kudryavtsev2 (Кудрявцев - Курс математического анализа), страница 12

(42.2) Теорема 1. Пусть т < и и система функций (42.1) зависима на открьипом множестве 6, тогда в любой точке этого множества ранг матрицьс Якоби (42.2)е«втой сиса«ел«ы меньше т. До к а з а т ел ь с т во. По условию система функций (42.1) зависима на 6, т. е. по крайней мере одна из этих функций зависит от остальных, пусть для определенности функция у зависит от функций у„..., у у (х)=«р(ут(х),..., у «(х)), х~б, где «р — непрерывно дифференцируемая функция от (пг — 1) аргу. ментов.

Отсюда «в-1 вр ве зу — =-ч5" — — для всех 1=1, 2, ..., и. вху «ду«вхт «=« Эта формула показывает, что т-я строчка матрицы Якоби (42.2) в каждой точке х~б является линейной комбинацией остальных ") Напомним, что рангом матрицы называется максимальное число ее лиаейно независимык строчеи. Это число совпадает с максимальным порядком минора этой матрицы, не равного нулю. т2.2 Достаточнив условия зависимости функциа 42.2. Достаточные условия зависимости функций >т(ы сохраним н этом пункте обозначения и предположения предыдущего пункта. Теорема 2.

Пуппь т -ч. и и пусть ранг л<атрицы Якоби (42.2) в каждой точке открьипого л<ножестви 6 не превышает числа г, а в некоторой точке х'~6 в точное>пи равен 6 т. е. сущесп>сует якобиан '(у<т - у>т) д (х>, ...., х> ) я<о< (42.3) Тогда все г функций, входя>цие в условие (42.3), являюп<ся независимыми функциями на множестве 6 и сущее>п>уе>п окреапность >почки хо, такая, что любая из осп>авшихся функций зависит на этой окрестности от указанных г функций.

До к а з а т ел ь с т во. Пусть для простоты записи условие (42.3) имеет вид '(" ""'")1 +о д(хт, ..., хт) )х<Ы > (42.4) (этого всегда можно добиться, перенумеровав в случае необходимости функции и аргументь< системы (42.1) в нужном порядке). Согласно следствию 2 из теоремы 1 и. 42.1, функции у,, ..., у„независимы в 6. Покажем, что каждая из остальных зависит от них в некоторой окрестности точки х<о>.

Пусть у';о'=у,.(х'о'), >'=.1, 2, ..., т. Рассмотрим систему первых г функций системы (42.1): у =ух(хм ..., х„), (42.5) ус=у (х - ха) строчек этой матрицы, н, значит, ранг матрицы Якоби (42.2) меньше т в каждой точке х ~6. Теорема доказана.

С л е д с т в и е 1. Пусть т=п и система функций (42.1) зависал<а на 6, тогда ее якобиан У' "' У"~ равен нулю во всех точках множества 6. С л е д с т в и е 2. Пусть т < п и пуппь ранг л<атрицы Якоби (42.2) хо>пь в одной >почке открытого л<ноясес>ива 6 равен т, тогда систел>а (42.1) независима на л<ножесп<ве 6. Следствие 1 получается сразу из доказанной теоремы при т = и. Следствие 2 легко доказывается от противного. а 42. Завогимоогь фоахциа В силу условия (42.4) и теоремы о неявных функциях (см.

п. 41.3) система (42.6) в некоторой окрестности точки хдо> может быть разрешена относителыю переменных х„..., х„: х,=/д(у„..., у„х,+ы .... х„), (42.6) х,=/,(Уд - * У,* х+~ - х.) прн этом функции /д, ..., /, определены в некоторой окрестности <о) ( (о) (о) ~о> соп точки г =(у,,, у,, х,.+о ..., х„). Рассмотрим суперпозицию функций (42.6) и функции у,+„т. е. подставим выражения (42.6) в выражение для функции у„+~ (см. (42.1): у,+~ =- у,е~ (/д, ..., /„х,+ы ..., х„). (42.1) Эта сложная функция определена в некоторой окрестности точки г(о>.

Покажем, что на самом деле функция (42.1) в некоторой окрестности точки я<о> не зависит от переменных х,.~ ы ...,х„, а является лишь функцией переменных у„..., у,. Для этого достаточно показать, что (см. и. 20.4) в некоторой окрестности точки г(о~ — =О, /=г+1, ..., и. агг+! (42.8) ах, ° Для этого зафиксируем одно нз указанных / и рассмотрим отображение окрестности точки (у~~ ', ..., уУ', х~;'), задаваемое формулами Уд =Ум Уо= ум у + ~ = у +~ (/д... °, /„х,+ы ..,, х„), х„=хР, й=г+1,..., и, й+/. Это отображение непрерывно дифференцируемо„его матрица Якоби имеет вид 1 О ..

О О О 1 ... О О (42.9) О О ... 1 О ах+, аг,+, аг,+, ау„+, аж аг, "- ао, ах 422. доститочиив условия вввисииости фуикяии ва и о некоторой окрестности точки (у«о',..., у<о', х<~~) его можно разложить в суперпозицию отображения (см. (42,1)) у,=у,(х„..., хи), у,=у,(х,„..., х„), у, с< = у,.<.

< (х„..., х„), хи=хи, А=с+1, ..., п, А+( <о< и отображения (см. (42.6)) Хт=тт (у< '" с утэ Хс+<с ' с хи)с х,=Г,(ут„..., у,, х,.ь<, ..., х„), хи — — хи"', А=г+1, ..., л, И+(. Первое из этих отображений непрерывно дифференцнруемо в некоторои окрестности точки <х~<, ..., х,, х< ), а второе неп«о> <о> <ои рерывно дифференцируемо в некоторой окрестности точки (у~~<, ..., у<о<, х<< ~). Поэтому из (42.9) и из свойств якобианов отображений (см. п. 41.4) имеем дус-Ь< д(уь " Ут Усе<) д(уь " Ут У,.Ь<) д(х<,—..., х, х ) дхт д(у<, ..., Ут, хт) д(хь ..., хт, хт) д(у<...., у, х~)' (42.10) В силу условия теоремы ранг матрицы Якоби на множестве й меньше или равен г, следовательно, =0 д(хь ..., х„х) всюду на О.

Поэтому из (42.10) сразу следует (42.8), и потому функция (42.7) не зависит от переменных х,, ь ..., х„, т. е. в некоторой окрестности О, точки (у<, ..., у, ) она имеет внд <о> <о> +« т (у<г ° с ут)» а это и означает зависимость функции у,,т от функций у„..., у, в соответствуюшей окрестности точки х<о> (эта окрестность легко подбирается по окрестности О» в силу непрерывности функций системы ',42.1), см.

п. 41.4). А«алогично доказывается и зависимость каждой из функций т„с, ..., ути от функций у„..., у, в некоторой окрестности точки х<ю. у еа. условный вксгрвмум П р и м е р. Рассмотрим систему функций и = ей и (х+ у), о = соз (х+ у). Якобиан этой системы равен нулю на всей плоскости ! сов(х+ у) соз(х+ у) 1 — ейп(х+у) — гйп(х+у) ~ и, как легко видеть, ранг матрицы Якоби этой системы равен единице во всех точках плоскости. Согласно теореме 2, функции (42.!1) зависимы в окресгности каждой точки плоскости. В данном случае зависимость функций легко находится в явном виде, она может быть, например, задана формулами п=~ у'1 — и*.

(42. 11) ф 43. УСЛОВНЫИ ЭКСТРЕМУМ 43.1. Понятие условного экстремума Пусть на открытом множестве Ог:..Е" заданы функции у,=~р,(х), 1=1, 2, ..., т, (43.1) х= (х, ..., х ) ~0. Обозначим через Е множество точек хай, в которых все функции сро с 1, 2, ..., т, обрашаются в пулы Е = (х =(х,): х ~ О, <р, (х) = О, с = 1, ..., т). (43.2) Уравнения ср, (х) = О, 1= 1, 2, ..., т, (43.3) будем называть уравнениями связи. Определение 1.

Пусть на 6 задана функция у = /(х). Тачка х'о~ ~ Е низывается точкой условного экстремума функции Г(х) оспносительно (или при выполнении) уравнений связи (43.3), если ана нвлнетсн пючкой обьжнога экстремума зспай функции, рассматриваемой только на мновкесты Е (см. п. 40.1). Иначе говоря, здесь значение функции 1(х) в точке х<ь~ сравнивается не со всеми ее значениями в достаточно малой окрестности эгой точки, в только со значениями в точках. прннадлежашнх достаточно малой окрестности и множеству Е. Как и в случае обычных экстремумов можно, естественно, рассматривать точки просто условного экстремума и точки строго условного экстремума.

Рассмотрим, например, функцию 1(х, у) = х' + у' (43.4) ИЛ. Поняэие осяооноео энсэренаяа и уравнение связи х + у — 1 = О. Найдем условный зкстремум функции (43А) при выполнении уравнения связи (43.5). Из (43.5) имеем у 1 — х„ )(х, 1 — х) = 2хэ — 2х + 1. Таким образом, прн выполнении условия связи функция (43А) является функцией одного переменного, ее зксгремум находится элементарно: приравнивая нулю ее производную (необходимое условие вкатремума), получим 2х — 1 = О, '1 откуда х = —. В втой точке функ- г' ция (43.5), очевидно, имеет минимум (она является многочленом второй ! степени а положительным козффи- Р~ ! г 1 циептом при старшем члене). Значе- 1 г--' У нию х= — согласно уравнению свя- 2 Р К „у 1= зи (43.5) соответствует у 1 г Следовательно, в точке ф ц функ" с'1 11 Рис.