В.А. Ильин, Э.Г. Позняк - Основы математического анализа (DJVU), страница 7

Иными с>ловами„эта сумма равна площади изображенной нй (>77». 1.3 ст1 пепчйтой с)и!гуры (эт>! сту лп н.лйтйя фщ уй>! нй чертеже обведена жирной линией). Ест! огненно ожидать, что при стремлении к нулю длин всех отрезков С>.гь площадь ука>>анной ступенчатой фигуры будет с:трс мить! я к п.,нпцади >ппптрихован) связь агой задачи с задачей, рассмотренной в проди,су>пем пара»рафе. буде) выяснена ниже.

зАдА"1А О Вы'!Ислении 1!ути ной на черте>к(' криволинейной фигуры, лежащей под графпкох( функции у =- ) (:!3) на отр(зкс от а до Ь. Эту кринолин(йнук) фигуру часто называют краеолииейиой трапецией. Таким образом, определенный интеграл равен площади указанной криволинейной( трапеции. Конечно, проведенные вами рассуждения носят предварительный характер. В частности, гребу("т выяснения саък> понятно площади криволин(йной трапсции и вообп!с площади плоской фигуры. 2. Мы видим, что с попяти('м определенного интеграла тесно свя'.3аны дВР ВажныР:1адачи: фи'Энч('ска5! '(3адача О Вычи(г!Рни?! п> ти и ГРОМРтри (Рская задача О Вычи(В1Рнии плОП!ади плоской фигуры.

В СВя;3п с этим яВ:1яРтся Ва:кным Воп)к)с О способ)ах вы ?исл( ния определенного интеграла. Обо:!начин чсрсз Е(х>) опрР- дслспный интеграл от функции ! (х) В про?делах От о до х. т. (ь положим г'1х) Г(х) = у(х) ()х. а С гсомс!'ричсской точки )рс 0 а х хчч(х Ь х пня. этот интеграл равен площади криволинейной трапеции,лР- я(ащсй под графиком функции у — ) (х) на отрезке от а до х.

Иа рис. 1.4 эта трапеция обведена жирной чертой. Используя на- глядныР геометрические соображения, покажем, что введенная функция г'(,г) является одной из п()рвообр?)зных функции у(х)., т. (. 1.б(димся В том, !ТО гч((!3) = )'(х). Иу(>ТЬ,Ь(г н(которо(? приращение аргумента х. Очевидно, разнос!ь г'(х+('>х) — Г(х) равна площади:Заштрихованной па рис. 1.4 «узкой» криво:шнейной трапеции.

Ил(ппадь этой трапсппи при матом «ах мало отличается от площади у(х)Ь(1 прямоугольника с основанием 3А:г и высотой ! (х). Ото!ода ясно. что при малом (а х отношение Г(х -'; Л х) — г'(т) (1. 8) «1 х ма:10 Отлича(>тсЯ От ВысОты 1(:Г) ) казанногО Выпи пря?Н)угольника. Так как предел при Ь х — > 0 д)н)би (1.8) равен производной гч((г), то г' (х) = ! ((г). итак, функция Г(х) является о,!ной из пгрвообразных функции )'(:г). Следовательно, любая нгрвообразная Ф(х) функции 1(:13) имеет вид Ф(х) = Р(:!3) + С = ~(х) йх+ С.

(1. 9) З В.А. Иаьип, Э.11 Пози»к. часть 1 ПРЕДВАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИ>! ГЛ. 1 а с с «(х) с(х = О, а Ь + С = С, Ф(б) = «(:с)11х+ С. получим а Ф(п) = «(х) дх Поэтому а Формула (1.10) является одной пз основных формул интегрального ислпнщения и называется фо1»идлой ~ьнлиона Лсс>16>сис>с>. ). Эта формула сводит вопрос о вы пп:ленни опре;.зеленного интеграла к вопросу о вы сисленни первообразной (нли неопределенного инте> рала). Обоснование формулы Ньютона 1ейбница является О,'.[ной из важных зада'1 матс."ьсати*н'.с;кОГО ан>ьзызВ.

,Лля приближенного вычисления определенных интегралов существует ряд способов. простейший из которых основан на заме>ве это~о интс'.Грили су>!азой (1.6). Этн спосооы и сс>отпопн>нпс> (1.9) данн возможность приближенно вычисл>г> ь и неопределенные интегралы, и. в частности, позволяют вычисапсть первообразную любой непрерывной (в каждой точке х) функции «(:1). В качестве примера вьгпнлим площадь Ь>, заключенную между графиком функции 9 = в>пх на отрезке от 0 до л и осью Сес (рис. 1.5) е), В силу сказанного выше Ь> = ) Вш:ссУх. о ') Готфрид Виды ель:а Лейбниц — нелсецсо>й фи.юсоф и математик (1646— 1716). ") Вычис.>ение атой ила!пади средствами алел>ентарной математики приводит к болыиим >'р»зное>иы.

!тоне >но, приве)11>нн>>с> рассуждения и вытекан>п1ая пз них формула (1.9) справедливы. вообще говоря, не для всякой функции «(сс). Нетрудно убедиться в справед>псвостн формулы (1.9) для любой непрерывной (в каждой точке х) функции «(х). Тем самым установление формулы (1.9) решает проблему существования первообразной (и неопределенного интеграла) у лк>бой нщцх'рьп>ной в каж„)ОЙ '1'Очксюх функции «(;1;). Ус>гановпм теперь с помощью той же формулы (1,9) связь между определенным интегралом ) «(х) сХх> и лн>с>ой первообразной ф(х) 11>ун>сции «(х). Полагая в формуле (1.9) нос ледоВатсельно х = с> и х = б и учитывая О'зсзвиднос' из НВГлядпых и ометрических соображений равенство злк;почитнльнын зАмкчания Так как одной пз первообразных функции 1(х) = в)««х является функция Ф(х) = — сов:г, то по формуле (1.10) получим х Я1 = вщх«1х = ( — «ов«г) — ( — сов О) = 2.

о Вычп«;шм теперь площадь 52 фигуры, от«х каемон от параболы р = хз прямой, проходящей и.рез две точки ЛХ«(««„ав) н ЛА(Ь,Ь«2) этой параболы (ри«х 1.6) ). Искомая площадь 52 равна рази«х:тн площадей прямолинейной тра««сцин АМ«ЛХ2В и за«««т)диковин««ой ««и ««21«т«ок««к)>««в««лг«и««Й««««Й т1«апач)«««ц т. е. Ь Л2=- -«х 1«: (Ье -ь ае)1Ь вЂ” а) «' 2 1Ь' ч- ое)1Ь вЂ” а) Ье — ае 1Ь вЂ” а)а 2 / 2 3 6 п ,Ь) Рис. 1.6 Р «. 1.6 З 5.

Заключительные замечания Днффере««циальное и интегральное ис п««с«ения составляют основу математического анализа, создание которого является одним из ве;«нчайшнх до«г«««гке««««йг челове и'.ского 1«««зуа«а. Введение в ма«еасагику ««««н>пий переменной величины и функции позволило перейтн от реше««ня отдельных разро«пен««ых физических и геометри п.гкпх задач к создщппо общих методов решения этих задач. Развитие дифференциального и интегрального исчислений оказало огромное влияние на общий прогресс н««ук«л и техники. «1««льнейший«прогресс науки и техники тесно связан с к«атематизацией наших представлений о природе, с р«ттвиги««а«но- ') Эта задача средствами элементарной математики была ре«пена великим древнегреческим у"«оным Архимедом (П1 в.

до и. а.). ГЛ. 1 НРЕДБАРИТЕЛЬНЫЕ СВЕДЕНИУ! Вых направ:Лений в математике. з10жно с уверенностью сказать, что 1(атех()1(г)глен(ия наших пр(лдставле)ННЙ, го Лная ко:(ичс— ственная формулировка закономерностей, широкое Ллспользовапие вычислительных методов и электронно-вычислительных машин ГЭВз1) составляют основной стержень современного естествознания. Внедрение вы шглитсльных методов и исполь:!овин(ле ЭВз1, как пре)видо, снимают вопросы !ркдоемкости и шюжности Вычислшп(Й ). При этом ночника()т ц(.,)ая (х)рия математи и".ских проблем, к числу которых относятся вощ)осы разработки алгоритмов") вычислений.

( лужащнх источником составления программ для ЭВ')1, разработка проблеъ( теории управления, теории оптимальных пропессов. математической логики и теоретической кибернетики Наша дальнейшая задача будет заключаться в построении аппарата математического анализа..')Гы рассмотрим также и некоторые приложения этого аппарата к разработке численных алгоритма. Проведе)п(ое вылив предварительное рассмотрение ставит перед нами следующие первоочередные вопросы: 1.

Уточнение понятий в())цсств(.ннощ) пн)за, Лп)ременноЙ В()- личины и функции. 2. Опр()деление и развитие понятия предела функции и свя- за1шОГО с ниы пОнЯтиЯ н('.прерыВности (1)упкци11. 3. Обоснование формул и правил дифференциального и ин- те1ральнОГО ис плс;!ений. 4. Построение теории опредсле",нного интеграла как предо,за сумм специального вида и развитие методов вычисления опредсленноп) пнтс) рала.

5. Выяснение некоторых геометрических ш)питий Гплощади плоской фигуры, длины дуги и т. !(.). )) ) Современные ЭВХ! в носколько минут производят вьг(ис.(ения, д.ея проведения которых чо.ювеку потребовалась бы це. (ая жизнь. А.(горитм Гизи а|гори(Г)хе) система вычис.(гний, выпо)шяемых по строго определенным правилам, приводящая после какого-либо числа шагов к решению поставленной задачи.

ГДЙВЙ 2 ТЕОРИИ ВЕЩЕСТВЕННЫХ т1ИСЕ т1 Из элементарного курса читатель имеет представление о вещественных числах и о том, что они необходимы, например, д)(я и:)мерения отрезков н промежутков времени. Для у(лублепия нап)их п1)РдстиВПРний О Ва:КИРЙшпх матРматпчРР)их пОнятиях -- понятиях переменной величины, функции н предела требуется дальнейшее рт)вити( теории вещественных чисел. Расеи!О)1)иа(, папрпх(е1). физи «)сну !О п(Й)(гап)ш(у !О в()ли (ину время. Для сравнения между особой различных промежутков времени нам необходимо уметь сравнивать между собой веп1ественпые числа.

Иными словамп, мы должны установить правило, позволчющее выяснить, какое из двух данных веп(ественных чисел является большим. Практика последовательных изм(репий времени приводит к и('обходимостп опр(дел("- ння Оп((раций Глож('.Ипя и ух!Поженив В(".щРствРнных чисел и выяснения свойств этих операций. Отметим также, что выяснение основных свойств вещественных и«:ел необходимо для обоснования применимости к этим пп(лам правил элементарной алгебры. Й 1. Вещественныо числа 1. Свойства рациональвь(х чисел. Напох(ниа(. что рациОнальным числом назыВВ(11ся чи(1 !О, п1)едстаВНМОР В Вид(1 ОтношРппя дВух целых чи()е)! ). Из элРМРнта1)ногО кур)са изВест!) ны определения операций сложения и умножения рациональных чн(хп(, 1Н)авиле с1)авнения этих чнс(.л н их !Н)ест((шине СВОЙСтва.

Здесь мы персчш (им основпыс свойства рациональных чисел, вытекающие из соответствун)щих свойств целых шсел, Фундаментальную роль среди свойств играют трп прави.(а: 1) ~ ~Одно и то же рациональное число представимо в виде отноьнепии раа- 1 2 3 .(ичных целых чисел. Например, — = — = — =- ... ' 2 4 6 рл. 2 ткория вкщкствктшых чнскл п1>авила с1>авнГ ння и правила образования Г:у мь!ы и прон Сведения. 1.,Ъотзь177 двв, рациональны:г числа а и Ь связаны между собои Г>д7силт, 'и таил! 'ьо Г>дтс1см 'из пцнчг! знаков ). ( ил72 =.