В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU), страница 5

Заметим, что движение по закону д = Л соь ь51 в механике называют гармоническим колебанием,. Й 2. Мгновенная скорость и связанные с ней новые математические понятия 1. Пусть функция д =- у (57) представляет гобой закон движения материальной точки по оси Оу. 1ля характеристики движения важную роль играет понятие средней скорости. Вычис51им сре;ЕнкЕк1 скорость 1571,,1вижущейся точки 'за нрохсежуток времени от х до х+5.ех, тле х фиксированный момент Времени, 52 х — некоторое приращение времени. Поскольку в хюмснт времени х движущаяся точка находится на расстоянии 1(х) от начала отсчета, а в момент времени .г, + е.е.г, -- на расстоянии ) (х+е)ех), то путь ьед, 1~ройленный точкой за время еех, равен ех у = ((х+ Ее:г) — 5 (х). Поэтому средняя скорость а„р равна -'~ д 5'(55'+ -~ х) — 5'(х) и,р = — ' а 55.

Ьх Так как момент времени х фиксирован, то из последней формулы видно, что иср является функциси аргумента Ехх. Для характеристики неравномерного движения, наряду со средней скоростью, большую роль играет понятие мгнове717115й скороснги В данный мом(1е1т Времени х. Мгновенной скор75ствю (или нросто скоростьк5) в момент Времени х называется чис:ю, к которому приближается значение срелней скорости 5" (х + .Х х) — 1(х) иср = .Тх когда промежуток времени Ех х стремится к нулю.

Физическое понятие мгновенной скорости является исгочником важного математического понятия производной. АбстраЕируясь от конкретного физического смысла функции у 5 (х), мы будем назь1Вать 7ФОВ;5воднои этОЙ фу е1кции В фиксированной точке:г предел, к которому стремится дробь — ' Ъд .1 Х Лх -~- .Ь х) — 5'(х) при Ь х, стремящемся к нулю. ..'5 Г ! 2 7ИГНОВЬННЛ51 СКОРОСТЬ Операцию нахождения производной принято называть с)7!Я>сре717)нрован7!слс Производная функции у = «(х) в данной фиксированной топко обозначастся символом у'(х) или !'(Х).

Используя известный символ;!ля обозначения продела, можно записать «(х) = 1пп — У = 1ш1 ໠— 7О -л77 Н»-50 .л» Рассмотрим некоторые примеры. 1) Вычислим мгновенную скорость материальной точки, па- дающей под дсйствисм силы тяжести. Поскольку закон движс,- ния этой точки опредслястгя функцией Я = б12«2, то путь Ь Я, пройдс11пый точкой за промежуток врсмсни от 1 до 1+2:! 1, раасн э(с-с-17) ь'! 1 ~1 1 я(~1)2 2 2 2 Поэтому средняя скорость за тот жс промежуток времени равна 'осР:: Я1 + 1з 1 ° Л! 2 Слсдоватсльно, мгновенная скорость н в фиксированный мо- мент времени 1 равна с = 1пп = 1пп (»1 + — Ь !5 С5 Я Н7.-5О Ы Л1- О 2 Фактически мы вычислили производную функции Я = НМ 772.

2 так что мы можсм записать У = яй 2) Вычислим производную функции у = х", где и -- цслос положительное число. Фиксируя х, и беря произвольное Ь х, по- лучим, используя бином Ньютона, Лу = (х+ 7."1х) —;г," = 7гх" слх+ ) х,"' (глх) + + (2.'1х)". 5 У Поэтому средняя скорость — ' изменения функции у = «(х) Лх на у !астке от х до т, + 2."! х равна Лу и ! И(п — 1) И2 ° .Л» 2 Слсдовательно, производная в данной фиксированной точкс х )эвона 2/ .= 11п1 712; + х (с1х) + . -7- (сзх) ~ = — их ах .50 1 2 л)ы видим, что для вы !исления производных фундамссггаль- ную роль играет понятие продела функции.

Уточнение этого по- нятия в порву!о очередь связано с необходимостью более дсталь- НОГО 15ыяснсния самоГО пон511ия функции, псрсыснной всличиыы и всщсствснного числа. нгкдвлгиткльнык свкдкния гл. с 2. Сс>й >ас мы )бс>димся, что В про>>скх>с> Вы сислс>ния с>роизводных гй>ос>:т Йп>пх функций возникаю> новьк. матс;маги"кс:кие вопрос ы. Займемся вы с>сслс >с>сс и производной функц>си у = 8)п:г.

Фиксируя х и беря произвольное Ь х, получим Ьс> =- Вш(х+ схх) — вшх = 2сов (х+ — с) Вш 'хх > ..х.х 2 ) 2 Отсюда ху С' ."ххй вта1Ь.х,>2) — = СО8 (и + — ') .Ъх > 2 ) 1Ь:хс>2) "1акпм образом, для вычисления производной функции у = вшх в точке сг, нужно найти слелуклций прс дел: 1ПП вЂ” ' =- 1Ш> ~СОВ (Х+ — с) ' ~ . С1.1) Ьу . ~ с' ~ах> 8>В1.Хх/2)1 и —,о хпс> ах->о ~ с, 2 ) 1-~ь>с>2) Естеств~вне О>кидать„что с>ри фикс:прованном х 1>ш сов ) х+ — ') = сов х. хх > (1.2) Ьх — >о >, 2 Однако не всякая функция у = ~(х) обладает свойством 1>п> 1 (х+ — х) = 11х). Фактически это свойство означает, что когда аргумент функпии сцх'мится к числу х, то соответствующее значение этой функции стремится к числу )1х). Функции. обладающие таким свойстВОм„называ>Отса >сегсрерыс>>сыми 1В то'скс> .х).

ПОнятие >сег>рерыопостсл функции является одним из важнейших математических гк>нагий. Для вычисления предела 11.1), кроме предела 11.2), нужно вычислить еще предел 8>В1 ъ х,>2) 11.3) н ,о 1.~ х/2) Этот предел играет важную роль в математи и:оком анализе. Его часто называю> ссерсгьсм зим>с ошсвл>игьсм»1>ссс)с>>сом. ДоказыВас'гс>я, что это> с>редел равен сдиницс, и ссоэлохс) прсдел 11.1) равсьп сов:г. Итак, 18ш:х) =- совх. В качестве второго примера вычислим производную функции )) = 1ояь х.

Фиксируя:х > О и беря произвольное Ь:г (тн>кое. что х:+ Ьх, ) О), получим с> )ойа1х + с-> х) Мь х )оаэи (1 + ) .хх > мгновннняя скорость 1г Отсюда ,—" =: —,' !.ь4! > — ":) = -' ~ —;г >.,4! -,- =")] = -' !.ьф !- — "') и]. Таким образом. для вычи>ления произво )ной функции р = = =- 1(>яп л к в точке ш н) жно найти пред!>л "'" И= ""' —.! .~(1+ —:я)Ь1 !14) рассмотрим предел при:г — > 0 выражения, стоящего в квадрат- >>в>х скобках. Он свод>гуся к праде,т1 11п>1(1 + 1>) >] (г>ри Ь. = — ] .

ь >о >>/ Этот предел также играет важную роль в и;шематическом ана- лизе. Его чистО называ>от 6>по7>ьсм авмечп>пельРГы>м 1>7>сделплт. Док>гзь>вается, >то этот предал супц>гтв)ет. Сп>д)я ЭЙлеру '). число, равное этому пр! делу, обозна гак>т буквой е ")! т. е. 1пп1(1 + 6) > >] = е. (1 5) Ь вЂ” >О Вернемся к вычис >ению предела (1А). Аргументом;п>гарифма г> г'> л. 1! "Ф'! >та(>4! '! ' »' ~(>Ь вЂ” ''>' ) ': »'» »Ь '. согласно (1.5), к е при >ля — > О.

Если логарифмическая функция Ь я1 —.1 ° >! «, ы.'6» —,'> ):! «!>к г«а* — > О. Таким обра:юм! для нахождения предела (1А) нужно обос- новать ггепрер>,>вн!к:ть ло>арифми'и;ской с]>)пинии и использо- вать предел (1.5). Предпола>ая, "по это сделано, мы получим, 1 что >йк.дел (1А) равен — 1ойа е. Р)так, (1!>Йвш) = — 1!>я, е.

! 1 Вд! сь мы не будем вы пилять производных других простейших элементарных функций: 17 = соки. д = Фя!г, 17 = с1яш, >7 = = >геши аз у = агссов:г, у = агс1я т, р =- агеева ш, )7 = ат и р = ло, где ст —. л>обо! число. При вычислении производных этих функ- ций не в(х>никем>т никаких новых тр)дност>Й. к)к>ме )казани»х ') Леопард Эйлор (1707 — 1783) — великий математик, .член Петербургской Академии паук, большую часть жизни провел в!'осоки, по происхождения> п>вейпаре>ь >) Н 6 16 гл. 8 будет указав способ вычисления числа е с любой стопенью то шостн.

Там же приведен рсэультат вычисления числа е на злсктропповычис>!!гольной маш>шо с точностью до 690 знаков посте запятой. пгкдвягиткльнык свкдкния гл. ! Вып!е. Имс'нно, для Вы'сисип'ния щ)оизводных Все)х !!рос:тс)йтпих элс'мс'нтарных функций потребуется лишь их вепре-рывносгь и два замечательных щ)вдела. Приведем табл!сну щ)отлзводных простейших элементарных функций: 1'.

(х, )' = оха ', о любое чисти). 2'. (1оа, х)' = — 1ое, е. в частности. если а, = е, то (1оее х)'=-. 3'. (а")' = аг 1оае о,. в частносгг)с. если г) = е, тс) (е")' = е". 4'. (вшх)' = сов х. 5 . (созх)' = — агах. 6'. (!ях)' = 7'. (сийг'х)' =-— ма х 8'. (агсзшх)' = уг1 — х- 9'. (атосов х)' =— )гг! — х) 10'. (агс;13х)' = 11". (е)гсс)1й х)' =— 1,. г) ' 3.

Для вы пиления производных широкого к„)асса функций следует присоединить к указанной выше таблице щюизводных правило диффггретяироьтпсия слооюной функции, а также правила г)тзффсзрезтсцтлроватссгя суммы., расли)сти. тгроияведетп)я и част)иного функций. Сфс)рмулируем правило диффс рс нцирования с тожной фушсцшз у = ! (х)„где) х' = ср(е). Для тсахозюдспсия герои))вод)той у'(Е) слооютсой функции у— = т'[у)(г)] по а1)гуме)тету ! в даннг)сл тиочке Х следуетп: 1) вычислиттз производтсую ф(1) ф1гтскции х = у)(1) в точке 1; 2) вычислить тсроигзвг)дтсую у'(ггз) футскс!итз у = 1(ггз) в точке х, где х = ср(Х): 3) тсвремтикяситпгь ттказглтпсыс производтсыс, Таким с)браним, преп:)водная с;южной функции у = г' [у)(с)] может быль ттайдетта по форм! ле у(1) = 1'(гг )р (е) .

Сле д1 ющие рас с; ждс ния раз ьясняют сформулированное правило. Придадим аргументу 1 в точке 1 произвольное приращение Ы ф О. Этому приращению соответствует приращение г').г = ср(8+ ь) 1) — ер(Е) функции х = ср(!). Полученному приршцению с)гг соответствует приращение. Ьу = 1(ггз + скх) — 1(х) функции у = 1(гг) в точке х. Опуская случай с) х = О, рассмотрим отношение .Ху Ху.кх Ьгг Ьт: Ь мгновнннлн скорость 1г Поскольку 1пп —" = с>) (1), 1пп — ' = 1' (х) и из сущсч;твования Ьх > ° .'.хи > ЪС 'О 'х> ПС вЂ >О -'хх первого из этих пределов ясно,что при с.'>б -> О и с">х -+ О ).то 1ш) — У суспествует и равен ~'(х)ср'(г), т. е. у'(1) = 1'(х)ср>(с). стс «О >хе Привсдем тегнрь правила дифференцировашля суммы, разности, ссроизвсдення и частного (в предположкенш, что и(х) и и(х) имеют с>роизводные): [сл(х) х й(сг)) = и, (х) х и (х), [и(х)и(х)[ = и(х)и (х) + и (х)и(х), ) с в(х)~ к'(с)и(х) — и(х)и (г1 с>(х>) ~ с>(с;) Пока>ксм, на~»сьсс)р, как вю>кно вынес:ти втор>ю нз этих формул.

Прпдадим аргументу х произволып)е приращение с.г х ф (), которому соответствует приращение со у функции у = и(х)и(х) с> у = и(х + Ь сг)и(х + д х) — и(х)и(х) = = и(т+ с'.>сг)[и(х+ слх) — и(х)[+ с>(х)[и(х+ с.гх) — и(х)[ = = и(х+ сох)ЬО+ и(:г)гви. Таким с)бра)с)м. сху Ь и с> и = и(сс: + Глсг) — + и(х)— Ъх '' '' Ъх Ьх Ьс» ° Ье Так как существуют пределы 1)ш — .= и (х) и 1пп Лх — >О л х Лх — >О > сс) и'(х) и из с:уществования первого из этих пределов ясно. что 1пп и(х +,Ьс>)) = и(х).