С.Г. Калашников - Электричество, страница 126

Полагая в ием ЕЕ = еоьЕ и учитывая, что в однородной среде ь не зависит от координат, имеем дЯ, дЕЗ дЯ, р сйьт Е— : — + — + — = —. дх ду дз еьь' 662 ДОБАВЛЕНИЯ ГЛ. ХХ!у Это поле вызывает электрические токи, плотность1 которых по закону Ома равна 1= ЛЕ. (2) Появляющиеся токи уменьшают заряд р. Быстрота уменьшения заряда выражается уравнением непрерывности (54.2). Подставляя в него для 1 выражение (2) и учитывая, что в однородной среде Л, как и е, постоянно, получаем дЕ, дЕ„дЕ, 1 др 6)тЕ = — *+ — "+ — * = — — —.

(3) дх др дз Л дс' Так как левые части уравнений (1) и (3) одинаковы,то равны и правые их части. Поэтому для любой фиксировазпюй точки среды справедливо уравнение др Л д1 = Интегрируя это уравнение при начальных условиях 1 = О, р = ре, находим (4) р = раехр( — 1/гм), (5) где сое Л есть максвелловское время релаксации. (6) 6. Взаимная энергия двух токов (произвольные контуры) (к 5 йй) Пусть имеются два произвольных контура 1 и 2 (рис. 445) и в контуре 2 установился ток 12, создаваемый источником тока с ЭДС сх2. Замкнем теперь контур 1 на источник тока с ЭДС оь В контуре начнет устанавливаться ток 4ь Рели бы ток 12 оставался постоянным, то в контуре 1 ь2 возникла бы дополнительно только ЭДС самоиндукции.

Работа источника 62 против этой ЭДС и есть яычисленная нами в э 96 собственная энергия тока 1, равная 5212/2. Однако вследствие магнитной связи в контуре 2 возникнет еще ЭДС взаимной инлукпни— 1 учз <62/в1. Чтобы сделать ток 42 постоянным, мы должны были бы включить в контур 2 компен- 1 сируюшую переменную ЭДС й~ е'2 = +5 М Рис. 445. К вычислению взаимной энергии двух токов Она совершила бы за время установления тока 12 определенную работу, которая возникает только потому, что между обоими контурами имеется магнитная связь. Работа ЭДС (хг и равна взаимной энергии обоих контуров. Отсюда получается, что увеличение взаимной энергии за время Ж дй .

ЫИг22 = де~2 (Й = упз — гэйтс = 522гз Й~ Ф б(И 7 ТЕОРЕМА ЛАРМОРА (где тг = салаг), а полная взаимная энергия Ю~тг = Ьтгтг ~ т(тт = Ьтгтгтт. Мы получили формулу (99.2) дли случая произвольных контуров. Если бы мы предпштожили, что сначала имеется установившийся ток й и в присутствии этого тока создается ток тг, то в нашем мысленном опыте потребовалось бы включение в контур 1 компенсирующей переменной ЭДС йтг е'т т +бгт — г, т(т ' и мы получили бы Иттг = Ьгтгттг. Но совершенная работа в обоих случаях должна быть одинакова, так как в результате мы получаем одно и то же магнитное поле, Отсюда следует, что У,тг = Т,гт.

В учении о магнетизме часто пользуются представлением о постоянных магнитах. Примером постоянного магнита может служить намагниченный кусок стали. Абсолютно жестким постоянным магнитом называют такое намагниченное тело, которое создает неизменное магнитное поле, не зависящее от воздействия других окружающих магнитов или токов. Легко видеть, что взаимная энергия абсолютно жесткого магнита и контура с током равна нулю.

Действительно, если в контуре в присутствии магнита устанавливается ток, то никакого ицпукционного воздействия контура на магнит не будет. Поэтому магнитное поле, создаваемое магнитом, будет оставаться неизменным и не потребуется включения компенсирующей переменной ЭДС, работа которой и представляет взаимную энергию. 7.

Теорема Лармора (к 8 115) Рассмотрим доказательство теоремы Лармора. Пусть в отсутствие магнитного поля на заряженную частицу действует центральная сила Р(г). Тогда уравнение движения частицы есть т г У(г)' Н г (1) Предположим теперь, что мы включили внешнее ма~нитное поле с инлукцией В и ввели новую систему координат, которая равномерно вращается с угловой скоростью й, параллельной направлению В. Уравнение движения частицы изменится.

На нее, во-первых, будет действовать бвагодаря магнитному полю сила (з 88) Р = 9[чВ). Во-вторых, во вращающейся системе координат мы должны ввести еще дополнительные силы инерции, а именно силу Кориолиса Ек = 2тп[ъ й[ и центробежную силу Для достаточно малого Й центробежной силой (пропорциональной Й') можно пренебречь по сравнению с силой Корнолиса (пропорциональной й). Так как по условию В и й параллельны, то при должном выборе величины й можно сумму Е+ Гк сделать равной нулю. Это будет, если доВзш(ч,В) + 2тлейшп(ът, В) = О, й = — дВ/2тл. 604 ГЛ.

ХХ1У ДОБАВЛЕНИЯ Таким образом, в рассматриваемой вращающейся системе координат уравнение движения частицы будет иметь прежний вид (1), а следовательно, действие магнитного поля в первом приближении (пока можно пренебречь центробежной силой) сводится к наложению дополнительного равномерного вращения с угловой скоростью й. Если движущаяся частица есть электров, то д = — е, и мы получаем формулу (115.2). 8. Закон Богуславского — Лэнгмюри (к й 157) Рассмотрим вывод закона Богуславского — Лэнгмюра для случая плоского диода.

Распределение потенциала между катодом и анодом при наличии пространственного заряда можно найти из уравнения Пуассона (Э 26) а~У р пе (1) Нх2 со ео Здесь У вЂ” значение потенциала в произвольной точке на расстоянии х от катода, р — объемная плотность пространственного заряда в той же точке, и — концентрация электронов, е — абсолютное значение заряда электрона, ео — электрическая постоянная.

Далее, плотность тока 1 через диод равна (2) где о — скорость электрона. Наконец, скорость электронов о в любой точке определяется значением потенциала У в этой точке. Действительно, так как в диоде имеется высокий вакуум, то электроны движутся без соударений, и поэтому их кинетическая энергия равна работе сил поля. Если начальная скорость электронов мала по сравнению со скоростью, приобретаемой под действием поля, то ею можно пренебречь, и тогда 2 — =еГ 2 (3) Исключая из этих трех уравнений концентрацию и и скорость х, мы приходим к следующему уравнению, определяющему распределение потенциала: (4) — =аУ Их~ где введено обозначение у' а= ео А/2е/тп Так как мы отсчитываем потенциалы от потенциала катода, то И=О прн х=О.

(5) Это условие представляет собой первое граничное условие задачи. Чтобы сформулировать второе граничное условие, будем считать, что во всем интервале изменения потенциала ток ограничивается только пространственным зарядом, т.е. что эмиссионная способность катода бесконечно велика. Чтобы при этом условии плотность тока через диод была конечной, нужно, чтобы напряженность поля — НУ/4х у катода была бесконечно малой.

Это дает второе граничное условие в виде — = О ири х = О. (6) Ых 19 Э. УСТОВЧИВОСТЬ ЭЛЕКТРИЧВСКИХ РАЗРЯДОВ 605 Решение уравнения (4), удовлетворяющее граничным условиям, имеет вид У = ох, (7) где а и ~3 — постоянные, Значения а и Зу можно определить, подставляя выражение (7) в уравнение (4).

Это дает а,у()з — 1)х = аа ~ х Приравнивая между собой показатели степени и коэффициенты в обеих частях равенства, находим ,6 = 4/3, о = (9а/4)ззз. Таким образом, распределение потенциала выражается формулой У = (9а/4) 1 х 7 . (8) При значении х = и потенциал равен потенциалу анода Уь. Поэтому У вЂ” (9а/4)з(з4'~з (9) 4 зо /2е згз / = — — з/ — У„ 94з (/т (10) что совпадает с формулами (157.1) и (157.2), приведенными в тексте. 9. Устойчивость электрических разрядов (к 9 176, 213) Рассмотрим электрическую цепь, показанную на рис.

446 а, содержащую источник постоянной ЭДС Ф, нагрузочное сопротивление г (включающее и внутреннее сопротивление источника), емкость С, индуктивность Е -о Рис. 446. К вопросу устойчивости электрических зарядов и проводник й с нелинейной вольт-амперной характеристикой У = /(з). Выберем положительные направления токов так, как показано на рисунке, и применим к нашей цепи правила Кирхгофа. Тогда для контура ВСг1!: получаем г1= — и+К, Подставляя и это выражение вместо а его значение и разрешая полученное уравнение относительно плотности тока у,находим окончательно 606 гл.

ххгп ДОБАВЛЕНИЯ где к — напряжение на коцденсаторе, а лля контура С.йЬС й /(4) = и — Ь вЂ”. Ж Кроме того, имеем 1+1с = 1, и = д/С, (с = — г)ц/г)1, где д — мгновенное значение заряда конденсатора. Исключая из написанных уравнений / и (с, получаем два дифференциальных уравнения первого порядка относительно г и в: п1 .

пи Ь вЂ” = и — /(1), гС вЂ” = Й вЂ” г( — и. 41 ' ~Ы (1) Эти уравнения нелинейны, так как для проводников, не подчиняющихся закону Ома, функция /(4) нелинейна. В стационарном состоянии разряда 41/Ж = 4и/М = О, и поэтому стационарные значения тока (о и напряжения ио определяются соотношениями ио =- /(зо), ио — Ж вЂ” гзо, (2) которые мы уже получили и обсудили в 3 176. Чтобы выяснить, является ли данное состояние разряда устойчивым, поступим в соответствии с общим методом исследования устойчивости движений, разработанным Ляпуновым, а именно, предположим, что стацио.