М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред, страница 28

Понятие энтропии начало применяться к всевозможным системам. В этой лекции, а также в следующих двух лекциях будет рассказано о том, как, исходя из некоторого постулата, касающегося работы тепловых машин, можно ввести такое универсальное понятие, как энтропия. Тепловой машиной называют устройство, которое 1) работает по циклу, то есть в нем происходит процесс, в результате которого устройство приходит в исходное состояние; 2) получает от внешних источников тепло и производит работу или отдает энергию в другой нетепловой форме.

176 Лекция 25 Пусть в некоторой системе происходит циклический процесс. Согласно первому закону термодинамики сумма притоков энергии к системе извне за цикл равна нулю: (г1Ай) + Ж»21') + й;)**) = О. (25.1) Обозначим через Г~ количество тепла, которое получает система за цикл, А~1«) Обозначим через А сумму работы, произведенной системой, и энергии, полученной ог системы в других формах (то есть в формах, отличных от тепла и работы), Во многих случаях Щ'* = О. Тогда А — это просто работа, произведенная системой.

В дальнейшем тексте будем условно называть величину А работой даже в тех случаях, когда й~" ф О. С точки зрения второго закона термодинамики различие между механической работой и другими нетепловыми видами энергии несущественно. Второй закон термодинамики делит все формы энергии на «тепло» и «не тепло», утверждая (см.

формулировку 2 в лекции 23), что тепло нельзя полностью превратить в «не тепло», то есть в нетепловые виды энергии. Согласно соотношению (25.1) Если А > О, то систему можно назвать тепловой машиной. Она совершает работу за счет тепла, полученного от внешних источников. 25.2. Тепловые машины, работанзщие по циклу Карно Рассмотрим, следуя Карно, тепловую машину, работающую по так называемому циклу Карно.

Для организации такой машины требуется 3 тела: рабочее зело, которое производит работу (например, газ или пар, который расширяется и поднимает груз), и еще два тела В) и Вз с температурами соответственно 01 и д)1 с этими телами рабочее тело может обмениваться теплом. При этом считается, что в рассматриваемом процессе о) = сопи и 1)з = сопя). В этом разделе мы обозначаем температуру не буквой Т, а буквой д, так как пока шкала температуры может быть любой, а обозначение Т используется, как правило, для абсолютной температуры. Тела В| и Вз называют тепловыми резервуарами.

Если 9) > дз, то тело В) называется нагревателем, а тело Вз — холодильником. Будем обозначать количества тепла, полученные газом от тепловых резервуаров, через ф и Яз. 25.2. Тепловые мешины, работающие по циклу Карно 177 Циклом Карно называют любой процесс, в котором тело обменивается теплом только с двумя теламн с фиксированными температурами. При каких условиях можно считать, что д~ = сонм, дз = сопи, несмотря на то, что резервуары тепла отдают или получают тепло? Рассмотрим удельную теплоемкость, то есть теплоемкость единицы массы с, Она, ло определению, равна отношению количества тепла, полученного телом е рисчете на единицу массы, к соотвеглстеующему увеличению температуры г~д с = —. сьд Количество тепла, которое нужно передать телу массы М, чтобы увеличить его температуру на цьд, равно ст1г = Мтзд = Мс ььд, Таким образом, изменение температуры тела связано с массон тела и количеством полученного тепла формулой Ьд = —.

~ЪЯ сМ Величина удельной теплоемкости с конечна; поэтому, если количество тепла Ь1г, передаваемое телу или отдираемого у него, мало или масса тела М— велика, то изменение температуры Ьд мало, то есть д нракгпичгски не меняется. Мы будем предполагать, что эти условия выполнены. Пусть рабочим телом машины является газ, находящийся в цилиндре под подвижным поршнем. Классический цикл Карно состоит из следуюших четырех этапов (рис.

25.1). 1 1! П! !'т' Рис. 26.1. Схема тепловой машины, работающей по циклу Карно. Вь В, — тепловые резервуары. Заштрихованы теппоизолирующие подставки 1 этап; медленное расширение газа в условиях, когда цилиндр с газом находится в контакте с нагревателем Вы При расширении температура газа стремится понизиться, но за счет контакта с телом В1 к газу Лекция 26 все время поступает тепло и температура газа успевает выравниваться с температурой тела Вн так что процесс является изотермическим, О „= ао При расширении газ получает от тела В~ количество тепла ф > 0 и совершает работу (например, поднимает груз).

П этап: медленное адиабатическое расширение газа. Цилиндр с газом снимается с тела Вм ставится на теплонзолирующую подставку, и газу дают возможность дальше расширяться; он опять совершает работу. Так как процесс адиабатический, то температура газа падает, Расширение проводится до тех пор, пока температура газа не станет равной ан РП этап: цилиндр с газом ставится на тело с температурой ды и начинается медленное изотермическое сжатие газа.

При этом газ отдает тепло холодильнику Вз (Яз ( 0), а мы совершаем работу по сжатию газа. !Ч этап: цилиндр с газом снова ставится на теплоизолируюшую подставку, и сжатие продолжается адиабатически до тех пор, пока не будет достигнуто первоначальное состояние газа. 25.3. Обратимый цикл Карно длв совершенного газа Рассмотрим в качестве примера обратимый цикл Карно для совершенного газа. Для совершенного газа верны следующие уравнения состояния: Р = ВрТ, то есть р1г = ВТ, и = сиТ+ сопаг. Здесь Т вЂ” абсолютная температура, гг = 1Гр — объем единицы массы, Будем обозначать температуры тепловых резервуаров через Т1 и Тм а количества тепла, полученные газом от них — попрежнему через ф и Ям Будем проводить все процессы медленно, тогда давление, плотность и температура газа одинаковы во всех частицах в каждый момент времени, В связи с этим, в частности, достаточно вычислять работу и притоки тепла, приходящиеся на единицу массы газа.

Полная работа газа и приток тепла ко всей массе газа будут просто пропорциональны массе. Изобразим цикл Карно на плоскости р, 1г (рис. 25.2). Процесс начинается с состояния А. 1 этап — изотермическое расширение. На изотерме АВ имеем Т = =Т, =сопи, ят, "=т 11 этап — адиабатическое расширение ВС: р= Р /Рв 1т — = сопн, то есть рт причем показатель адиабаты т > 1. 26.3, Обратимый цикл Карно дле совершенного газа !79 Рис. 25.2. Цикл Карно на плоскости р, к' 111 этап — изотермическое сжатие СР до состояния Р такого, чтобы построенная на 1Ч этапе адиабата попала точно в точку А.

На СР ЕТ2 р— 1Ч этап — адиабата РА: Р 1 ел2е х 7 — = ~ — (; или, в другом виде, (' Вычислим работу, произведенную газом во всем цикле. Так как мы рассматриваем медленный процесс, то г!Е,„„= О, то есть е!Ай! + 2!А~'~ = О, АА1е! = -Ы", 1; р 1 — Ы'! = — — йр =-рс! — =- рдУ, Атп рг Поэтому работа, произведенная единицей массы газа за весь цикл АВСРА, равна АВСРА а работа всего объема газа с массой М есть А=М релг. АВСРА где дА — работа внешних сил над газом; с!А — работа внутренних (е) !О сил; ИА = -оА~' = г!Агй — работа газа. Работа внутренних сил на единицу массы в медленном процессе (вязкие напряжения пренебрежимо малы) равна :180 Лекция 25 На ! и !! этапах работа газа положительна Алв+ Авс = ЛУ~Рг!)Г+!И ~Рпг > 0; на ПП и !У этапах — отрицательна. Но полная работа газа Ахвсох > О, т.е.

мы получаем работу от газа. Теперь рассмотрим количества тепла ф и Ям которые газ получает от резервуаров В~ и Вз в этом цикле Карно. На участке АВ температура постоянна, поэтому изменение внутренней энергии равно нулю: (КГ = Ыг!н = ЫсуАТ = О. Тогда из уравнения притока тепла гШ = й1;) — г!А!'! получаем йь! = ИА = ($Агазв !зю = Алд > 0 — газ получает тепло от нагревателя.

Участок ВС соответствует адиабатическому процессу, дД = О. На участке Сг! температура постоянна, пьГ = О, 9г = Асс < 0— газ отдает тепло холодильнику. На участке ВА (адиабатический процесс) Щ = О. В полном цикле Я = ф + Дз = А > О, причем ф > О, 1;гз < О. Таким образом, количество работы, произведенной машиной, меньше количества тепла, взятого у нагревателя. Часть энергии пошла на нагревание холодильника, что нерационально.

Можно ли придумать такой цикл и создать такую машину, чтобы все тепло, полученное от нагревателя, превращалось в работу? Второй закон термодинамики в формулировке Карно утверждает, что этого сделать нельзя, часть тепла обязательно отдается холодильнику (см, формулировку 2 в лекции 23). Если провести циклический процесс в обратную сторону, то получим устройство, которое забирает тепло у холодного тела и отдает тепло горячему. В этом процессе мы сначала расширяем газ адиабатически до тех пор, пока его температура не понизится до значения температуры холодного тела. Потом приводим цилиндр с газом в соприкосновение с этим холодным телом и продолжаем расширять газ, тогда он забирает тепло от холодного тела. Потом мы начинаем его сжимать адиабатически до тех пор, пока его температура не повысится до значения температуры горячего тела.

При дальнейшем сжатии газа, если он находится в контакте с горячим телом, газ будет отдавать тепло горячему телу. Если в конце газ 28А. Эквивалентность формулировок второго эвконв термодинамики 181 возвращается к исходному состоянию, то, очевидно, работа газа за весь цикл будет отрицательной, то есть мы вкладываем работу, а количество тепла, которое газ отдает горячему телу, равно сумме количества тепла, взятого от холодного тела, и вложенной нами работы (см., например, цикл АВ+ 23С+ СВ+ ВА для совершенного газа).