действительно, из (43.18) следует в этом случае, что приращение <з) для допустимых значений х, т. е. удовлетворяющих уравнениям связи, также не меняет знака. Это достаточное условие условного экстремума, однако, не достаточно общее, и его не хватаег для исследования многих задач. Поэгол<у продолжим изучение разности <з(. Для этого разложим функцию Ф в окрестности указанной точки х<о> по формуле Тейлора, беря члены до второго порядка включительно. В силу стациопарности точки х<о> (см.

(43.11)) получим (см. и. 39.1) а (>Ф= 2 с(аФ(х<о>)+ У„в<,(йх)ох< йхз= <, (-< оо й га уо.говно!а окртролгя е о — 2 х г ггг о! Лх; Лх, + ~~~ зи (Лх) Лх! Лхг', (43.19) где, как обычно, / и Лх=.(Лх„..., Лх„), р= 1гг ~ Лхои 1=! !!пге,„(Лх)=0, х= — хгш+Лх= — (х',о'-!-Лх, ..., хоо! ! Лх,). р-о Формула (43.19) справедлива для любой точки х некоторой окрест- ности точки хгш. Нас же интересуют только те из этих точек, которые удовлетворяют уравнениям связи (43.3) или, что то же, условиям (43.7). В силу этого приращения Лх, в формуле (43.19) не являются независнмылнг, а связаны между собой соотношениями (43.13).

Из формулы (43,7) имеем п — ги Лхг=г(хг+ ~'„згл(г(х) г(х„, ! =и — и!+1, ..., и, (43.20) А=-! Лх„=г!х„, й=1, 2, ..., и — и, (43.21) г е г —. о(х= (г(х„..., г(х„), р= ~/ ~ г(хг и !!ше,. (г!х)=0. — о-о Для удобства и единообразия выкладок будем считать, что фор- мулы (43.21) также записаны в виде (43.20) при аго(г(х) = О, г=1,2, ...,и — и. Для точек, удовлетворяющих уравнениям связи, дифференциалы зависимых и независимых переменных связаны в точке хго! соотно- шениями (43.13), которые в силу условия (43.6) могут быть разреше- ны относительно дифференциалов г(х „..., г(х„(как система ли- нейных уравнений, определитель из коэффициентов которой отли- чен от нуля); в результате получим выражения вида п — ю г(х,.

=- '~' ам г!х„, г = и — !и+1..., и, (43.22) /г=- ! где а; — некоторые числа. Для единообразая вычислений нам удоб- но считать„что г(хг, г = 1, 2, ..., и — и, также записаны в виде (43.22): в этом случае, очевидно, аг! —— 1, ам = 0 при г + 7г. Подставляя (43.20), (43.21) н (43.22) в (43. 19), в некоторой ок рест- носп! точки хго! для любой точки х, удовлетворяющей уравнениям связи, получим ! ~ з ! О ( х ! о ! ) г, г=! л « — ю л — р$ йоф(хоо!) + ''г дх й . ~~г игл г(хл,х, здг!х,+ ах, х, г=! два Звягвлвлггл о достатргглргх осяовряк ?1 л л — гл л-гл ! Ьл дг Ог (х(Ю) Чл у— + л,х Р есл с!хо ад с(х! -~ цг! .г.! А! !! л тл лг л-лг /л-лг л — гл + ~ч~ а ~ ~~ ам!(хо+ ~ а,.

сгхк) ~ '~а. с(хс+ ~чг', е с(х . (43.23) ! ! ! р! «-! с=! ' ' !=! Но при р-» 0 имеем !~гх,.-!. О, ! = и — и+ 1, ..., и; это, например, сразу видно из формул (43.20), поэтому при о-» 0 и р-» О, а по- тому Ип!е! (Лх)=0, если только точка удовлетворяет уравнер о ниям связи. Поэтому равенство (43.23) можно ааписать в виде М = — ?, д д с1х! с(хт + ?„ая! с(х„с(хо (43.24) где 1пп ар!=О, т. е. получено выра>кение того же типа, что и р о (43.19), только вместо зависимых приращений Лхт, ..., Лхлр здесь стоят дифференциалы стхт, ..., с1хгр связанные ссютноше- ннями (43.13).