С.Г. Калашников - Электричество, страница 127

парные значения тока и напряжения изменились на малые величины х и у так, что 1 =1о+х, и = па+ у Далее, для малых изменений тока и напряжения малый участок вольтамперной характеристики можно заменить отрезком прямой линии и положить /(1) = /((о) + 17,х, где Я, — дифференциальное сопротивление проводника в рассматриваемой точке характеристики. Подставляя это в уравнения (1) и принимая во внимание условия стационарности (2), мы получаем для х и у два линейных уравнения: 4х В„ 1 йу 1 1 — = — — х+ — у, — = — — х — — у, (3) 41 Ь й ' й С гС которые допускают уже простое исследование. Исключая из уравнений (3) переменную у, получаем линейное дифференциальное уравнение второго порядка о~х Ых — + 2а — +ыох = О, Иэ 41 (4) где Л, 1, 1 / Л1 2а = — + — ыо = — (1+ — (.

7, С' ЬС(, г/ Такое же точно уравнение получается и для у. С уравнением (4) мы уже встречались в 3 210 при исследовании собственных электрических колебаний. Мы видели, что при мои > аз оно описывает затухающие колебания с коэффициентом затухания а. При ыо ( а получается апериодический 3 2 процесс х = А~с Ы +Аэе (6) 19 9. УОТОЙЧИВООТЬ ВЛВКТРИЧВОКИХ РАЗРЯДОВ 607 где г > Щ, Ь > (В,(гС, (9) которые и есть условия устойчивости разряда. Если и схему рис. 446 а включена электрическая луга (или другой проводник с характеристикой В-типа), то первое из условий (9), как мы знаем (9 176), означает, что при любом значении ЭДС Ю имеется только одно стационарное состояние разряда, а следовательно,не будет скачков тока.

Если цепь содержит еще достаточно большую индуктивность, так что выполняется и второе условие (9), то все состояния разряда будут устойчивы, и мы сумеем получить на опыте всю вольт-амперную характеристику. Напротив, для получения незатухающих колебаний (9 213) необходимо, чтобы при данных ЭДС с. и параметрах схемы существовало тоже только одно ствлионарвое состояние, однако это состояние должно быть неустойчивым. Поэтому при выполнении первого из условий (9) и нарушения второго условия (9) цепь рис.

446 о, содержащая электрическую дугу, будет само- возбуждаться и в ней установятся незатухающие колебания. Условия устойчивости разряда зависят, конечно, от типа схемы, в которую входит проводник с отрицательным дифференциальным сопротивлением. Поэтому в качестве второго практически интересного примера мы рассмотрим еще схему, показанную на рис. 446 б, в которой В есть нелинейный проводник с характеристикой )У-типа, например ту~нельный диод (9 203).

Применяя к этой схеме правила Кирхгофа, мы получим два дифференциальных уравнения первого порядка 61 1,— =й — г1 — и, й 6и С вЂ” =1 — г, 01 (10) где ток г через диод связан с напряжением и и на диоде заданным уравнением вольт-амперной характеристики г = у(и). Поступая дальше в точности так же, как и в первом примере, легко найти, что условия устойчивости разряда для схемы рис. 446 б имеют вид г с )В,), Ь с )В,) гС. йг = а+ /аг — ггг йг = а — ~/агыг (7) Чтобы случайные отклонения х и 9 затухали с течением времени, т.е. чтобы состояние разряда было устойчивым, очевидно, необходимо, чтобы либо было а > 0 (если ыо > аг), либо йг и йг были оба положительны (если шэ < аг). Если же хотя бы одна из величин, йг или йг, будет отрицательна, то случайные изменения тока и навряжения будут нарастать с течением времени и состояние разряда будет неустойчивым.

Если В; > О, то все величины в (5) положительны и а > О, гге > О. При этом а > ~/а~ — ыог и, следовательно, й1 и йг всегда положительны. Отсюда видно, что в проводниках с положительным дифференциальным сопротивлением стационарные состояния разряда всегда устойчивы. Положим теперь, что дифференциальное сопротивление В, < О. Тогда 1 !В ( г 1 1 ~В !'~ (6) С й ' 1С 1, ) ' где )В„) — абсолютное значение дифференциального сопротивления.

Чтобы и в этом случае йг и йг были оба положительны, необходимо, чтобы было по-прежнему а > 0 и гге > О. А для этого необходимо выполнение двух условий: 608 ДОВАВЛБНИЯ Ю!. ХХ1Ч Первое из этих условий для туупгельного диода (и любого проводника с характеристикой )Ч-типа) совиедает с условием единственности стационарного состояния (ср. 3 176). Поэтому при нарушении этого условия будут наблюдаться скачки напряжения. Если же первое условие будет выполнено, но нарушено второе условие (11), в схеме будет единственное, но неустойчивое стационарное состояние, и схема будет самовозбуждаться.

10. К обьиснению цнклотронного резонанса (к 8 185) (2) и =оуев1п(ыС+а), оу =оуоэ1п(ьд+д), (6) где о и )3 — пока неизвестные разности фаз между колебаниями составляющих скорости и колебаниями электрического поля. Подставляя выражения (5) н (6) в уравнения (3) и (4), выражая из этих последних скорости электрона оу и оу и приравнивая коэффициенты при е|пыг и соеый получаем четыре уравнения для определения о„о, оуе, а и 13. Это дает а = — г/2, ~У = О, е уу / тт е ы, 5 Ео яп (ыг — —, ), оу — —— Ео зшый т ыу — ууу 2 ' " тыз — ыз (7) Вследствие вынужденных колебаний электронов в электронном газе возни- кают переменные токи, плотность которых равна (8) 1', = сноу, Уу — — епву, Количественная теория циклотронного резонанса имеет особенно простой вид для свободных электронов, движущихся без соударений.

В этом случае уравнение движения электрона есть уп — = еЕ+ е(чВо1 Ич ~й (1) Направим координатную ось Х параллельно электрическому полю Е, а ось Š— параллельно магнитной индукции Во (см. рис. 314). Тогда Е = Е, Еу = Е* = О, В = Во, В = Ву = О, и написанное векторное уравнение распадается на два скалярных уравнения 4с е Ноу †" = — Е + ы,оу, †" = — ы,о,. Пс тп У 61 Здесь по-прежнему ы, обозначает пиклотронную частоту, определяемую формулой (185.1). Исключим из этих двух уравнений скорость оу, для чего продифференцируем первое уравнение один раз по времени, умножим второе уравнение на ы, и сложим оба уравнения ночленно.

Тогда получим ~1~о е ИЕ у — = — — — ыа О.. (3) БАКР т Й Аналогично, исключая из обоих уравнений о„, найдем оу — ысЕ ы оу (4) иу С Положим теперь, что электрическое поле изменяется по синусоидальному закону Е = Ее ипы1, (6) и будем искать установившиеся вынужденные колебания электрона. Так как вынужденные колебания гармонического осцнллятора происходят с той же частотой, что и колебания внешней силы, то мы будем искать решения в виде Ь 10 !о. к Ое'ьяснению ЦиклОтРОннОГО РезОнАнсА б09 где и — концентрация электронов. Электрическое поле совершает над движущимися электронами определенную работу, которая совершается за счет уменьшения энергии электромагнитной волны. Мгновенная мощность, выделяемая в единице объема, есть еп ы г, ( х) г ю = у Е = — Ео зш уг1 з1п (ы1 — — ) г г о 2/ В рассматриваемом случае отсутствия столкновений эта мощность оказы- вается знакопеременной, а среднее се значение за период колебани ю = О, так как Е р пук(г (9) Соответственно вместо уравнений (2) мы получим уравнения движения ооу е о ооу о р — = — Е+ а~уоу - — *, (10) й и '" т' Ж '' т Чтобы найти интересуюшую нзс составляющую скорости о в направлении электрического поля, мы воспользуемся представлением колебаний в виде комплексных чисел (з 227), так как это чрезвычайно упростит последующие расчеты.

А именно, мы положим Е = Ео ехР (ггг1), о, = гуо ехР (гсг1), оу — — оуо ехР (йгг), (11) где г = чУ вЂ” 1, а Ео, как и раньше, будем считать вещественным. Амплитуды же о о и оуо могут быть комплексными, так как между колебаниями скорости и поля может быть разность фаз. Подставляя выражения (11) в уравнения движения (10), мы получаем два алгебраических уравнения 6 явор = — ' Е+ юуру — —, (12) т " г' Исключая из этой системы скорость е„, находим о =ЬЕ (13) (1+гсвг)г4 г г Здесь Ь = (е/пг)т есть подвижность электронов (ср. формулу (147.4)) . Освобождаясь, далее, от мнимой величины в знаменателе и вычисляя плотность гуыо =-ыо,—— "у у т згпыузш(гг1 — х/2) = О. При условии гг ф ы, электроны при уставившихся вынужденных колебаниях не поглощают энергию электромагнитной волны.

При резонансе (ы = ы,), как видно из формул (7), амплитуды колебаний скорости стремятся к бесконечности. Это значит, что электроны все время будут двигаться по неустановившейся траектории, непрерывно увеличивая свою энергию, а электромагнитная волна будет поглощаться. В реальном газе электронов, движущихся со столкновениями, поглощение электромагнитной волны происходит и при ы ф уг„но при некоторой частоте имеет максимум. Положим, что при каждом столкновении электрона он целиком передает решетке кристалла свой импульс пгу. Если т есть среднее время свободного пробега электрона, то за единицу времени он будет испытывать Цт столкновений и передавать импульс пгу(т.

Но приращение механического импульса тела за едикипу времени есть сила, действующая на это тело. Поэтому влияние столкновений можно описать как действие некоторой силы трения 610 гл. хх~у ДОБАВЛЕНИЯ тока /» = епе„, мы находим, что /» состоит из зщух слагаемых — веществен- ного В.е /„и чисто мнимого 1!ш 1»: (14) /; = Ке у +» 1ш 1„. При этом 1 + (ы»т) + (ьзг) [1 Е (ы,т)з — (ыт)»[» + 4(ыг)э ыг[1 — (ы»г) + (ыт) ] [1+ (ь»г)э — (ьзт)»[' 4-4(ыг)з' (16) (16) а Ае = епЬ есть удельная электрическая проводимость для постоянного тока (ы = О) и без магнитного поля (ы» = О).