В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU), страница 10

10" )л Свойство транзитияиос<ил -)яака =, утверждающее, что из а = Ь и Ь = = с следует. что а = с, сразу вытекает из нрааила сравнения вещественных чисел. ТЕОРИЯ ВЕЩЕСТВЕННЫХ '|ИСЕЛ ГЛ. 2 Покажем, !то для любого н(инзред тзяп|ого положительного рационального числа е, начиная с некоторого номера и, спра- 1' ведливо неравенство — < е. В самом деле, каково бы ни было 10» )>ациона.|ьно(з чи( |о е ) О, пай|лет(»| >!Ншь конечное чи(и!О нат|- 1 ))а>1ьных 'плсРл, нР 1ц>РВосходящих чи(гзг) —. ПОэтом(':!ип|ь для кон("!ного ппла номеров 7| справедливо н(равенство 10' <— и 1 ИЛИ вЂ” ~) с.

З(Л51 В(х'Х ж(З ОСТйЛЬНЫХ НОМ( ))Ов П ('П))авЕДЛИВО 10 1 ооратное неравенство — < е,что и требовалось дока ать. 10 Таким образом, мь| приходим к (щедующ(му уп>(зех>гн:ден(1>о: дл>я лн>бого везцесп|венноги числа и а для лн>6иго наь ред взятого полооюнтельпого раг)нонаи!7»7(ого чнела е найдупи|я два рац|юнальных га(ла и| и, гтг токае, что о| ( а ( ог. пуз|чем (12 — С)1 ( Е. Неравенства (2.5) позволяют утверждать, что рациональное 1ИС„Н> ав, а|агав .., ив нуно>щ»наР1 РРЩ(СТВ(ННО('.

Ч1ПЛО а С '|ОЧ- 1 пастью до —. На практике вс(тда имеют дело с приближ( иным 10» значением вещественного числа, заменяя его рациональным чис,том с т)>еоуек|ой ст(.пенью то и!Ости. 5. Множества вещественных чисел, ограниченные сверху или снизу. В этом пункте мы рассмотрим произвольно( множес|во В(щественных !Нсел, содержащее хотя бы Одно чи(що'). Это множество мы буда| обозначать символом (х). Отдельные чи(и!й, Вход||щие В состйв множествй (7:).

Оудем нйзывать элементамн этого множества ). Определение Х. ЛХнон(ветви ве|цественных чисел (:г) нлйытзеп|ся ограниченным сверху (си и,,з у ), если еу|це(|авует такое вез»есп!венное чнсло М ( число т), что наине дьи|,злеменп| х м>зожеез>|ва, (х) удивлетгиряет неранена|7|ау х ( (ЛХ (х ) )гп). При этом |и(|то ЛХ (чи(|и) т) нанывается вергней (н(зон:ней) гранью множества (х). Конечно, .Тюбое ограниченное сверху множество (х) имеет бесконечно много верхних гран( й. В самом д(ле, если вещественное число ЛХ верхняя грань множества (х), то любо( в(чц(- ств(знпо( чи(ло ЛХ'"', польше(..|и(|лй ЛХ, так~С яв:!Тнтс|! В(й)хн(11 г))щзыо мно?КРстВа (х).

Ан>ьтогично(з ,'заме 1ани(', мО?кно сд(лать В отношении нижних граней ограниченного снизу множества (х). >> ) Такое множество обычно >заза>вюот ненусты>к ) Отметим, что ванятке множества н его элеъннта относится к начальш(м нонятням (см. сноск) >) на с. 20).

ввщннтввнныв числя Так, например., множ('етво всех отрицательных вещественных чисел ограни н'но евс рху. В качс"ств(«верхней грани ЛСХ такого множе(тва можно в ппь любое неотрицательное вепп етвенное пило. Мпожеетво веех целых положительных чисел 1,'2.3,... Ограничено (нн)у, В нансене нижней грани этого множее)ва а1О>кно В'15!ть люООР Вс'п(с'етВРнно(' чи((ло 'пл, удОВЛРтВОр>1ющРР нерявшн:тву т < 1. Еетественно, во )никнет вопрос о существовании нопменьтей из верхних граней огранич(шн)го ев(рху мполцетва и т>ибольгией из нижних граней ограниченного снизу множества.

Определение 2«. Е4аглменг»г(лая, пз вес(г, верхних грпгле(й ограниченного сверху мно;ж>еегпка 1х) но„лыса!ется т о ч и о (л в е р:е н е й г р а н ь ю этого мнаж>ес(псш и обозначиалпея еглмсголом и = вщ)1х) Наг!болг»плоя, из всех ни(ж>нглх граней ограниченного снизу лоно:ж>еегпьа 1х) назывоетея, т о ч и о й н и (зю н е й г р а н ь и) зьи>го мнозюеетпво, гл, обоз>(ачоетея енмоолом х = 1НЦх) г). Определение 2 можно сформулировать и по другому, а Икн)НПО: !глез!о х (чг(ело х) называется точно!1 верхней (п>о«!ной гвкясней) гр(лглгио огроютттого сверху [епглзу) мги>жестки 1х), если, вьлгголг(еглы, аледугог(1)ле два треб(нгапгля: 1) каждый элемент, х мно;жеепгоа 1х) удовлетвс>ря(пп неравенству х < х (х > > х), 2) каково бы, нгл бгнло вег(1еггпвеглглое тело т'.

мел(г тее х 1больплее х), глайдегглея хоп>я бьл один, элема(пг, х миоэн:еетоа 1з:), удовлетворяюгцглй нераоенотву х > э 1х < х ). В этом опред(ленин требование 1) означа(.т, что чи(шо У анис. !а х ) являетея одной из Верхних 1ппжних) грагн;Й, а треоованнс '2) говорит о том, что эта грань является н(и!меньшей 1'нагл; большей) и уменьшена (увеличена) быть не может. О'и'Видно, '110 у множ('етва ВОРх 0 1риц«ив«1ьных Вещ('- (т!'ВРнных чи( ел еущ(гетВ)'('т тОчная В('рхня51 гран! '1и(11О нуль, причем это число не.

прпнадлезж>гпп указанному мио:ж>ест(лу. О (евидно также, что у множества всех целых поло>кигезьных чисел 1, 2, 3.... существует точная нижняя грань х = 1, которая ггй>(лгладллеэн.глт указанному множ>ееп)ву 1Т. е. является н(>имтльгипм злемшппом этого множества). Таким образом, точная верхняя 1точная нижняя) грянь множ(- ства мож(т как припал,лежать, так и н( припад.п«жать этому множе( тв). ) апр — первые три буквы .)атинского слов,) апргепшш 1«супреыуы»). которое переводится как «наинысшее». ) шу — первые три буква! латинского с-шва шбпшш 1«5>нфи»(у>г»), которое переводится как «наинизшееы ТЕОРИЯ ИЕШЕСЛГВЕННЫХ '!НСЕЛ ГЛ.

2 Существование 1 любого ограни !енного (В(грх.) (сниз) ) множесгва точной( в( рхн('и ()очноЙ нижн('и) ! 1п!Ни не явля()тся 0 1(- видным и требует доказательства. Докажех( следт10щу)0 осноопуп) т()оре:!у. Теорема 2.1. Есг)п, мноэп)естоо оещгстоеннь(х чпсгл содероюпт хотя бь( одпн элемент п огрпнпчено сверху (снпгу), то су(цестеуелп веьйес(поенное тало х (чпсло х), ьоп>оря)е являет; ся 1>и> Гной оейхтней (точной н>июней) гртгьп> эо!ого мно(асесгвоа.

Д о к а ! а ! е л ь ( ! в о. Л1ы остановимся лишь на доказате. !ьств( (упнствования то ппп( в()рхпей Г1)ани ) л)ооого Огршп)- ченного сверху мно?кества> ибо существование точной нижней грини у,побого ограниченного снизу множества доказывается совершенно аналогично. Р(так> пусть мнО?кество (2;) ОГрапиченО сверху, т. е. с1чц('ствует такое в()щественно( число ЛХ, что каждый элемент х множества (х) удовлетворяет неравенству х < ЛХ.

(2.6) Л1огут представиться два случая: 1'. Среди зл(ментов множества (х) есть хотя, бь( одно неотрицательное вещ(.ственно( число. 2'. Все элементы множества являются отрицательными вещее!ивиными чи( !амн. Эти ("!Гчаи х!ы расс>!игрим О!де.)ьно. 1'. Рассмотриы лишь неотрицательны( вещественные числа. входщцие в (остав множества (х). 1хажг(о( пз этих пн:ел представим в виде бесконечной десятичной дроби и расом(прим целые части этих десятичных дробей.

В силу (2.6) все целые части н(' п1к'ВОсходят 'пп21а ЛХ, а НОзтОК)1' найдется п(гпболь(ппя, из целых (аст(й, которую мы об(жначнм (ер(з Уа, Сохраним среди неот1пщате51ьных !Нс('.л мнОж(х:тВа (х) те, у кОТОрых ц(п!а)1 часть равна хо, и отброс(лм все остальные чис.!а. У сохран(нных чисел рассмотрим первые десяти шые знаки после запчтой. Наибольший и ! этих знаков обозначим через х!. Сохраним среди неОтрицат()л!,ных 1ис[ь! хп10;к()стВВ ((Г) т(, у ко!.Орых ц(лач часть равна хо, а первый десятичный знак равен У), и отбросим все Оста.зьные ч)кг)?1, У сохраненных !Исе)1 рассх!Огрих! Вторые д(сятичньн знаки пос.п !анитой.

Наибольший и! этих знаков об(ыначим через хг. Продолжая аналогичные рассуждения да.!ее. х!ы НО(2!едОВате)!ьнО (яц)еде:1им дес5!тичные '!Инки некотО- ро!'О Вещ('стВеннОГО '1исла х: !О. !1!2 . Хп Докажем, что это в(щ('ственпо( чи(що У и явля(тся то ппв( верхней граньк) мнол(ества ((Г). Для:этого достаточно доказать дво, утпеер?>сденпя: Ц что каждый элемент х множества (х) удовлетворяет неравенству х ( У; 2) что, каково бы ни было веществ(нно() чн((!О х', )н)ньше(' У, найдет('я хотя бы Один зл()мент х множества (х), удовлетворяющий неравенству х > (Г .

вьщиствгл!Ныи числя Сначала докажем йгг)о)ерэ)сденнс !). Так как х неотрицатсзьно, то любое оп)рн))г)п)елаи!!)е пило х из множества (х) заведомо удовлетворяет неравенству х ( У. Пусть х = хо.х! ... хп ... лк)бое иго!прил!а)г)ельное пион), входящее в состав множества (х). Предположим. что это чигло х не удов и гворяет неравенству х ( х. Тогда х > х и по правилу сравнения найдется номер )с такой, что хо = Уо, ....

хв ! — — .г! 5, х),, > Уя. По после))- ние соотношения протнворе )ат тому, что в качеств!" У),. берется и и и б О .,! ь ш и й из д!)С5!тичных энаков х), т!)х э:имен)ов х, у которых ц!'лая !асть и п!'.рв)и. (5! — 1) знаков поет! за~ятой соответственно равны УО,:г!, .... х)„. Докажем тши'рь 1!тверэкден!)е 2). Пусть х' = х)0.

х'!х! ... ... х'„... — произвольное вещественное чи)шо ), меньпис х. Тогда в силу правила сравнения втц! Ственных чисел пайд! тся номер и такой., что ) ,) То 5!)О ))! Х!" "Хп..! — Хп — !" Хп ~ Хп )2 !) С другой стороны, чи)шо т мы строили так, что среди элементов аШОжсетна 1Х) ПайДСтСЯ ЧИ!)ЛО Х = Хо. Х!Хо ... Хп ..., ЦСЛВЯ часть и первые н десятичных знаков у которого т1- же, что и у числа х. т, е. !О ХО ° У! Т! ° ° ° ° )п-.! )п-! ° Уп Хп.

Сопоставляя (2.7) и (2.8), в силу правила сравнения вещественных шсел полу п)м, что х' ( х. Угпверэ)оден!)е 2) докалано. Таким ооразом, для случая 1' существование точной верхней грани доказш!О. 2'. Аналогично докаэываетс5! существование точной ворхНЕй ГраНИ И ВО ВторОМ ! )уЧаЕ, КОГда ВСЕ аЛЕЛ)ЕНГГ)Ы, МНлаяосства )х) являю)ася, о)прнцотельны)ил), ве)цес)пвеннылин снслалп!.

В этом случае все элементы множества )х) мы представим в виде отрицательных бесконечных десяти шых дробей. Обо плачим через Уо нанлнсньт1ро из целых частей этих дробсй; через х! — Нанмень1а1п! и! первых десятичных знаков тех нз этих дробей, у которых целая часть равна хо! ч!роз УВ . нона!еньтнй и.! вторых десятичных )иаков тех и ! этих дробей.