X.-Физическая-кинетика (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 100

При этом температурная зависимость т отделяется в виде произведения где и критический индекс корреляционного радиуса ) (102.4) ~Т вЂ” Т,~ Но т должно оставаться при Т вЂ” т Т, (и и ~ 0) конечным. Отсюда следует, что должно быть (102.5) Таким образом, предположение о масштабной инвариантности позволяет связать друг с другом оба индекса в (102.1), (102.2). Как и в статическом случае, есть все основания полагать, что критические индексы одинаковы по обе стороны точки перехода. Дело в том, что пространственная неоднородность (к ~ 0) размывает фазовый переход в том смысле, что устраняет особенности всех величин при Т = Т, (в этом отношении неоднородность влияет на фазовый переход так же, как внешнее поле).

Другими словами, точка Т = Т, теряет свою выделенность, так что нет никаких причин для различия значений индекса е при стремлении Т к Т, сверху или снизу. В силу соотношения (102.5), то же самое относится тогда и к индексу и. Аналогичным образом можно связать с е и другие критические индексы. Рассмотрим, например, зависимость восприимчивости т от о~ при и = 0 в точке Т = Т,.

В соответствии с масштабной инвариантностью, функция ,"«(се, й: Т,) может быть представлена в виде ;« = ~Т вЂ” Тс~ зу(озто,)сг,) 1'10,0) = сонями, где у критический индекс для восприимчивости при к = 0 и со = О. При и = 0 и Т вЂ” + Тс восприимчивость должна стремиться ') Обозначение критических индексов тсрмодинамических величин здесь и ниже совпадает с их обозначением в У, 1 148.

529 1юз РЕЛАКСАЦИЯ В 'КИДКОМ ГЕЛИИ к конечному (при ы ~ О) пределу. Учитывая, что те ~Т вЂ” Т,~ найдем, что для этого должно быть Я,О) ~ "'7 ' при с — » оо. Тем самым определится искомая зависимость т от ак ° »г "7" прий=О,Т=Т,. (102.6) Таким образом, в рассмотренном случае требования масштабной инвариантности позволяют установить определенную связь между кинетическими и термодинамическими критическими индексами, но они недостаточны для полного определения первых по последним. 9 103. Релаксация в жидком гелии вблизи Л-точки Рассмотрим теперь системы с «вырождением», в которых параметр порядка имеет несколько (и) компонент Гь, но эффективный гамильтониан зависит (в однородной системе) только от суммы их квадратов. Другими словами, если рассматривать совокупность величин Гк как и-мерный вектор, то эффективный гамильтониан не зависит от его направления.

Характерным примером является чисто обменный ферромагнетик, энергия которого не зависит от направления вектора намагниченности. Другой пример представляет собой сверхтекучая жидкость (жидкий гелий), в которой роль параметра порядка играет конденсатная волновая функция гФ = = ъ~йее (103.1) (см, 1Х, 8 26, 27). Эта комплексная величина представляет собой совокупность двух независимых величин, но энергия однородной жидкости зависит только от квадрата модуля ~Б~ = пд— 2 плотности конденсата. Специфические свойства «вырожденных» систем обусловлены существованием в их колебательном спектре ветви (АГлгкой моды), связанной именно с колебаниями направления «вектора параметра порядка»; частота этих колебаний обращается в нуль в точке фазового перехода.

Закон их дисперсии можно, с одной стороны, найти из макроскопических уравнений движения, а с другой -. он должен удовлетворять требованиям масштабной инвариантности. Это позволяет, если эта гипотеза верна, полностью выразить кинетические критические индексы через термодинамические. Сделаем это на примере жидкого гелия (1».А. РеггеП, Х МейпуЬагй, Н. БсйглГй, Р. 31ИДЦБ1, Р. Бгер~а1игу, 1967). 530 КИПВ'1'ИКА ФАЗОВЫХ ПСРВХОДОВ г.! хп где Ти«Р, Т ЯР, 1103.3) скорость второго звука 1О' энтропия, Ср теплоемкость единицы массы жидкости); вблизи Л-точки можно заменить Т и Я их значениями Тл и Ол в самой этой точке, а плотность р„ нормальной компоненты жидкости ее полной плотностью р ). Нри Т вЂ” » Тл плотность р, стремится к пулю по закону р»си(Тл — Т)03 ")1!1, где о -- критический индекс теплоемкости: 1103.4) Ср со )Тл — Т( 1103.5) 1см.

1Х, 128.3)). Закон же стремления к нулю скорости иэ зависит от знака индекса ст. Если о > О, так что Ср — » оо, то и»!АЗ(ТЛ вЂ” Т)04«»У~~, ы > О. Если же О < О! то Ср стремится к конечному пределу 1папомпим, что критический индекс определяет поведение лишь особой ча- сти теплосмкости вблизи точки перехода!); тогда !Ззси1Тл — Т)43 ~)~в, ст < О. 1103.6) ') Напомним 1см. 1!1, 3 130), что скорости первого и второго звука в жидко»1 гелии вычисляются как корни дисперсионного уравнения 4 ва ~(!з ) Р,ТО ~ Р Тз (д3 ) Вне непосредственной близости к Л-точке мал коэффициент теплового рас- ширения, а вместе с ним мала и разность Ср — С„, так что можно положить СР— С, При Т вЂ” ! Т1 Ср заметно отличается от С„.

При этом, однако, стремится к нулю р, и с учетом этой малости получается 1103.3). В этом случае «мягкой модой» является второй звук. Вблизи точки перехода он представляет собой совместные колебания сверхтекучей скорости», и энтропии; амплитуда колебаний нормальной скорости во втором звуке ев! 0»р»/рв и вблизи точки фазового перехода 1Л-точки) мала вместе с р,. Напомним, что сверхтекучая скорость связана с фазой конденсатной функции ВОЛНОВОЙ ФУНКЦИИ 1»а = !1~7ф) ГГ1)! таК ЧтО КОЛЕбаНИЯ »а ОэиаЧают колебания фазы или, другими словами, направления «вектора параметра порядка». Закон дисперсии этих колебаний: ю= язв, 1103.2) 531 1 1аз Ряллковция В жидкогл Гелии Ниже будем считать, что сг < 0 (как это, по-видимому, фактически имеет место для жидкого гелия; ст = — О, 02).

Затухание второго звука описывается мнимой частью частоты. Вдали от Л-точки, ниже ее, она мала, но возрастает по мере приближения к Л-точке, и в непосредственной ее окрестности, при Ь„. 1, затухание становится порядка единицы (т. е. 1шоз )оз)). Выше же Л-точки, на достаточном удалении от нее, мы получим обычную затухающую тепловую волну (решение уравнения теплопроводности) с законом дисперсии аз=1 й рСр (103.7) где зг коэффициент теплопроводности.

Применим теперь гипотезу масштабной инвариантности, согласно которой вблизи Л-точки закон дисперсии должен иметь вид оз = к'1(Ьг,). Иначе можно записать эту зависимость как ) (т — т,) (103.8) (с другой функцией т), где и - критический индекс корреляционного радиуса. Справедливость законов дисперсии (103.2) н (103.7) не ограничена каким-либо условием удаленности от Л-точки, но при заданной температуре ограничена условием Йтс « 1 — длина волны должна быть велика по сравнению с корреляционным радиусом; в противном случае теряют применимость макроскопические уравнения, на которых эти законы основаны. Рассмотрим сначала область температур ниже точки перехода. Требование, чтобы при Ыс « 1 закон дисперсии был линеен по й, определяет предельное выражение функции 1" (<) в (103.8): 1"(<) сто( — ~)И' О при ( — э — оо.

Тем самым определяется и зависимость закона дисперсии от тем- пературы: оз стз ЦТЛ вЂ” Т)'~" ~. (103.9) ) Эти соотношения должны быть верны во флуктуационной области, что во всяком случае требует выполнения неравенства ~Т вЂ” Тз ~ << Тм Существуют, однако, указания на то, что фактически в жидком гелии вто неравенство должно выполняться с большим запасом, что означало бы наличие в теории некоторого малого числового параметра. 532 Г.! Хп КИПИ'1'ИКЛ ФЛЗОВЫХ ПЕРЕХОДОВ Сравнив этот результат с (103.6), находим р(г — 1) = —. 6 Критические индексы и и су связаны друг с другоь! соотношением 3!х = 2 — гу (см.

Ъ', (149.2)); отсюда ') (103. 10) При Т -+ Тл частота должна стремиться к конечному пределу; для этого должно быть 2" (0) = сопв1. Таким образом, закон дисперсии второго звука в самой Л-точке! (103. 11) При этом мнимая часть ш того же порядка величины, что и вещественная. При Т ф Тл закон дисперсии (103.11) справедлив Дла коРотких волн, УДовлетвоРЯюЩих Условию Вгс» 1. Наконец, рассмотрим область температур Т ) Тл. Здесь при Ь„. « 1 зависимость ы от й должна быть квадратичной. Для этого должно быть (® С1ЗС'~' ) ПРИ ~ — Э +ОО. Тогда 1,1с1ОЯу Т )Р!» 2! Сравнив с (103.7) и выразив и через су, найдем температурную зависимость коэффициента теплопроводности в виде схз (Т Т ) — 12 — Рв (103.12) Оп стремится к бесконечности при Т э Тл по закону, близкому к (Т вЂ” Тл) Во второл! звуке мы имеем дело с колебаниями фазы Ф конденсатной волновой функпии.

Поэтому величина 1/1шп! имеет также смысл времени релаксации фазы. При й — Р 0 она, естественно, обращается в бесконечность в однородной жидкости изменение фазы не связано с изменением энергии и потому фаза не может релаксировать. Время релаксации абсолютной величины Д = /п!О а. — плотности конденсата †. не совпадает, вообще говоря, со временем релаксации фазы. Но по смыслу масштабной инвариантности ! При О > 0 получилось бы В = —.