М.Э. Эглит - Лекции по основам механики сплошных сред, страница 31

Тогда из (27.3) следует равенство А(1) А(2 ) Я(В) = Я(А)+/à Š— ь, Г г(Щ / т,.' Ь=) (27 А) в где и нтеграл с"- А()ь — взят по любому обратимому пути от состояния А ~-; 2ь А к состОянию В. в „ Г А(ь)ь то есть интеграл ) ~~ — не зависит от выбора обратимого пути. / 2ь А Припишем системе в состоянии А некоторую величину Я(А), которую назовем энтропией в состоянии А. Энтропия в состоянии В определяется формулой 192 Лекция 27 Если температура всех частей системы одна и та же, Ть = Т для любого !г, то формула (27А) переходит в уже полученную в предыдущей лекции формулу в Я(В) = Я(А) + / Г 2((Г .)' т А где интеграл взят по любому обратимому пути от сортд)р)(ая А к,.адяпг(аиию В. 27.2.

Вывод утверждения о возрастании энтропии за счет необратимости процесса из утверждения о невозможности вечного двигателя второго рода А л в В(2 ) А(2) в ~~~~, — = Я(В) — Я(А). п()ь Т А(2) Поэтому неравенство (27.5) переписывается в виде к(В) — ЯА) й)ь А (27.б) Получим теперь утверждение о возрастании энтропии за счет необратимости процесса, то есть математическую формулировку 3 второго закона термодинамики (см.

лекцию 23) из неравенства Клаузиуса, которое было получено из формулировки 2 второго закона о невозможности вечного двигателя второго рода. Пусть имеем какой-нибудь процесс 1 от состояния А к состоянию В (возможно необратимый). Предположим, что существует также и обратимый процесс 2 перехода от А к В. Рассмотрим цикл, составленный из процесса ! и процесса 2, проходимого в обратном направлении, то есть цикл ! + 2 . Неравенство Клаузиуса (27.1) дает для этого цикла (27.5) А(!) В(2 ) Для процесса 2, в силу того, что он обратим, имеем 27.3, аыраеение дпв притока энтропии извне где путь от состояния А к состоянию В произвольный, возможно необратимый.

Если же путь обратим, то неравенство превращается в равенство. Если состояние В близко к состоянию А, то неравенство (27.6) принимает вид АВ р ~; — "'. 49ь ь Последнее неравенство можно записать и так: сИ = д,Я+А;Я, А,Я > О, 49ь где И,Я = ~~ — — приток энтропии извне, а д; Я > Π— производство вгы Ть энтропии за счет необратимых процессов внутри системы.

Если процесс обратим, то Иф = О. 27.3. Выражение для притока энтропии извне для объема вт сплошной среды Предыдущие рассуждения позволяют написать выражение для д,б для объема т' сплошной среды, которое постулировалось в лекции 24. Действительно, хотя температура в разных точках объема, вообще говоря, разная, но можно разбить объем на малые частицы, в пределах которых температуру всех точек можно считать одной и той же. При вычислении энтропии учитываем, что притоки тепла к объему могут быть массовые и поверхностные. За счет массового притока тепла к каждой частице с массой р д'т' за малое время поступает количество тепла дд„яро)т и, соответственно, количество энтропии пч Ргп Т Приток энтропии извне ко всему объему т' за счет массового притока тепла за малое время есть / — р гпт.

Кроме того, тепло к среде может поступать через поверхность. К каждому элементу поверхности да поступает за время гй количество тепла ( — дн га Ао) и, соответственно, количество энтропии О„Ж йт Т Через всю поверхность Е объема Р поступает количество энтропии — — гй Ао. Г Он / Т Щй Лекция 27 Итак, приток энтропии извне дли объема ь' сплошной среды за счет гвййтока тепла за время б1 есть В,В = Зу Рг1И вЂ” / — 41 да. г Дмьсс 1' Дь т /2 (27.7) Замечание.

Кроме притока энтропии за счет притока тепла, возможно поступление энтропии в систему за счет массообмена с окружающей средой. Масса в индивидуальный объем может приноситься за счет диффузии. Если среда состоит из молекул разных сортов и происхолит диффузия, то молекулы разных сортов переносятся через гранины индивидуального объема и переносят с согюй свою энтропию. Тогда формула для полного притока энтропии (27.7) содержит лополнительное слагаемое.

Введение энтропии без предположения о температуре системы 27.4. Введение энтропии без предположения о существовании температуры системы Покажем, как можно ввести энтропию ддя тел, для которых нельзя ввести температуру даже для их малых частей. Почему иногда температуру нельзя ввести даже для малых частиц сплошной среды? Для пояснения вспомним, что в молекулярной гризике температура определяется как величина, лропорциональнал средней кинетической энергии молекул, приходящейся на одну степень свободы молекулы. При этом подразумевается, что а) если среди состоит из молекул разного сорта, то эта величина одинакова для молекул всех сортов; б) для всех степеней свободы молекул (связанных с поступательным движением, вращением и внутренними колебаниями) эта величина одна и та же и в) что распределение молекул по скоростям подчиняется так называемому гауссову закону.

Если, например, 100 молекул имеют скорости 500 м/сек, а другие 100 не движутся, то понятие температуры для совокупности этих молекул ввести нельзя. В механике сплошных сред приходится встречаться с ситуациями, когда среднял кинетическая энергия хаотического движения — разная для разных сортов элементарных чистиц, составляющих среду, или разная для разных степеней свободы. Например, в плазме, которая состоит из ионов и электронов, под дейсгивием сил легкие электроны разгоняются быстро, а тяжелые ионы — медленно.

Возникает ризница кинетических энергий ионов и электронов; при этом в некоторых случаях можно ввести отдельно температуру ионов и температуру электронов, то есть две температуры в одной и той же макроскопической частице сплошной среды. Есчи еще и распределение ионов или электронов неравновесное (не гауссово), то и этих двух температур ввести нельзя.

Аналогичная ситуация может возникать в связи с тем, что поступательные степени свободы возбуждаются быстрее, чем колебательные и вращательные. В этих случаях иногда вводят в одной и той же точке среды поступательную, колебательную и вращательную температуры. 196 Лекция 27 где А — работа, совершенная объединенной системой, из которой исклю- чили тело Ве (оно могло взаимодействовать с какими-то третьими телами, для наших рассуждений это не важно).

По второму закону термодинамики эта работа не может быть положительной, А<0. Следовательно не зависит от пути. Тогда, если ввести произвольно некоторую величину Я(А) и назвать ее энтропией тела )г в состоянии А, то энтропия тела 1г в состоянии В определяется формулой Я(В) = Я(А)+ ~ У (27.9) ь=! где интеграл берется по произвольному обратимому процессу от А к В. При этом из неравенства (27.8) следует, что для любого, в том числе и необратимого процесса между А и В в н Я(В) — Я(А) > ~ з, — >1. ЙЪ Й=! (27.10) Для малого участка процесса получаем ~Ы = АеВ + АВ <~еЯ = Х~~ АЯ ~ 1О.

~Щ 1е) ' ,, т„ Заметим, что формулы (27.8)-(27,1!) аналогичны полученным ранее формулам для случая, когда г состоит из подсистем, для которых температура определена. Разница состоит в том, что в формулы (27.8)-(27.11) входит температура внешних тел, а не температура частей самой системы К (27.8) „, т„" Если цикл обратимый, то это неравенство переходит в равенство ь=! Это равенство выполнено для любого обратимого цикла, поэтому для любого обратимого пути от А к В интеграл А Лекция 28 28.1. Условия на поверхностях сильного разрыва в сплошных средах 28.2. Тангенциальные разрывы и ударные волны 28.1. Условия на поверхностях сильного разрыва в сплошных средах Под поверхностями разрыва понимаются поверхности, на которых оплошность среды не нарушается, но либо параметры среды (скорость, давление и яд.) терпят разрыв (так называемые сильные разрывы), либо только производные от параметров среды терпят разрыв (так называемые слабые разрывы).

Условия на поверхности разрыва — это соотношения, которые связывают параметры среды и (или) их производные по разные стороны поверхности разрыва. Сильными разрывами являются, в частности, поверхности раздела двух сред, например поверхность воды в море. Она разделяет воду и воздух, на этой поверхности, в частности, плотность терпит разрыв. Другим примером поверхностей сильного разрыва являются так называемые ударные волны, которые возникают, в частности, при взрыве. В результате взрыва по окружающей среде распространяется фронт — некоторая поверхность, такая, что впереди нее среда еше покоится, а непосредственно за ней — движется (разлетается от места взрыва); если взрыв произошел, .„;.мат:,,'--,'г например, в возлухе, то плотность, давление и температура за фронтом сушественно выше, чем перед ним.

Таким образом, * г~~ на фронте скорость, плотность, давление ->".;;-~"--,',,,":":-'Ь.; и температура терпят разрыв. Если взрыв Я~~~!~~ произошел в твердой деформируемой сре- -::~*:""~"«"" де, например в грунте или в металле, то Рис.28.1. Теневая фотография на фРонте скачком менЯютсЯ скоРость, пули, летящей в воздухе со сверх- плотность, компоненты вектора напряжезвуковой скоростью.

Видны удар- ний и другие параметры. Ударные волны ные волны — поверхности резкого образуются также при движении самоле- изменения плотности воздуха тов с большими скоростями. 28.!. условия на поверки оввркносгях сильного разрыва в сплошных срвдах ия на поверхностях сильного разрыва, следующие из за- Получим условия на я я индиви- Квиов сохранения, на . Сначала выпишем все законы сохранения лля дуального объема сплошной среды. Закон сохранения массы: — ) рЛ'=О. Г Ж (28.1) Закон сохранения количества движения; д Г— ерЛ' = / Рроьг+ ~1 Р„вЬ. — —./' У Е (28.2) Закон сохранения момента количества движения; — ([г" х в]+ й)рд$' = А1 Ч' и.нрьг.~~~г.Р)а .

) ьрь + (м.а . о8я е Е Закон сохранения энергии: — ~ — + вГРЛ'= /(е Р)Рв11г+ /(в Р„) да+ И ~[го' '[ Г „ и„,„, / в ьг — йт + " р в1 ьг — д„''г1о, (28,4) а Е е Второй закон термодинамики: Даава Ъ А1/ /т 1, Е Отметим, что все соотнош оотношения (28.1)-(28.5) имеют одинаковую форму — Аьг=) Выг '-) с,й (28.б) М Е имания на то, что соотношение (28.5) содержит (пока не обращаем внимания н дополнительное слагаемое). Например, в законе сохранения массы А = р, =, „=; в 28 6) в дальнейших выкл вь кладках будем использовать общее соотношение ( Лекция 28 Получим сначала условия на поверхности разрыва в системе координат, относительно которой рассматриваемая часть поверхности разрыва неподвижна.

Отметим, что поверхности разрыва вообше могут двигаться, причем разные точки поверхности движутся с разными скоростями (например, поверхность волн в море, или взрывая волна). Мы будем проводить вы- кладки, пользуясь инерциальной систе- О мой координат, скорость которой равна скорости поверхности в рассматрива- О 1 ~2 пз емой точке в данный момент времени.