X.-Физическая-кинетика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 98

хл !1х (100.10) в единицах а~(0)у(РП), где ак(0) значение критического ра- диуса, отвечающее началу стадии коалесценции. Таким образом, приходим к уравнению Иа а~(0) ( 1 1 ) Далее, введем функцию распределения зерен по размерам, у(1, а), нормированную так, что интеграл Я(1) = ) 7'(1, а) Ыи о есть число зерен в единице об"ьема. Рассматривая В = 11а/111 как скорость перемещения зерна в пространстве размеров, запишем уравнение непрерывности в этом пространстве: й+ ~ (гив) = О, Наконец, сохранение полного количества растворенного веще- ства выражается уравнением Ь + !у = сопв1 = Щ д(1) = — ) азу" (1! а) 11а, (100.5) 3 где 1) —. полное начальное пересыщепие, 1у — объем выпавших зерен (в 1 см!1 раствора).

Уравнения (100.3) (100.5) составляют полную систему урав- нений рассматриваемой задачи. Преобразуем их, введя более удобные для исследования перелиенные. Введем безразмерную величину (1) В„(!) (100.6) а„(0) При 1 — л со псресыщение 1."л(1) стремится к нулю, а критический радиус соответственно к бесконечности. Поэтому при измене- нии 1 от 0 до Оо монотонно меняется от 0 до ОО также и величина т = 3 1и т.

(1), (100.7) которую мы выберем в качестве новой временной перел!инной. В качестве же неизвестной функции в уравнении (100.3) введем отношение 519 1 1оо стлдия коллесценции Приступая к исследованию уравнений, покажем прежде всего, что при т -+ оо функция у(т) должна стремиться к определенному конечному пределу. Правая часть уравнения (100.9) имеет максимум при иа = = уу3 и принимает в цем значение у [(2/3)( у/3)'Уз — 1]. Поэтому, в зависимости от значения у, график скорости Йи' !Йт как функции и может иметь один из трех видов, изображенных на рис. 34. При у = уо = 27/4 кривая касается оси абсцисс в точке и =ио =3/2. Каждая точка на оси абсцисс, изображающая состояние зерна, движется вправо или влево в зависимости от знака производной оио]ат.

При у > уо все точки слева от иу движутся налево Йи Нт Рис. 34 и исчезают, достигнув начала координат. Точки же и > и1 движутся к точке из, асимптотически приближаясь к ней справа или слева. Это значит, что все зерна с а > иы т. е. с радиусом а > и1а„асимптотичсски [при т -+ оо) приобретали бы размер а = а из, стремящийся к бесконечности вместе с а; таким образом., стремился бы к бесконечности и общий обьем выпавших зерен йй так что уравнение сохранения вещества [100.5) не может быть удовлетворено.

При у ( уо все точки движутся влево и исчезают, достигнув за конечное время начала координат;. в этом случае д(т) — » 0 и уравнсние [100.5) снова не может быть удовлсгворсно. Таким образом, функция у(т) должна стремиться к пределу уо, причем должна приближаться к этому значению снизу; при приближении сверху (или при точном равенстве у = уо) все точки с и, > ио, двигаясь влево, все равно «застряли» бы в точке и = ио (в которой скорость ФР/йт = 0) и уравнение (100.5) не могло бы быть удовлетворено, как и в случае у(оо) > уо. Итак, должно бьггь у(т) = — [1 — с (т)], 4 (100.11) где с — + 0 при т » оо. При этом точки, подходягцие справа., все медленнее просачиваются через «запирающую точку» и = ио. 520 КИИВ'1'ИКЛ ФАЗОВЫХ ИВРВХОДОВ Г.! ХИ Скорость этого просачивания определяется функцией е<т), которая снова должна быть определена из уравнения движения (100.9) и уравнения сохранения вещества (100.5).

Вблизи точки и = ио уравнение (100.9) с у из <100.11)! «и 2 / 312 «1 <1т 3 )! 2) 2 и — 3/2 Введя новую неизвестную функцию как отношение в = двух малых величин, запишем это уравнение в форме 3 «В 2 3 3 4П)В) — — = — в — — +-зц ц= 2«<<т 4 2 «т (100.12) Его исследование, аналогичное произведеняому вылив для уравнения (100.9), приводит к заключению, что асимптотически при т — > оо функция <1(т) должна стремиться к конечному пределу 1<в = 2<<ъ 3 (это значение <1, при котором кривая зависимости правой части уравнения (100.12) от х касается оси абсцисс в «запирающей точкеа гв = ъ~З<<2). Из асихштотического равенства 0 = йв следУет пРедельное выРажение фУнкции с<т) = —. Гз 2т (100.13) При т2 » 1 поправочным членом в (100.11) можно пренебречь.

Тогда из уравнения 1<< у = хз<1х/<й = 4<<27 находим предельный закон зависимости критического радиуса от времени: (100.14) «р<,т! и) «и = ) '<,г,а) «а! В Уравнение непрерывности для этой функции: (100. 15) — + — (ии<р) = О, д~ д дт ди 1<и ОВ = —. дт (100. 16) Поскольку т = 1п хз, то условие применимости результата (100.14), выраженное через истинное время 2, есть 1п 1 » 1. Интересно, 2 <то, хотя относительное значение поправок к зв быстро убывает с ростом т и первое приближение (закон (100.14)) становится все более точным, поведение решения вблизи запирающей точки определяется именно этими поправками.

Перейдем к вычислению функции распределения зерен по размерам. Функция распределения в переменных и, т связаг!а с функцией распределения в переменных и, т соотношением 521 1 лоо стлдия колльсценции Везде, за исключением близкой ( е) окрестности точки ио, скорость о дается уравнением (100.9) ч = 27,14: иа —— — — — — — (и — -1 (и + 3). (100.17) сЛт Зп» У 2 I Решение уравнения (100.16) имеет вид е ~р(т,и) = ~~ ~ )), т(и) = / —, (100.18) — Ю ,/ е о где 71 произвольная функция, которую надо еще определить.

Мы видели, что все точки на оси и, изображающие зерна, двигаясь справа налево, проходят через окрестность запирающей точки, причем чем позднее они попадают в эту область, тем дольше они там находятся. Эта окрестность играет таким образом роль стока для точек и > ио и роль источника для области и ( ио. Функция распределения справа от точки ио при т — + оо определяется приходящими сюда из бесконечно удаленной области точками, отвечающими зернам на «хвосте» их начального (при т = 0) распределения.

Поскольку число зерен в этом распределении, разумеется, быстро (фактически -- экспоненпиально) убывает с увеличением их размеров, то функция распределения в области и > ио (вне окрестности точки ио) стремится при т — + оо к «гулю. В уравнении сохранения вещества (100.5) член Ь(т) » 0 при т » сс. Выразив интеграл а через переменные т, и (напомним, что а = и~лза~(0) = гл~е'а~(0)), получим уравнение а 4 з(0) »ге ) и' р(т, и) ди = 1, лс = (100.19) сюда надо подставить оз из (100.18) с ин из (100.17) '). Сразу видно, что выражение в левой части равенства (100.19) может быть независящей от т величиной, лишь если функция у имеет вид ~(т — т(и)) = Ае '«'~~).

Функция т(лл) вычисляется элементарным интегрированием и в результате получается (100.20) лр(т,и) = Ае гР(и), ) Мы не останавливаемся на доказательстве того, что относительныи вклад в интеграл от окрестности точки пе (в которой выражение (100.17) неприменимо) стремится при т -» оо к нулю. Г.,л ХП 522 КИПИ'1'ИКЛ ФЛЗОВ1ДХ ПЕРЕХОДОВ 3 е ил ехр( — 11(1 — 2В,ЛЗ)) 3 2зЛз (и ж 3)1Лз(ЗЛ12 — и)11Лз ' 2' (РОО 21) Р(и) = О, и ) —. 3 2 Постоянная А определяется обратной подстановкой (100.20) в уравнение (100.19); численное вычисление получающегося интеграла, дает А = 0,9ллзе. Функция Р(и) автоматически нормирована на 1: иа 3/2 — ее Р(и) Йи = / ' али = — е'117 = 1.

о о о Поэтому число зерен в единице объема ио лЛл = ) ллз(т,и) али = Ае = —. (100,22) 41 Легко найти также и среднее (по распределению (100.21)) значение и. Для этого рассмотрим интеграл ио из о Г Р(и) (и — 1) ди = е™ (и — 1) = е'~'п(т) — Ц Йт. ΠΠ— ее Подставив сюда и(т) — 1 из (100.9), получим О о — е' ~из(т) + лЛт = — из(т)е' = О. 27 ! 3 17т ] 27 Таким образом, из ио и = ( Р(и)и ели = 1 Р(и) али = 1, о о т. е. а = а (1) средние размеры совпадают с критическими.

Собрав полученные формулы, выпишем еще раз результаты, вернувшись к исходным переменным -- радиусу зерна а и размерному времени 1. Средний радиус зерна возрастает со временем по асимптотическоллу закону а = ( 1) . (100.23) 9 Распределение же зерен по размерам дается в каждый момент времени функцией (100.21): число зерен с радиусом в интервале 523 1 1О1 Рнллкохция НАРАивтгл погядкл да есть Р(а(а) да/а. Функция Р(и) отлична от нуля лишь в области и ( 3/2: ее график показан на рис.