М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред, страница 29

Машина, работающая по такому циклу, называется холодильной машиной или тепловым насосом. Она может использоваться либо для охлаждения холодного тела (например, бытовой холодильник), либо для обогрева помещений частично за счет тепла, забираемого от холодного тела (например, от холодного моря в северной стране). Тогда она работает как тепловой насос. 25.4. Эквивалентность физических формулировок второго закона термодинамики Докажем эквивалентность физических формулировок ! и 2 второго закона термодинамики (см.

лекцию 23). Доказательство проводим от противною. Пусть формулировка 2 верна, а формулировка ! неверна. Рассмотрим тогда последовательность двух процессов, В первом процессе некоторое количество тепла Щ само собой переходит от холодною тела к горячему, что возможно, если формулировка ! неверна. В качестве второго процесса возьмем цикл Карно, устроенный так, что в нем от горячего тела берется именно то количество тепла, которое было им получено от холодного тела в первом процессе, то есть ф.

Машина Карно произведет за цикл некоторую работу А > О, при этом холодному телу будет передано количество тепла ф — А. Результат двух процессов — следующий. а) Получена работа А > О. б) В рабочем теле машины Карно ничего не изменилось, в результате цикла оно вернулось к первоначальному состоянию. в) В горячем теле ничего не изменилось: оно получило тепло ф и его отдало. г) Холодное тело отдало количество тепла ф — (ф — А) = А > О. Таким образом, получили устройство, которое производит работу только за счет тепла, взятого у одного тела. Это противоречит формулировке 2. Значит, если формулировка 2 верна, то формулировка ! тоже верна.

Пусть теперь формулировка ! верна, а формулировка 2 неверна, то есть можно в цикле забрать тепло от одного тела и превратить его полностью в работу. Сделаем это, а потом возьмем еще одно, более горячее тело и затратим полученную работу на нагревание этого горячего тела (например, трением). Обьединяя зти два процесса, получим систему, которая без затраты внешней энергии передает тепло от холодного тела к горячему, что противоречит формулировке !. Конец доказательства.

Лекция 26 26.1. Теорема Карно о коэффициентах полезного дер - (КПД) тепловых машин 26.2. Введение абсолютной температуры с помощью циклов Кар"о 26.3. Введение энтропии для системы, дпя которой определена температура 26.1. Теорема Карно о коэффициентах полезного ТхъЪктъъь ~я\ду-зъъззъъмь зиаъззз?н Введем понятие коэффициента полезного дейртвия (КПД) тепловой машины Карно.

Машиной Карие называется устройство в котором Рабочее тело совершает цикл, обмениваясь тепло„только с двумя телами (тепловыми резервуарами), имеющими фиксированные температуры 01 и дз. Тело с большей температурой называется нагревателем, тело с меньшей температурой — холодильником. Пусть д, > Из. Работа, которую производит машина за цикл, обозначается через 4, а количества тепла, которые забираются у нагревателя и холодильника, ~срез Ф 92 соответственно. Если А > О, то есть система работает Как тепловая машина, то ф > О, газ < О. Из закона сохранения энергии слелует, что (2бд) А = О = гз, + Ц, < ф, КПД = — = 4 9~+9г Ф 1+ <Е Ф 9~ 9~ (26.2) Как устроить машину с наибольшим КПД? Таким образом, в работу превращается лишь часгь тепла, полученного от нагревателя. Часть тепла мы вынуждены отдат„хололильнику, чтобы вернуть рабочее тело к исходному состоянию, С точви зрения затрат энергии эта часть является для нас бесполезной; нам вовсе не нужно нагРевать холодильник.

Коэффициентом полезного действия (КПД) мвшины КаРно называется отношение величины полученной работы к кодичеству тепла, истраченного нагревателем: 183 26.!. Теорема Карно о КПД тепловых машин Будем сравнивать различные машины, использующие одни и те же тепловые резервуары. Машины, даже работающие с одними и теми же тепловыми резервуарами, могут быть разными, в частности производить разное количество работы. Например, если рабочим веществом является газ, а процесс медленный, то работа на единицу массы равна ~рот, а работа массы М равна А = М ~ р йк'; значит, количество работы зависит от массы рабочего вещества.

Вообще такие тепловые машины могут различаться тем, что в них могут быть!) разные рабочие вещества, 2) разные массы рабочего вещества, 3) разные степени изотермического и адиабатического расширения, 4) разные скорости проведения процесса. Если процесс происходит быстро, то он, как правило, необратим, так как а) температура в рабочем теле не успевает выравниваться, возникают конечные разности температур, происходит необратимый процесс теплопроводности, б) если рабочее тело — газ или пар, то в нем возникает движение с конечными скоростями и проявляется вязкое трение. Необратимость процесса в машине может быть также связана с трением в ее различных механических частях.

Теорема Карно формулируется следующим образом. Если справедлив второй закон термодинамики, то из всех машин Карно, работающих с одними и теми зке нагревателем и холодильником, 1) КЛД машин, работиющих по необратимым циклам Карно, не больше КЛД машин, работиющих по обратимым циклам; 2) КЛД всех машин, работающих по обритимым циклим Карно, одинаков. Доказательство теоремы Карно.

Пусть имеются две машины, работающие по циклу Карно с одними и теми же нагревателем и холодильником. Пусть обратимая машина производит работу А, забирая у нагревателя тепло ф. Ее КПД равен АЯ~ = ц. КПД машины, про которую неизвестно, обратимая она или нет, обозначим г1'. Эта машина производит работу А, забирая у нагревателя тепло ф. Докажем, что г1 > г) . Доказательство проводится особенно легко, если обе машины производят одинаковое количество работы, то есть А = А'. Если это первоначально не так, то возьмем пт одинаковых машин с КПД 12 (они производят количество работы тА) и и машин с КПД г1 (они производят количество работы пА').

Подберем пь и и таким образом, чтобы количества работы этих двух наборов машин было одинаковым; гпА = пА', то есть чтобы было А и А' т 184 Лекция 28 Этого всегда можно добиться с любой точностью, так как любое число можно приблизить рациональным числом и/гп. КПД системы одинаковых машин, конечно, равен КПД одной машины. Действительно, если одна машина с КПД = и производит работу А, забирая у нагревателя тепло Ды то т машин производят работу тА, забирая у нагревателя количество тепла т(~,, КПД системы т машин равен гпА А — = — = Ц т9~ ф Вышесказанное означает, что не ограничивая общности, можно при доказательстве того, что и ) и, сразу считать, что машины с КПД = и и КПД = и' производят одинаковое количество работы, А = А'.

Теперь перейдем непосредственно к доказательству теоремы Карно. Оно проводится от противного. Пусть д < п~. Рассмотрим циклический процесс, состоящий из двух циклов; машина с КПД = и' работает как тепловая, а машину с КПД = и запустим в обратную сторону, то есть она будет работать как холодильная, причем ф, Яз и А в этом обратном цикле будут отличаться от соответствующих величин в прямом процессе только знаком.

При этом можно считать, что обе машины, работая независимо друг от друга, вместе составляют единую термодинамическую систему, которая обменивается теплом с нагревателем и холодильником и не совершает работы. Результат циклического процесса, состоящего из цикла необратимой машины и цикла обратимой машины, проходимого в обратную сторону, представлен в таблице. Холо- дильник Машина с КПД=й Машина с КПД= г~' Нагреватель Из закона сохранения энергии А = ф + 9з, А' = ььу1+ кем Из равенства А = А следует -4 + Ф = -(-9г+ 9г) После окончания составного цикла обе машины возвращаются в первоначальное состояние. Суммарное количество работы равно нулю: сколько работы было произведено в первой части составного цикла, столько потом было потрачено во второй части цикла.

Единственным результатом 28.2. Введение абсолютной температуры с помощью циклов Карно 185 является перераспределение тепла между нагревателем и холодильником. Рассмотрим, какой из этих тепловых резервуаров получает тепло, а какой отлает, Так как А' = А, т)' = А'Яы тт = АЯы то из предположения, что тт ) тт, следует, что Я1 < Цм тоесть — 12'1 + 1Е1 > О, то есть тепло„полученное нагревателем, положительно! Тепло -т„т, + 11т, взятое от хололильника, поступает к резервуару с большей температурой без затраты работы, что противоречит второму закону термодинамики.

Следовательно тт > тт~, Теперь докажем, что у всех машин, работающих по обратимым циклам с одними и теми же нагревателем и холодильником, КПД одинаков. Пусть машина с КПД = тт~ тоже обратима, как и машина с КПД = т). Тогда запустим в обратном направлении машину с КПД =- и', а в прямом направлении — машину с КПД = т). Проводя такие же рассуждения, как ! при доказательстве первой части теоремы Карно, получим, что тт > тт. Но в первой части было получено, что т) < тт.