С.Г. Калашников - Электричество, страница 125

Это дает /(В) — Ф ~'/(А)/(В) — Ф Полученное выражение показывает, что если только Б ~ О, то д~ ф О, т.е на внутренней сфере будет некоторый заряд. И, наоборот, если Б = О (закон Кулона точно выполняется), то из (6) имеем: /(В) = 1/В, Ф = 1/В, откуда д, = О. Однако, присоединяя к внутренней сфере электрометр, мы измеряем ие ее заряд, а потенциал. Поэтому вычислим еще потенциал внутренней сферы после того, как внешняя сфера будет удалена В этом случае потенциал П внутренней сферы (А) создается только зарядом ди находящимся на самой этой сфере.

Поэтому, согласно формулам (3) и (7), имеем У = — (1 -Ь Б !и 2.4) = — (1+ Ь 1и 2А). (8) Подставляя сюда вместо / и Ф их выражения (6) и ограничиваясь только членами со степенями о не выше первой, для числителя формулы (8) имеем (/(В) — Ф) (1 -~- 6 !и 2А) — ) !и 2В+ — [( — А) 1и( — А) — (В -у- А) !и(В+ ~))) г 1 ( 1 В ( 2А Так как эта величина уже имеет порядок Б, то знаменатель в формуле (8) можно взять при б = О /(А)/(В) — Ф -1/А — 1/Во Подставляя эти выражения в (8) и выпачняя несложные преобразования, получаем окончательно 1 В ( 4   — А1 У вЂ” 2 В— А!706"!ПВ2 Ат+ А !и (9) Зная, до какого потенциала По были заряжены первоначально обе сферы, и подставляя для 0 наименьшее значение потенциала, которое еще может обнаружить электрометр, по этой формуле можно определить наибольшее возможное значение Б. Таким образом и был получен верхний предел для Ю, приведенный в 2 28. 598 ГЛ.

ХХ1Хг ДОБАВЛЕНИЯ 2. Ориентировка полярных молекул в электрическом поле (к 8 48) Для вычисления поляризации, создаваемой в электрическом поле молекулами с постоянным дипольным моментом, будем пользоваться полярными координатами. Рассмотрим сферу произвольного радиуса В и направим через центр этой сферы полярную ось, параллельно электрическому полю Е'. Построим, далее, два конуса с вершинами в центре сферы, оси которых совпадают с направлением поля, а образующие составляют с ним углы о и соответственно о + г!о, Эти конусы вырежут на сфере кпзуговую полоску шириной Вг!и, с площадью г)о = 2ях1я!по, Нг(о = 2яЯ я!пойх. Телесный угол, ограниченный этими конусами, есть г40 = г($/й~ = 2яя!ног!о. В отсутствие электрического поля направления электрических моментов молекул р распределены хаотично. Поэтому число молекул гхп в единице объема, моменты которых лежат в интервале углов а и а + г)а, пропорционально телесному углу г!Й, а следовательно, г4гх = Ая!пгхг(о.

Здесь А — некоторая постоянная. Для получения распределения диполей по направлениям в электрическом поле нужно воспользоваться теоремой Больцмана классической статистики (см. хМолекулярную физикуь), согласно которой закон распределения молекул в состоянии термодинамичаского равновесия при наличии силового поля можно получить из закона их распределения в отсутствие поля, умножая это распределение па ехр ( — )4'/кТ), где Иг — потенциальная энергия молекулы в данном поле, Т вЂ” термодинамическая температура, а !г — постоянная Больцмана. Потенциальная энергия диполя в электрическом поле (3 18) равна )!' = — роЕ' созга Поэтому вместо распределения (1) мы получаем г!и = А ехр (асов и) я!и о г!о, а н ро Е/)гТ, (2) Легко ви;гоеть, что при обычных условиях а « 1.

Действительно, полагая ро 10 Кл м (ср. Э 49), Т = 300 К и учитывая значение гг = 1,38 х х 10 хз Дж/К, находим, что даже в сильном электрическом поле Е' 10" В/см = 10 В/м величина а 10 я « 1. Тогда экспоненту в формуле (2) можно разложить в ряд и ограничиться первыми двумя членами разложения: г(п = А(1+ асояо) я!пог)о. (3) Значение постоянной А определяется условием, что сумма всех молекул с любым значением угла г4 равна полному числу молекул и в единице объема диэлектрика А ~ (1+ исоягх) яшаг!о = и. (4) о Написанный интеграл вычисляется непосредственно и равен 2, а следовательно, А = и/2. Найдем теперь гголяризованность Р (дипольный момент единицы объема диэлектрика), Она равна л Р = ~ Йп ро соя о = — ) (1+ асов о) сояогйпаг)о.

(5) 2 о 44 3 ЛИНИИ НАПРЯЖЕННОСТИ И ЛИНИИ ТОКА 599 Входящий сюда интеграл распадается на два интеграла. Первый из них равен нулю. Второй вычисляется тоже элементарно и дает 2а 2реЕ~ 3 3кТ Поэтому поляризованность равна преЕ' 31сТ (6) Следовательно, среднее значение проекции дипольного момента молекул иа направление поля есть — рс 2 что совпадает с формулой (48.1).

3. Линни напряженности и линии тока (к й 61) Согласно уравнению непрерывности (2 54) ду. дух ду, др (1) дх ду дх д1' Если мы имеем постоянный ток, то все электрические величины не за- висят от времени и др/дс = О. В этом случае — + — + — * = О. ду' ду'„ д1', (2) дт.

ду дх Но для однородной проводящей среды, согласно закону Ома, ,1 = ЛЕ, Уг — — ЛЕ„, д, = ЛЕ„ где Л постоянно. Поэтому из формулы (2) следует, что дЕ дк„дЕ- — -~- — "+ —" =О. дх ду дз Мы видим, что пеле Е в проводящей среде удовлетворяет тому же уравне- нию (ср. 2 14), что и электростатическое поле Е, в вакууме в отсутствие объемных зарядов (р = О) Однако чтобы показать совпадение Е и Есп нужно еще доказать, что для обоих полей одинаковы условия на границе электродов.

В общем слу- чае зти граничные условия различны, так как Е„всегда перпендикулярно к поверхности проводника, а поле Е этому условию может и не удовле- творять. Но для электродов многих форм поле Е также перпендикулярно к поверхности электродов. Примерами могут служить сферический и ци- линдрический конденсаторы, для которых это очевидно из соображений симметрии. Поле будет также всегда перпендикулярно к поверхности элек- тродов любой формы, если удельная электропроводность среды намного меньше электропроводности вещества электродов, так как в этом случае по- тенциал во всех точках каждого электрода будет практически одинаковым.

А зто и есть обычно наиболее интересные случаи. Поэтому можно принять, что оба поля Е и Ее, не только удовлетворяют одинаковому дифференци- альному уравнению, но и одинаковым граничным условиям, а значит, оба поля совпадают. 600 ДОБАВЛЕНИЯ ГЛ ХХ1Ч 4. Метод контурных токов (к 3 ТО) Для уменьшения числа уравнешгй системы, к которой приводят правила Кирхгофа, пользуются различными вспомогательными приемами.

Рассмотрим один из них, известный под названием метода контурных токов. Пусть в какой-либо точке разветвления а (рис. 443) сложной цепи сходятся и участков г,~ Я цепи 1, 8, У и т.д., образующих стороны простых контуров 1, П, 111 и т.д. (т.е. таких, кото- 1 рые не имеют разветвлений). Охарактеризуем каждый из простых контуров определенным током постоянной силы вдоль всего контура. Эти 14 1 токи будем называть кон1лррммлт токагяп и 1 припишем им определенное положительное на- 1У правление, например будем их считать направленными по часовой стрелке в каждом контуре. Силу контурных токов определим таким обраРис.

443. К методу кон- зом, чтобы сила токав любом участкебыла равтурных токов на разности двух соседних контурных токов. Если обозначить контурные токи через 11, 1г, ..., 1„, а фактические токи в участках цепи 1, 8, ... — через 11, гг,, г, то это значит, что мы полагаем (рис. 443) 11 = У вЂ” 11, 1г = 11 — 1г,, го = 1 -! — 1 . (1) Складывая почленно эти равенства, находим Это будет справедливым для каждой точки разветвления. Мы видим, что введение контурных токов, согласно формуле (1), приводит автоматически к удовлетворшгию первой системы уравнений Кирхгофа. Поэтому остается решить только вторую систему уравнений, написанную для ! 2 контурных токов. Найдя же контурные тог ки, мы можем определить по формулам (1) 111~ 1 и фактические токи во всех участках цепи. Этот метод позволяет снизить число уравнений системы на столько единиц, сколько независимых уравнений дает первое правило Кирхгофа.

3 Поясним применение метода на примере схемы моста. Эту схему мы уже рассматривали в 3 58, однако ограничились частным случаем уравновешенного моста Теперь мы рассмотрим общий случай. Рис. 444. Введение контур- Выделим в схеме моста (рис. 444) три ных гоков в схему моста простых контура; 1 (Д У, 5), П (2, 4 5) и 1П ((ы У, 4), на которые распадается эта схема, и введем контурные токи Гг, 1г и ~г, направленные по часовой стрелке.

Тогда вторая система уравнений бо1 5 МАКСВЕЛЛОВСКОЕ ВРЕМЯ РЕЛАКСАЦИИ Кирхгофа, записанная для контурных токов, будет т1Е1 + ть(Е1 — 12) + тз(Е1 — 15) = О, т212 + ть(12 — 1з) + ть(1з — 11) = О, т1з + тз(Ез — 14) + ть(1з — 12) = Й. Или (ть -~тз+ть)11 — г512 — ьзЕЗ = О, — ть11 + (гз + ть + ть)12 — 7415 = О, -1'зП вЂ” ть 1з + (Г + гз -Р гь) 1з = Ж. Отметим, что мы получили всего три уравнения, тогда как непосредственное применение обоих правил Кирхгофа привело бы нас к шести уравнениям, соответственно шести участкам схемы моста. Определитель этой системы равен ть + тз + ть — ть — тз — ть ть + ть + ть — ть т4 т+ть +14 — тз Найдем контурные токи. Пользуясь обычным правилом решения системы алгебраических линейных уравнений, имеем (4 7475 + Гь(72 + Г4 + Г5) ~ Т375 + 74(71 + ГЗ -~- 75) Ь 12 —— Ь Г (71 + ГЗ + Ть)(72 + Г4 + ТЬ) + Г5 1з — о Ь Ток в ветви гзльванометра д 721'з — т174 25=11 — 2= Ь Если мост уравновешен, то ьь = О.

Это дает Г2ГЗ 7174 = О или 11272 — тзгть что совпадает с результатом 8 88. Величину Ь можно найти по правилу вычисления определителя третьего порядка ЗЗ = Г5 ((11 + 1 2 + Гь + Г4)Т + (Г1 + ГЗ) (ГЗ + Г4)) + + Т(72 + Т4)(Т1 + ГЗ) + Г172 (ТЗ -~- Г4) -~- ГЗГ4(Т! + 72). б. Максвелловское время релаксации (к 8 УЗ) Пусть объемная плотность возникшего заряда в какой-либо точке среды равна р; тогда вызванное им электрическое поле Е определяется уравнением Пуассона (14.1).