В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU), страница 8

1Ц>плГвлс еслтт о, > Ь, то Ь < о,. Иными словахш, существует 171хсвтслтз. по,зволлннйее Устлгтнзвитть каким из Укозаннытс пужк зников свЯ- винти два дтснньис 1х7771СГ>тсадтьтсьсттт ясли. Это правило нтсзывается правил о м ср а анен пят). П. бЬутттесттзвуеттз привила, тию!ждсптвалт которого лнзбым двум 1хстттлотсттльтсьсм числам и и Ь сптавтипся в сгютвстстнвие отцжделейнт>77 рациональное число с, !!омываемое их сутммГ>17 и обо:тачаемое символом с = а + Ь ).

Операция нахождГзния об ма!ы назт,твтпзтся П1, Сутттесттзвуеттт, 711хтвтс>776 посредством ко!порога любым двум, рацтн>!Сальным и!лолам о и Ь стивип>сл в соотвтпстивтсс' определенно» рационильтн: число с. называемое тли пропзведеГяем о, обозначиелсое спьтволом с = аб' ). Операция нахождения произведения ц>тзыв>!ется у м и аж е н н с м. Перечислим теперь основные свойства, которым подчинены ук званные трн прави:!а. Правило сравнения рапиошщьных чисел обладает <ледуюпнтм свойством: 1' из а > Ь и 6 > с вьстекает> что о, > с (свойство транзитивностн знака >): из а = Ь и, Ь = с вьтсскоятз что о, = с (свойство транзитивпости знака =) Правило сложения рациональных чисел обладает, Следующими свойствами: 2' а + Ь = Ь+ о, (переьтестптельное свойство); 3' (а + 6) + с = а + 1!7+ с) (сочетательпо77 свойство); 4' существутп, риционильное число О псиное.

Стпо о, + О = а для любого !хпционильного числи о, !особая роль нуля); ') Прави.,ю сравнения рациона.7ьных чисел формулируется так: .Сва Пгз Гпг неотрицательных рациона.,зьных числа о = — и Ь = — связаны тем же Пз Пг зваком, что и Гита целых янеза т7нг И Пгг И 7! Даа нЕПО Ю>кительных раПиональных .тисяа и и Ь связаны гем >ко знаком, что н два неогрипазельных числа ( Ь ! и ( и !., если а — неотрицательное, а Ь вЂ” отрицательное рациона.ть7<ое пп:зо. то о ) 6. тз т> 2) Прови,зо образования суммы рациональных чисе.т а = — и 6 =— 17 7 172 Глз т2 >П> П2 -7- т 777 определяется посредством формулы — + = = пг 77> Пг а) Правило образования произведения рациональных чисел опреде.тяется тз тг т> Пг посредством форму.зы — — = 17! П2 ПГП2 39 ВРЩКктВКННЫК 1ИСЛ!А 5' для киждого рационального число, а сусл!ест!!<зулсзтт<, пулолтие вополоан:ног <змуу ч<лсло а.' т<лкосз чтто а, + а,' = О.

Правило умножения рациональных чисел обладает следующиап< свойствами: 6' аЬ = Ьсл (Истр<за!есзтптельное свойство); 7' (<<Ь)с = <л(Ьс) (сочетател<ы!Ое свел!ство); 8' сул<ллесттлвуу<зтт<, ри!«ланс!о!оное 'число 1 тпакое. чн<о а, 1 = а, для любого ух<<<<<Онального сгисли а (Ос<абая роль единицы): 9' для к<лонлд<лго рии1пон<лльного числа а, отлп"!ного оп! нууля, сутцесплвует обу)полное ему "ласло а, плакоез чтпо) аа, = 1.

< < ПраВила <лож<)ния и уап!Ожения сВязаны следующим ОВОЙ- с твом: 10' (а+ Ь) с = ас+ У)с (рйс<пр<зул<ьлпт<зл! Нос) свОЙство уапюж«ння относительно суммы) Следунпцие два свойства связывают знак ) со знаком с <ожения и уз!поженян: 11' тла а ) У) вы!некает„чтпо и+ с ) Ь+ с: 12' <л;! а ) Ь и с > 0 ватт<!к<!<)!!!. что ас ) Ьс. Осоойя ролла принадлежлг! последнему свОЙслвтз 13' каково бы ьил было рац<юлнильное число а. моонно число 1 тн)втпорптпь слагаемым стсллько ух!аз что т!ояученния сумма превзойдет а ). Перечисленные 13 свойств обычно называют о с н о в н ым и с в о й с т в а м и рациональных чисел, ибо все другие <цп.ебрйическне свойства этих чисел.

относящиеся к арифметическим действиям и к сочета!шю равенств и неравенств. могут быть извлечены как следствие из указанных основных свойств. Тйкз например, из этих свойств вытекает часто используемо<) В дйльнепп!<гм сгОЙство. Но)возя!Оп<с<! почлещ!о склйд! !Вйть неравенства одноп) знака: если а > Ь и с ) д, то о, + с ) Ь + д. В самом деле, нз неравенств а ) Ь и с ) д и из свойств 11о и 2' вытекаег< что а, + с: > Ь+ с. и Ь+ с ) Ь+ дз й, из последних норавонств и из свойства 1' вытекает, что а + с > Ь+ д.

2. Об измерении отрезков числовой оси. Из элементарного курей, известно, !то двй отрезка могут быть соизмеримыьп! (!<огда Отнопи)н1ю пх длин Выр1жается рациОнйльным чпс"пю!) и несоизм<римыми (приыероа! несоизмеримых отрезков мо!ут <тужить диагональ н сторона квадрата). Удобно с:разу же ввести в растгмотрщ!ие чис йову!о ось. Числовой осью мы будем называть прямун), на которой выбраны опре'- деленная точка О !паз<ад!О отсчета), маспггабный Отрезок ОЕ л) Это с<ювстао часто называют аксиомой Йрхимсда. теовия ввществеипых чисвл О Е М,1'"1 а, (дл)тну !'го мы с гита!',и 1)!гатт!)Й ьтдинице) тт !)сложите)льно!'. Направлоттс (обычно от О к Е). Естественно, возникает задача о возможности поставить в соответствие каждой точке ЛХ чшшовой оси некоторое число, выражающее длину отрезка ОМ.

Это читшо мы будем считать положительным, если М н Е лежат по одну сторону от О, и отрицательным в противном случае. Прежде всего заметим, что кап)сдолг!) ~н)711)е)неьльнолы1 числу се)е)теьоеттьстт)ет)етеь нп 'гас.,н)оой Г)сть е)7)Х)е)71ее)ьентьая 7почкп. В самом деле.,из алеметттарного курса известно, как построить отрезок, длина которого ! оставляет — часть длины магштаоного отрезт) ка ОЕ (тг любое целое положительное чн! и). Стало бьггтн мы можем построить отрезок т) АВ, длина которого ЕпноснтьГЮ ся к длине масппабноь-о от)и резка ОЕ, как —, где тп и и .

Рис. 2Д любые це:тые положительные числа. Считая, что точка Е лежит правее точки О (рис. 2.1) и отложив отрезок АВ вправо (влььво) от точки О, мы получим точку )и Х ))ь> мг (лх2), соответствующую рациональному пилу + — ьл — — )7. 7) П Вместе с тем существование несопзгтерпмых отрезков позволяет утверждать. что не осе 77)е)чкть числовой оси се)е)77)еет)ге)7)геп- ЕГ)пь 1лгциотьалюг!ли, "пьс)игл!. Естественно, возникает потребность расширить область рациональных чисел и ввс! ти в рассмотрение такие числа, которые соответствовали бы всем точкам числовой осп и позволяли бы и.)мерить прн помощи аь масштабного отрезка ОЕ 0 Е Р)и )ьюоои о>Веток, ЛХы опишем специальРис.

2.2 пый щ>оцесс изхтере)тить огре ька ОЛХ числовой осн и пе)каж! >т, что зтот процес! поаполеяет тье)спьппьгтт)ь и се)е)ттьеепьстпшье любой точке М эпюй оеш тьеьке)7)гор))то ее!ге)лтье е)7)Х)етдслентйт)те) бе)скотье"ттг)ен) деслтт)ть"!ты)те) 721)о!)ь. Пустт М любая точка чиь)новой оси. Ради определенности предположим, что ЛХ (как и Е) лежит правее точки О (рис. 2,2), Будем измерять от1>елок ОМ 7)ри помощи масштабном> отрезка ОЕ. Прож ье всего выясним, сколько раз целый отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОМ.

Могут представиться два случая: 1. Отрезок ОЕ укладывается в отрезке ОЛХ целое число ао р>я с некоторым остатком Л)ЛХ„>те)ныт)инт ОЕ ьепт. рис. 2.2). В ввгцкствииныв числА этом с;<у )а<. ц("ло<) чп( и) ао г(1»)дставля<гг совой г<1)ибль(ж<'.Иный результат измерения пп нсдоспилпаку с точностью до единицы. 2. Отрезок ОЕ укладывнесня в отрезке ОЛХ целое чнппо оп+ 1 ржз без остатка. В этом случае число оо также представляет собой п)п(ближенный ре:)ультат изк(ерення во нег)осгг(гт(ку с )очное гик) до ед(п))шы> ибо от)»мок ОЕ укладывается в от1>(;3- ке ОЛХ ао раз с остатком ))>ЛХ, равным ОЕ '). 1 Выясним теперь, сколько раз — часть масштабного отрез- 10 ка Г)Е укладывается в остатке ЛХЛ>Х.

Снова могут представиться два ( тучая, "1 1) — часть отрезка ОЕ укладывается в отрезке №~Х целое ьв 1 число о) 1»к) с некоторым остатком РЛХ, меньшим — части от- 10 резка, ОЕ (се. рис. 2.2). В этом (луч и". рациональное число ао. а) представляет собой рс:)ультат измерения пп недосптпаку с точ- 1 пастью до —. 10' 2) — часть отрезка ОЕ укладывается в отрезке Л ЛХ целое 1 Т 10 число а) + 1 раз без остатка. В этом случае рациональное число ао.,а) также представляет собой результат измерения по недо- 1 1 с)новаку с точностью до —, ибо — часть ОЕ укладывается в и)' 10 1 отрезке №ЪХ о) раг) с остатком РЛХ, равным — части ОЕ.

10 Продолжая неограниченно ука:)анпые рассуждения, мы придем к бесконечной совокупности рационазьных чисел: (2.1) ао', ое, а): ° ° ~ ое. Ю)оа . ап, ° каждое из ко) орых представляет собой результат измерения отрезка ОЛХ по нег)оспгаянку с соответствующей степенью точности. Вместе с тем каждое нз чисел 12.1) может быть получено пос))едством об))ывания на гоств(.тствуюшем зна~~ б)ескг)нечко<1 десяти (но(Х дроби 12.

2) а(ь о)оо... о,„... Указанн)и'. Выше ра('суисдения применимы и для глу')ая> когда точка ЛХ лежит левее точки О, толысо в этом (лучае все чи("(а 12.1) н бес<соне иная десятичная дрооь 12.2) будут иметь от))ипате.лысый зе(ак. ') Конечно. на практике во втором случае пропесс измерения счита(от законченным и ггпвагак)т д.)ину отрезка ОЛХ равной ое + 1.

Однако нам удобсн е <в пенях единообразия) вес(и измерения строго по недостатку, чтобы и в этом случае получить остаток ("> (1) и иметь возможность ирода икать пропесс измерения. Г:1. 2 ТЕО1'ИЯ ВЕЩЕСТВЕН11ЫХ '!ИСЕЛ Таина< Оора)ом, мы установигп1, что 7юс1)едсгпвом о7<исннл<4)ео не<ми прт1есса <гзмер<:7<ил отрезка ОМ ля)бой точке М числовой оси можно шгставить в со<)и<ветхи)вие вс)сгг<нсг определеннупг <)есгкс)7<еч<<унг десяти чную дробь. Итак, мы видик<, 1то Описхип1ып Выше.

Проц<.сс пчаи)ре.ния произвольного отрезка ОМ чи<)лавой осп при помощи масштабного отрезка, естественным образом приводит нас к рвссмотреншо чисел. 711)едс771<)вимь<х в виде с)с<стас)вечна<а десягс)и"<нь<х дрсгбей. Вм<к;те с тем каждая бесконе шая десятичная дробь (2.2) полностью характеризуется бесконечной совокупностью (2.1) рациональных шсел. приолижающих эту дробь. Конечно, опнсапный вылив процесс и )мерения отрезка ОМ можно видов)меннть так, что он буде< сй)иводи<ь к расск<огрению Оесконечных двоичных дробей или к рассасотрепи)о бесконечных дробей в любой другой системе счисления.