В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU), страница 6

то 1ш> — ' существует н равен Ьу Пх — >О свх->О -> сс) и(сг) и'(х) + и(х) и'(:г). Рас)сьсотрьсьс несколько примеров применения указанных щ)авил. 1) Вы сислим производнун) функпии у = си(х). где с --. некоторая постоянная. Легко проверить, >то производная постоянной равна нулю. Поэтому по формуле дифференцирования произведен)ся по>>учим 1си(х)] = с)и (х). 2) Вычислим производную функции у = 1и х. Так как 1в х = вш:х = — ", то по формуле лис[>ференцирования частного получим сов>:' ° > (Мн х)~ соь х — вш х(с)ов х)~ > (! я сг) сов> х сов'х ') Если знаменатель дроби, ссв>ок)с>сот> предел, стремится к нуля>, то и числитель втои дроби стрем>пся к нуля>. гл. ! ПРЕДВЯРИТЕЛЬПЫЕ ПВЕДЕПИУ! 3) Вы гислим производную функции. описыванмцей гармони- ческие колебания, у =- Асов(о)1+ б), где А, о) и Л вЂ” постоянньпс Будем рас:сматривать эту функцию как сложную функцию ви- да у = Асов х, где у = о)Х+ б.

По правилу диффс ренцировапия <ложной функции полу гим у'(Х) = (А соя х)'(а)Х+ Л)' = — (А ейпх)а). где х = о)! + Л. Поэтому у'(1) = — Аы ьзег(о)! + Л). 4) Вы'еис.гим гй)оизводегусо функпиге у = а"с в . Будем рас- СМатРГЛВатЬ ЭтУ ФУНКЦИЮ КаК СЛОжНУЕО ФУНКЦИЮ ВИДа У = От, где х = агс!а 8. По правилу дифференшй)ования сложной функ- ции получим т!'(1) = (а»)'(агс!я !)' =- (о» 1ои, а) ( ',) .

где:г = агс)!»Х. Поэтому аттса с)< о*"' 1оъ,, о ь а ! -1-Р Сформулированные вьппе правила лифференшйювания и табли- ца производных представляют собой о< нонной аппарат той части матсматичес:кого анализа, которую обычно называют дифферен- циальным исчислением. Таким образом, одной из ва)кных за- да г дифферРещиального ис еис"ЕРния являРТ<:я Обосе<ОВаниР Вс:Рх формул таблицы производных и правил дифференцирования суммы, ра:)ности, ггрогг<эведенегя, частного и <ложной функции. 4. Выясним г< ометричс ский смы<л производной.

С этой целью рассмотрим график функции д = Х(х) ') (рис. 1.2). Пусть точк~ ЛХ на графике фуегкпегег соответствует фегксеерове)не!ох<1 зпачс.пню аргумента тц а точка Р - - значению х+ Ь:г, где )'с х— некотор<н' приращение а1пумснта. Прямую МР буде'м наэывать секуи)ей. Обо:сначим через <с)(<'.ех) угол, когорый абра:)уст эта <х)кугггая < Осг,ео Ох (Оч<;вид!го. <то этот угол ~~~~~~~ от <."Е*). К<<сати<<лат<ой к графику функции у = Х(х) о точке М будем нааъсоотпо т)ределъное )гол<к)<с)ет<ссс) секу)сей МР т)ри стпремлетсии тпочки Р к и)очке ЛХ по ярофаку (тсмссл, чтпо тпо оюе самое, при <1 х — ) 0).

Из рис. 1.2 ясно. что 1К р(<~ х) = —, = —, ет)тт ь у Х(х э ь») Х(») тгт'Л' .'Х .е "х» Так как ~)ег <л х — ) О <х)куюая ЛХР ггер< ~оди~ в писатель!с) го, то 1)ш !К р(Ь т) =- !К<до, ໠— )О ) Графиком фупкции у = Х(<))) с<а<<во)сит<си исомстри юкос моста сачок плоскости, для каждой ил которых ордииата есть зиачепис у этой функции, соответствукццсс абсциссс;с). 1 3 ВОССТЛНОВЛЕНИЕ ЗЛКОНЛ ДВИЖЕНИЯ НО СКОРОСТИ 29 где усв — угол, который обра1з)ч.т касательная с осью Ох. С другой стороны, 11п! !КР(ЬХ) = 1111! «" '")-?'х) =«(х).

Лх — ~0 Лх — ~0 Х х Следовательно, «'(х) = !а1ов. Тангенс угла наклона прямой к оси О:г называют угловвсм кг!оффицивипгом, этой прямой. Таким образом, прои:!впдиал ~'(х) раю!а угловому коэффицивпп!у косатвлмаой к графику фуики!ги у = «( с) в точка ))Х. -'гйх) — «(х) В !С!Лх) х х+Лх х Ряс. 1.2 В 3. Задача о восстановлении закона движения по скорости и связанная с ней математическая проблематика Рассмотрим <пп дуюп!ую физическун1 задачу. Пусть для любого мейн;нтй времени * зйдйнй и!новеннйя скорость «(:с) движущейся по осц Оу материалы!ой точки и и;свестно положение ув этой точки в начальный момент времени:г =:св.

Требуется нййти эйкен диня<ения этой то !Ки. Поскольку мгновенная скорость «(:с) является производной ф) нации у = ?' (х), <1пределя!оп!1й зйкоп движс.ния т!атерийчьной точки по оси Оу. то зада !а сво пися к разысканию по данной ф) пкцип «(с) такой ф) нкции г'(х), сц>оп:!Волне!! г'(х) которой равна «(х). Отвлекаясь от конкретного физического смысла функций «(х) и г" (х), мы придем к мйтемйтическим попгстиям гге?1вообровиоб и иеоирсдслгиосого иигпвгуала. ??с?!вообрамноб функции «(:с) писывав!пол талал функция Г(х), ийаоивводиал г'(х) кото?нгй ?савва «(х). Очевидно, что если фуню!ия г'(х) является первообразной функции «(х), то и функция Г(х) + С, !де С вЂ” любая постоянная, такж! яв„!яется п!рвообра:!ной функции «(х) (ибо производная постоянной С рйвпй нулю).

ГЛ. 1 НРЕДБЛРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИ1! Можн<2 доказать, лто две любви' пс.рвообразны<л одноЙ и той же функции |(х) отличаются на постоянную. Таким образом. если функция Г(сг) является одной и:1 первообразных функпи!л )2(х), то леобоя пер<1<!обри<лис!я функции |(х) име< т вид г'(х) + С, где С псютоянная. Сооокуппость всех нероообриань<х одной и той о<с<2 функции 1(сх) лп<зыеиется неопределесоеям ииплее1х<о<сгм от, фугсщии |(х) и обоси<о2<иется симосэлхгм ) |(сг) дх. Следовательно, если Г(х) одна н:1 первсюбразпых функци!л 1(х).

то |(х) дх = г"(х) + С. м с ~ ~ ~з Вернемся к ршпснию поставленной выше физической задачи. Интс"1х'.сую!ций нас закое! движс'.ния тОчки. Иыпоп1ей мгновенную скорость 1 (х), определяется функцией у = г'(х) + С, где Г(х) — некоторая первообра:лная функции |(х), а С некоторая пос;тоянная. Для определения постоянной С' воспользуемся тем, что у = уо в начальный момент времени х = хо, т, е. УО = ~'(:110) + С, отку;1а С = УΠ— Р'(хо) 'Таким Обралом, интересуюп<ий на<' закон движения им«' т Вид У = Г(:г) + уо — Р (<го) Рассмотрим некоторые физические и матехлатиче<1кие примеры.

1) Пусть мгновснная скорость хсап<риальпой точки, движупп-Йся по оси Оу. имеет вид |'(х) = сов:г. Требуется найти закон двигк<лния зтоЙ точки, е< <и в нач<мльный момент Вре" !они х = хо точка занимает положение у = уо па оси Оу. И:1 таблицы прои 1- водных ясно, что одной из первоооразных функции Г(<х) = сов х яв:шется функция Г(х) = Вшх.

следовательно, искомый закон движс ния имеет вид у = Вш х + С. Из у<оп!вин у = уо гйги и = хо находим С = уо — влпхо, т. е. Окончате;!ы10 ИОлу'1иы закон дВигк<,е1ия В Ви,п' у = вил<1' + уо 1 2) Найти |, дх. И:1 таблицы производных ясно, что од/! Ехг 1 ной из первообразных функции |(:е) =, является функция 1 !.хг г" (х) = агсйи х. Слс довательно, < дх = агс1й х + С.

1 ! 2 ' ' <ь В прсдыдугцем параграфе мы Выпис:али таблицу пропзводе!ых элементарных функций. Ъ 111ЫВая, 1то каждая форм<да Задгп1А О ВЫ'1ИОЛЕНИИ 1!УТИ Р'(и) = )'!х) этой таблицы приводит к соответствующей формуле ~'~(х) ссх = Р(х) + С, мы получим следующую таблицу неопределенных интегралов: !.! 1'. ~'сг! с4х =" +С (ст у'= — 1).

3'. )'ахах = "' + С. 1оя„а 4', ) вш:гссх = — сов х+ С. 5'. ) совх о!х = вш х + С. й. / '; = йх+С. О!ь' х 7'. ( .:,' = — с1ях+С. ма! х 8'. / " = агсвш х + С. с 9'. "' = с!гс!!ах+ С. / 1 -1- .с: ! Эта таблица вместс г правилами интсгриров;шпя Скотссрые здес:ь нсс и!!вводит!!я) и!!е,!!с!тс!в!тяет с:сбой важный вы си!шите:!ьный аппвй)ат той 'сс!с!ти матс'.Матяческого анв.'ша.. которую обы шо называют шсгйеа4сольпысм сссчцслюпп:м. Однако для вычисления многих неопределенных интегралов этого аш1арата оказывается недостаточно.

Во:сникает проблема о существовании первообразной (и неопределенного интсграла) у произвольной функции 7'(х), нсгпрерывной в каждой точке т,. В !шел!к!щем па!>с!г!!ссср! мы !кажем д!!угой подхс!д к задан; об интегрировании функции, который пс!!вс!ляет решить эту п!эоб!лексу.

Здесь же мы сразу отьсетиы, что существуют непрерывные (в каждой точке х) функции (например! у = совх ), первообразные которых существуют, но не могут быть представлены с помощью конечного чиссса операций сшожс ния, вычитания, умножения, дссления и об!!!1т1ования с тожных ф! нкций от про!!теЙппсх элементарных функций, перечисленных нами в и. 2 ~ 2.

й 4. Проблемы, возникаинт!ие при решении задачи о вычислении пути 1. Пусть функция 1(х) предсгавляет собой скорость движения материальной точки по оси 09. Для прог:тоты будем считать, что всг значения функции 1'сх) веотрицательны. Трс бус'тся РЛ. ! ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИЯ вычис;лить п1ть, п(>о>!денный мйтсй>ийльноЙ точкоЙ зй сй>омежуток врс)ьсс ни от:г =- а до х = Ь. ,»Ьдя реп!с>лщя зйдг! >и ') На!с)бьс)м рйссмйтривйс>'п >Й промслжуток вревн)нсл на малые промежутки. ограниченные моментами О, = дд з.

Х! ч. ХВ С . ( Ха = 6. Ест~отвеяно С;Чнтйт>н Что Пй каждом промежутке от хв ! До хь скорость «(:») меняется мало. Поэтовлу приб:шженно эту скорость можно считать па указанном промежутке постоянной и равной, например, «(хь). Й таком сеп чае путь, пройденный материальной телкой за врс"мя Са и! = 7> = хь — хь 7, приближенно равен «(хь)Ьх>н а путь Ое, пройденный точкой за время от а до 6, приближенно равен Я>7 = «(с»!)Ь:сл+ «(с!ге)т1х2+ ..

+,)(х>7)-'гс>7). (16) Естся:твенно ожидс>ть, что при умспьшепии всех промежутков времени с.'>хе мы будем получать все более и более точное значс.нсп пути о~. Точное значение пути о~ мы подучим, перейдя в сумме (1,6) к пределу при стремлении всех сд хе к нулю (пр>! этом, конечно, чис.ю с.дагаемых в сумме (1.6) будет неограниченно возрастать). Употребляя символ предела.

мы можем записать с"седук>цсую формулу: 5~ = 1ш! ~«(х!)Ьх! + «(хя)«гхв+ . + «(х )») .7)„1. (1.7) »гхс — >О П(пл этом вопрос о том. что мы понимаем под пределом н шисанной суммы, коне шо, требует выяснения. Тем самым )лы еще раз убеждаемся в необходимости углубления и р>в!вития понятия предела. В математике предел у=«(х) (1.7) н>т>ыв>>отса! 0771>ес)еле>с>сым 7ии>м:а1хслнм От с))ипкпии «(х) в прс".Делйх От а до (> и Ооознйчйется символом «(х)1 «(х «(х 1 бб «(х) »17» ь О а=хе х, хг х .! Хв= а Сумма (1.6) представляет собой сумму плоппадей пряхлоугольников. Основснплями которых сл1жат отрсг)клл саха 5! высотйми «(хь).