М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред, страница 32

Тогда поверхность в малой окрестности ц Ф ) этой точки в течение малого времени будет в этой системе неподвижна. Идея вывода условий на поверхности разрыва такова. рассматриваем некоторую точку поверхности разрыва. ВыдеП ляем малый цилиндрический объем сре- ды к', включающий часть 1Ы поверхноРие. 28.2. Поверхность разрыва П сти разрыва, содержашую данную точи малый цилиндрический объем, ку (см. рис. 28.2). Записываем соотновключающий участок гккг атой по- шение (28.6) для этого малого объема, верхности (еид сбокУ) а затем переходим к пределу при стяги- вании объема в рассматриваемую точку.

Проведем этот вывод. Предварительно преобразуем соотношение(28.6), используя формулу дифференцирования по 1 интеграла по подвижному объему: — / А Н)г = / — 4У+ / Ае„йкг. в дА Эта формула верна, если дА/д1 и Ав„сушествуют. При этом они могут быть разрывны. Мы будем применять эту формулу к объему, разные части которого лежат по разные стороны поверхности разрыва, считая, что А, е непрерывны и дифференцируемы по обе стороны поверхности разрыва (см. рис, 28.2).

Так как поверхность разрыва неподвижна, то локальная производная дА/д1 по обе стороны от нее существует. Соотношение (28.6) принимает вид дА — А$'+ / Ав„йг = / В 4)г+ / Ся Агг. (28.7) Применим полученное соотношение к объему У в виде малого цилиндра (рис. 28.2). Будем обозначать индексами «1», «2» параметры по разные стороны поверхности разрыва. Торцы малого цилиндра обозначим через Е~ и Ез.

28.!. Условия на поверхностях сильного разрыва в сплошных средах 201 Плошади этих торцов равны Аьо. Перейдем в соотношении (28.7) к пределу при стремлении высоты цилиндра !г к нулю. Если подьштегральные функции конечны, то интегралы по объему и по боковой поверхности цилиндра стремятся при этом к нулю. В пределе ненулевыми (в обшем случае) останутся только интегралы по торцам Е! и Ег.' Аьи-~~А,~ =г с,~ +/ с„й в~ пг ш Используем теорему о среднем, делим на площадь торцов ььо и устремляем гьа к нулю. Получаем: (Аея) ! + (Аея) г = (Ся) ! + (Ся) г.

(28.8) В этом соотношении й!, йг — внешние по отношению к объему !г нормали к торцам Е!, Ег соответственно, Обозначим теперь через и — нормаль к поверхности разрыва, направленную в сторону 2. Тогда йг = й, й1 = -й, (е„) ! = — е„!, (е„)г = еяг, (С ) ! — — -С„,, (С„)г = Саг и соотношение (28.8) примет вид — А~ел! + Аге„г = -Ся! + Сяг. (28.9) Подставляя в соотношение (28,9) значения А и Ся, оэзтветствуюшне законам сохранения (28.1)-(28.5), получим следующие соотношения, которые называются условиями иа поверхности сильвою разрыва; Р|ея1 = Ргеяг = т; (28. 1О) т(дг — е!) = Рш — Ря~,' (28. 11) т(([г х ег) +Юг) — Ог х е~[+ !г~)) = [и х (Ряг — Ра!)) +Мы Мш, (28.

12) г г г ег *ь + иг и~! = (ег 'Ряг) — (е~ Рш) — 9яг+ 9я~ — %а + Чы', (28.13) т(вг — в!) = — — + — + П, П ) О. Фа Яя! (28. 14) Т Т, Эти условия выполнены в системе координат, относительно которой по- верхность разрыва в рассматриваемый момент времени неподвижна. Заметим, что соотношения, непосредственно получающиеся пз за- конов сохранения (28,2)-(28.5) описанным выше способом, имеют не- сколько другую форму. Чтобы привести их к форме (28.! 1)-(28.14), мы использовали равенство (28,10), следующее из закона сохранения массы, Например, из закона сохранения количества движения сначала получаем Ргеге г Р!е!еа! = Ряг Р ~ но в силу (28,10) Ргегеяг — Р!елея! = т(ег е|).

Лекция 28 Каков физический смысл т? Величина 1т! равна массе, проходящей через единицу площади поверхности разрыва в единицу времени. Обсудим соотношение (28.14). Каков физический смысл величины й и откуда появляется эта величина? Она равна пределу величины скорости производства энтропии в единицу времени в рассматриваемом малом цилиндрическом объеме д;о/к11, деленной на Ьи, когда объем стягивается в точку. Следовательно, П вЂ” это производство энтропии на поверхности разрыва в единицу времени в расчете на единицу плошади поверхности.

Производство энтропии на поверхности разрыва во многих случаях действительно происходит. Дело в том, что на самом деле поверхность разрыва представляет собой узкую зону, где параметры среды меняются резко, просто мы моделируем эту зону математической поверхностью. Так как параметры в этой узкой зоне меняются резко, то необратимые процессы, связанные, например, с теплопроводностью и вязкостью, существенны и, значит, происходит производство энтропии. Соотношения (28.10)-(28.14) написаны в системе координат, относительно которой поверхность неподвижна, то есть б — это скорость среды относительно поверхности разрыва.

Чтобы получить условия на поверхности разрыва в системе координат, относительно которой поверхность разрыва в рассматриваемой точке движется со скоростью Р, надо в них заменить д на б-Р. Нетрудно проверить, что первое из условий примет вид р1(оя1 — .Ря) = Рг(вяз — Ря) = т, а остальные соотношения не изменятся. Величина 1т), как и прежде, равна массе, проходящей через единицу площади поверхности разрыва в единицу времени.

2В.2. Тангенциальные разрывы и ударные волны Тйигевциальиым разрывом называется поверхность, разделяющая две части среды или две разные среды, если частицы не переходят с одной стороны этой границы раздела на другую. Это выполнено, если вщ=Р„, тоесть т=О. Следовательно, нормальная составляющая скорости среды на тангенциальном разрыве непрерывна; разрыв может терпеть только тангенциальная составляющая скорости среды. С этим связано название таких разрывов.

Частным случаем тангенциальных разрывов являются так называемые контактные разрывы, на которых непрерывна не только нормальная, но и касательная составляющая скорости. Итак, на тангенциальных разрывах т = О. Из общих условий (28.10)- (28.10) следует, что на тангенциальных разрывах должны выполняться соотношения; (28. 15) ия1 = ощ = Ря,' 28.2. Танганцнальныв разрывы н ударныа волны 203 Рп! = Рп2 (28.16) (28. 17) (28.18) (28.!9) Мп, =- Мп,; Рп!) Чп2+ Чп2 Чп! Чп~ — +Й=О, П>0. T2 (02 . Рпз) — (й~ Чп2 — — + Т2 При этом значения плотностей рп р2, скоростей дн 02, плотностей собственного момента количества движения Вп Ф2, внутренней энергии иы и2 и энтропии вн в2 сред, находящихся по разные стороны границы раздела (тангенциального разрыва) могут быть, вообще говоря, произвольными.

Условия (28,15)-(28.19) показывают, в частности, что же именно можно задать в качестве граничных условий на границах сред. Например, из условия (28.!6) видно, что вектор напряжений на поверхности среды задать можно, потому что он равен вектору напряжений во внешней среде; граничное условие в виде задания вектора напряжений на границе можно и нужно ставить в тех задачах, в которых распределение внешних сил на границе задано.

Подчеркнем, однако, что в силу соотношений (28.16) мы можем задать условия лишь на те компоненты тензора напряжений в рассматриваемой среде, через которые вычисляется Р,. Остальные компоненты тензора напряжений в среде на границе раздела задавать нельзя: они не связаны явными соотношениями с силами, действующими со стороны внешней среды. Рассмотрим, например, горизонтальную пластину — Ь/2 < г < Ь/2, которая растягивается силами, приложенными на ее торцах, а поверхности пластины з = -Ь/2 и в = Ь/2 свободны от нагрузок (з — вертикальная лекартова координата).

Тогда согласно соотношениям (28.16) граничные условия на нижней и верхней поверхностях пластины (нормаль к которым параллельна оси в) имеют вид Ь Р,=Рз,—— Р„=О при з=~ —. 2 Значения остальных компонент тензора напряжений на нижней и верх- ней поверхностях пластины задать нельзя.

Они определяются из решения задачи и, вообще говоря, отличны от нуля. Поверхность разрыва называется ударной волной, если нормальная составляющая скорости среды разрывна, а зто значит, что т ~ О, то есть частицы переходят с одной стороны поверхности иа другую, или, что 'то же, поверхность разрыва движется по частицам среды. Типичным примером ударных волн являются взрывные волны, а также ударные волны, образующиеся перед летящими со сверхзвуковыми скоростями самолетами и ракетами.

Условия на ударных волнах имеют общий вид (28.10)-(28.14). Замечание 1. Иногла на поверхности разрыва могут быть источники массы, могуг действовать внешние по отношению к среде поверхностные силы и пары, а также существовать притоки энергии извне. Если, например, имеется поток воды сквозь 204 Лекция 28 тающую ледяную решетку и мы моделируем эту решетку как поверхность разрыва, то в соотношение (28.!О) мы должны дополнительно включить массу, поступающую в поток из решетки. При изучении работы воздушного пропеллера последний может моделироваться как поверхность разрыва, через которую лвижется возлух, Тогда в условиях на этой поверхности нужно учесть силы и притоки энергии от пропеллера к воздуху. Дополнительный член может появиться в условии (28, 1б) за счет поверхностного натяжения, если поверхность разрыва разделяет лве разные жидкости или жидкость и газ.

Если эта поверхность искривлена, то поверхностное натяжение дает результирующую силу, которая должна быть учтена в (28. !6). Замечание 2. Понятие скоросзи поверхности разрыва Р требует некоторого обсуждения. Если поверхностью разрыва моделируется некоторое материальное тело (например, винт пропеллера, скрепленный с летящим самолетом), то скорость Р есть скоростыочек этого тела. Если же поверхность разрыва — это просто геометрическая поверхность (на которой терпят разрыв некоторые параметры среды),— а это, как правило, звк, зо мы можем говорить лишь о скорости перемещения поверхности по нормали к ней; малое перемещение по касательной не меняет форму и положение поверхности.

Тогда Р = Рй, где й — нормаль к поверхности. Замечание 3. В некгпорых случаях дчя получения единственного решения задачи требуется использовать, кроме соотношений (28.!0)-(28. !4), дополнительные соотношения на поверхностях разрыва, которые выводятся не из законов сохранения, а из других физических условий. вектор ускорения й |г — элемент объема е, — компоненты тензора скоростей деформаций у — ускорение силы тяжести вектор нормали Р— давление Рб Ч— а — энтропия единицы массы г — время в — внутренняя энергия единицы массы вектор скорости вектор перемещения х — координаты Е— Е— скорость поверхности разрыва модуль Юнга Р— плотность массовых сил М; — компоненты тензора моментных напряжений с л ск— дА— Ад— удельная теплоемкость газа при постоянном давлении удельная теплоемкость газа при постоянном обьеме работа за время й количество тепла, поступающего к системе за время М в расчете на единицу массы некомпенсированное тепло в расчете на единицу массы скорость производства энтропии в расчете на единицу массы элемент площади компоненты метрического тензора вектор собственного момента количества движения в расчете на единицу массы компоненты тензора напряжений вектор потока тепла 206 вектор напряжений Л вЂ” газовая постоянная энтропия абсолютная температура внутренняя энергия обьем у — показатель адиабаты, отношение с„/ск — символы Кронекера компоненты тензора деформаций один из коэффициентов вязкости; один из упрУгих коэффициентов коэффициент вязкости; один из упругих коэффициентов коэффициент кинематической вязкости ковариантная производная по в Р— зажал' а — коэффициент Пуассона компоненты тензора вязких напряжений у — потенциал скорости лагранжевы координаты коэффициент полезного действия машины йрно ы— вектор вихря à — циркуляция скорости Гзж — символы Кристоффеля з; — ковариантные векторы базиса контравариантные векторы базиса э~— векторы базиса лагранжевой системы координат в начальном состоянии среды векторы базиса сопутствующей лагранжевой системь' кооРдинат в конечном (деформированном) состоянии среды Литература 1.