X.-Физическая-кинетика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 99

35. Отметим, что асимптотический закон распределения оказывается независящим от начального (в момент на Оала стадии коалесценции) распределения. Р Полное число зерен (в единице объема) убывает со временем по закону 2 Ю(1) = — '~. (100.24) Пересыщение же раствора стремится к ну- 1 лю как 0,5 (100.25) О О 5 1 1,5 и 11(1) = ('~ ) ~ . Для понимания смысла этих законов обратим внимание на то, что в проведенном Рис.

35 рассмотрении общий об"ьем раствора рассматривался как неограниченный, а потому неограничен и полный запас растворенного веп1ества. В конечном объеме процесс заканчивается, разумеется, за конечное время, когда все растворенное вещество выпадает в виде одного тела. й 101. Релаксация параметра порядка вблизи точки фазового перехода второго рода Как известно, изменение состояния тела при фазовом переходе второго рода описывается параметром порядка гй отличным от нуля по одну сторону точки перехода (в «несимметричной» фазе) и равным нулю по другую сторону (в «симметричной» фазе). В У, гл. Х1Ъ', речь шла о термодинамически равновесных свойствах тел вблизи точек перехода. Обратимся теперь к процессу релаксации параметра порядка в неравновесной системе.

Равновесное значение параметра порядка (которое мы будем обозначагь здесь как 7Д определяется минимизацией соответствующего термодинамического потенциала. 1Лмоя в виду рассмотреть как пространствешю-однородпый, так и неоднородный случай., будем пользоваться потенциалом й функцией температуры Т и химического потенциала д (при заданном полном обьеме тела) ср. У., 5 146. В пространственно-однородном теле значение »1 определяется минимумом П(Т,р,ц) (термодипамический потенциал единицы объема) как функции параметра ц при заданных Т и йс — = О. (101.1) дц 524 КИПИ'1'ИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ Г.1 ХП и = По(Т, 11) + (Т вЂ” Т,) щ2+ уау4 (Р01.З) с положительным коэффициентом 5; если несимметричной фазе отвечает область Т < ТРИ то и и > 0 (см.

У, (146.3)). Равновесное значение параметра порядка в несимметричной фазе решение уравнения (101.1) - есть ~о(Х, — Х)~ ь~э (101.4) Уравнение же релаксации (101.2) принимает вид — = — 2 у((Т вЂ” Т,.)сщ + 2Ьуз) 41 или, линеаризуя по малой разности бу = 11 — 11, 4бл бп М то (101.5) Где тэ = — ус1(Т, — Т), Т < ТРР (101.6) 4 При 1 -э Оо разность б11 должна стремиться к нулю; поэтому должно быть та > О, а потому и у > О.

Аналогичным образом рассматривается релаксация в области Т > ТВ. Здесь 11 = 0 и липеаризованное выражение производной — = — 2о(Т вЂ” Т,) бу. дй ду Соответственно вместо (101.6) получается 1 тэ = —.уст(Т вЂ” ТВ), 2 (101. 7) Т > Т,. Если это условие не выполнено, то возникает процесс релаксации параметр 11 меняется со временем, стремясь к 11. В слабо неравновесном состоянии, т. е.

при отличных от нуля, но малых значениях производной д11,Уд111 мала также и скорость релаксации производная д11,Удг. В теории Ландау, в которой пренебрегается флуктуациями параметра порядка, следует считать, что связь между этими двумя производными сводится к простой пропорциональности: Ю (101.2) Ж ду с постоянным коэффициентом у (ЛД.

Ландау, И.М. Халат11иков. 1954). В теории Ландау термодипамический потенциал вблизи точки перехода имеет вид 525 1 1а1 РеггАкелция НАРАмятРл НОРядкл Пгг —— 3(Пю + сг(Т вЂ” Тп)п' + бт1' + й ( 7т1)') сВ' (101 8) (см. Ъ'г (14б.5)). Соответствующее условие равновесия получает- ся варьированием интеграла по и и приравнивапием вариации нулю. Преобразовав интеграл от вариации градиентного члена по частям, получим условие равновесия в виде уравнения 2гт(Т вЂ” Тг.)т1 + 45т~~ — 2дЬд — 1 — 2н Мт1 = 0 ттгг (для определенности рассматриваем несимметричную фазу область Т ( Т,). Соответственно появляется дополнительный член и в релаксационном уравнении: " = — ( —" — 2удЬбт1~.

д1 то (101. 9) Для каждой из пространственных фурье-компонент функции ат1(8, г) отсюда получается уравнение — — — — = — + 2уй'й . г1 бгл, бтра, 1 1 г (101.10) г11 ть ть тл Мы видим, что время релаксации д.ля компонент с 1с ф 0 остается при Т вЂ” Р Т, конечным, но растет при уменьшении Й. Наконец, если ввести в П член — т16, описывающий воздействие на переход внешнего поля (см. Агг (146.5)), то релаксациопное уравнение примет вид —" =- — "'+2уа~ 41+Ф (101.11) д1 ъ Полагая поле периодическим, 41гт — ггй Величина тю представляет собой время релаксации параметра порядка. Мы видим, что оно стремится к бесконечности при Т вЂ” г Т, Это обстоятельство имеет важное принципиальное значение для всей теории фазовых переходов. Как уже отмечалось в 1т, 5 143, оно обеспечивает существование макроскопических состояний, отвечающих неполному равновесию при заданных неравновесных значениях т1. Именно благодаря этому обстоятельству имеет смысл излагаемая в этом и следующем параграфах теория, в которой релаксация параметра порядка рассматривается независимо от релаксации других макроскопических характеристик тела.

В пространственно-неоднородной системе надо рассматривать полный термодинамический потенциал, даваемый интегра- лом 526 Гл хи КИНВ'1'ИКА ФАЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ получим отсюда соотношение дг)ь = )Г(аг, 1с))1 с обобщенной восприимчивостью (101.12) Отметим, что это выражение имеет полюс при ог = — гт„1 в согласии со сделанным в конце 3 91 общим утверждением. При ог = О, 1с = 0 опо сводится к;С(0,0) = — а(Тс — Т) в согласии с 1 Ъ', (144.8). Согласно флуктуационпо-диссипациопной теореме, обобщенная восприимчивость (101.12) определяет спектральный коррелятор флуктуаций параметра порядка по формуле (в классическом пределе йог « Т) (101.13) (д~) )„1, — — 1ш)с(~,1с)— , г Ч т-'' Напомним, что это пространственно-временная фурье-компонента коррелятора (01)(010)бг)(г, г)); средние же значения произведений фурье-компонент флуктуаций связаны с функцией (о!) ~) ми соотношением (бг) г,й) ъ ) = (2л)4д(а!+ ог')5(1с+ 1с')(й~й).

Интегрирование (101.13) по 11ог/(2я) дает пространственную фурье-компоненту одновременного коррелятора (й)(0, 0)бг)(0, г)) 1): й 102. Динамическая масштабная инвариантность Изложенная в предыдущем параграфе теория не учитывает флуктуаций параметра порядка. Поэтому ее применимость ограничена теми же условиями, что и термодинамическая теория фазовых переходов Ландау. Эти условия нарушаются в достаточной близости к точке перехода — во «флуктуационнойгг области. ') При сравнении (101.14) с формулой (146.8)(см.

Ч), следует помнить, что в последней рассматриваются компоненты разложения но в интеграл, а в ряд Фурье в конечном объеме р'. 527 динлмичвскля млсштльнля инвлгилнтпость тстз )Т вЂ” Т,~ к тсгзк при 9=0, (102.1) при Т=Т«, (102.2) причем у > О, а > О, поскольку время релаксации становится бесконечным при й = О, Т = Тс.

Представляется весьма правдоподобным утверждать, что вблизи точки фазового перехода второго рода (во флуктуациопной области) время релаксации не зависит от температуры, если измерять его в единицах те = т(0;Т), а длины 1ф изме- ') Речь может идти, например, о релаксации абсолютной величины вектора намагниченности в ферромагнетике (вблизи его точки Кюри), в котором сильные релятивистские взаимодействия фиксируют кристаллографическое направление этого вектора. В этой области кинетические (как и чисто термодинамические см. Ъ", 8 148) свойства тела могут быть описаны набором «критическглх индексов», определяющих законы изменения различных величин при приближении к точке перехода.

Оказывается возможным получить некоторые соотношения между этими индексами путем распространения на кинетические явления гипотезы масштабной инвариантности, сформулированной для термодинамических свойств в У, 1 149; о таком распространении говорят как о диыимической л«асьппгабвой ввеариаиьчыогти. Характер особенности, которую имеют в точке перехода термодинамические величины, зависит от числа компонент параметра порядка, описывающего переход, и от структуры составленного из них эффективного гамильтониана (см.

Ъ', 2 147). Для кинетических величин разнообразие возможных случаев возрастает в связи с возможным разнообразием форм «уравнений движения», описывающих релаксацию. Обсудим сначала простейший случай одпокомпонентного параметра порядка (В.1. На1рег1гь Р.С. НоЬепбегя, 1969) ). Принципиальный (хотя фактически неосуществимый) путь к определеникэ законов релаксации состоит в вычислении точной (с учетом флуктуаций) обобщенной восприимчивости г(оз, й; Т) для параметра порядка О под действием внешнего поля. Ход изменения О со временем при релаксации определяется (как это было объяснепо в ч 91) особыми точками г как функции комплексной переменной ы. Если ближайшей к вещественной оси особенностью является простой полюс в точке ы = — 1т '(й;Т) на мнимой оси, то каждая фурье-компонента параметра порядка затухает по экспоненциальному закону со временем релаксации т(а; Т).

Наряду с критическими индексами, опрсделяющими поведение термодинамических величин, введем два индекса у и г, характеризующих функцию ~(м, И; Т): 528 тл. хп кинетикА ФАЭОВых пеРехОдОВ рять в единицах т,(Т) корреляционного радиуса флуктуаций параметра порядка. Другими словами, функция т(И; Т) должна иметь вид т()с: Т) = ~Т вЂ” Т,~ "~()ст,), (102.3) где функция 1 зависит от температуры только через посредство г,(Т) в произведении Ит„а 110) = сопз1. Поскольку т, — ~ оо при Т вЂ” + Т„то в соответствии с определением критического индекса е должно быль )'(~) ( ' при С вЂ” т ОО.