VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 124

Другими словами, мы рассматриваем строго когерентное рассеяние без изменения частоты. 627 1 124 овшАЯ теоРия диФРАкции Рентгеновых лучей Исключив Н из двух уравнений [124.3) и [121.4), получим Ы го1 гоФ Е = — В. сг Подставим сюда г 4ге НЕ г и раскроем выражение гоФгоФЕ, учитывая, что с)1у В = 0 [как это следует из [124.4)). Тогда получим ЬВ+ — В = го1го1 Е. сг тыг [124.7) В правой части этого уравнения, уже содержащей малую величину 4ке п7'[ты ), следует понимать под Е заданное поле падающей волны. Найдем решение уравнения [124.7) в пространстве вне рассеивающего кристалла на больших расстояниях от него.

Поскольку это уравнение совпадает по форме с уравнением [117.3), то мы можем сразу написать искомое решение по аналогии с [117.4) ): Е = ' ' [)г'[1с'ЕЙ1[ ~ пе 'ч'Л'. [124.8) 2 ~2 до = ( ) вш О ~ пе 'чг<1у'[ с1о', [124.9) где д угол между Ее и )с'. Если падающие лучи «естественныв [а не поляризованы), то множитель з)п д в этой формуле заменяется на [1/2)[1 + сов2 д), где д — угол между 1с и 1г' [см. ') В 1 117 прн решении уравнснвя 1117.3) нельзя было рассматривать поле вне тела, так как зто потребовало бы учета граничных условий на его поверхности, поскольку левая часть уравнения содержала величину е', различную внутри н вне тела. Левая же часть уравнения 1124.7) не меняет своего вида во всем пространстве, Здесь ггго . расстояние от начала координат, расположенного внутри кристалла, до точки наблюдения поля; с1 = 1г' — 1с; й = = к = ог/с; Ее — амплитуда падающей волны; в левой части равенства мы пишем Е вместо В, .так как в пустоте вне тела В = Е.

Для характеристики интенсивности дифракции рентгеновых лучей введем эффективное сечение [или просто сечение) о, определяемое как отношение интенсивности излучения, дифрагировавшего в телесный угол с1о', к плотности потока энергии в падающей волне. Согласно [124.8) имеем б28 ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ ГЛ. ХУ! примеч. на стр. 597): г 2 2 йг = — ( ) (1+соэ2д) ~ ~ пе 'чгеВ'~ е1о'.

(124.10) Ниже мы будем, для определенности, предполагать везде именно этот случай. Мы видим, что интенсивность лучей, дифрагировавших в заданном направлении, в основном определяется квадратом модуля интеграла 4хе и лггг Согласно этим уравнениям при прохождении рентгеновых лучей через кристалл произойдет их преломление по обычным законам (с показателем преломления РЯ). Таким образом, дифракция на малые углы сводится к не интересующему нас здесь обычному преломлению.

Ниже мы будем везде подразумевать, что с1 заметно отлично от нуля. Электронная плотность (как и всякая другая функция точки в кристаллической решетке) может быть разложена в ряд Фурье вида И= 2 ПЬЕ гвг ь (124.12) где суммирование производится по всем периодам Ь обратной решетки (см. У, 8 133). При подстановке (124.12) в (124.11) и интегрировании по объему кристалла заметно отличный от нуля результат получается лишь при значениях с1, близких к какому- либо из Ь.

В промежутках же между этими значениями интенсивность практически равна нулю. В связи с этим можно рассматривать каждый из дифракционных максимумов отдельно, полагая при этом п = пье'Ь' с заданным значением Ь. Подставив это выражение в (124.10), получим г 2 ~2 Йт = — ( ) (1+сое~д)~пь!~ ~ ( е Ц~ ~ ~)'е11Г~ «1о'. (124.13) пе гчг е11,г (124.11) т. е. пространственной компоненты Фурье электронной плотности. При Г1 — + 0 этот интеграл сводится просто к усредненной по объему кристалла (т.

е. по его элементарной ячейке) электронной плотности п. Но если в уравнениях (124.3), (124.4) заменить п на пч то мы получим обычные макроскопические уравнения Максвелла с диэлектрической проницаемостью 629 1 124 ОБШАЯ 'ГЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕНОБЫХ ЛУЧЕЙ Наиболее интенсивные максимумы возникают в направлениях, в которых выполняется точное равенство (124.14) (уравнение Лаув); зги максимумы называют главными. При заданном Ь главный максимум может, однако, осуществляться отнюдь не при произвольном направлении (и частоте) падающих лучей. Написав равенство (124.14) в виде 1«' = 1«+ Ь, возведя его в квадрат и учитывая, что й = й, получим 2Ъ|Г = — 62.

(124. 15) Этим уравнением определяются те значения волнового вектора 1«, для которых возможны главные максимумы с заданным значением Ь. Геометрически (124.15) есть уравнение плоскости в 1«- пространстве, перпендикулярной к вектору Ь и расположенной на расстоянии 5/2 от начала координат. Мы видим, в частности, что непременно должно быть й > 6/2. Поскольку ~1« — 1Г~ = 2йвш —, то из ! . д 2 (124.14) следует, что 2йеш — = 5, (124.16) 2 чем определяется угол дифракции в главном максимуме (уравнение Ьрзгга— Вульфа) . Как известно, каждый вектор Ь обратной решетки определяет семей- Рис.

64 ство кристаллических плоскостей по уравнениям гЬ = 2кгп, где число пт пробегает целые значения. Эти плоскости перпендикулярны к направлению вектора Ь, и по отношению к ним векторы 1Г и 1«' (отвечающие условию (124.14)) направлены под одинаковыми углами «падения» и «отражения» (рис. 64). В связи с зтим о дифракции в главном максимуме иногда говорят как об отражении от соответствующих кристаллических плоскостей. Полная интенсивность бифуркационного пятна вблизи какого-либо максимума получается интегрированием (124.13) по телесным углам вблизи соответствующего направления 1«'. Определим полную интенсивность вблизи главного максимума.

Обозначим через 1«~~ значение 1Г', .соответствующее точному выполнению условия,Лауз (при заданном 1Г): 1«~6 — — 1«+ Ь. Введем также»Г = 1«' — 1«о~. В области вблизи максимума гг мало, а поскольку 1«' и 1«о~ различаются только направлением, то»Г Г 1«д. Поэтому элемент телесного угла можно написать в виде «о = — «м.д~у= —, Ь.дм, 1 1 1 Ь12 А2 (124.17) где ось е выбрана в направлении 1хс.

Таким образом, имеем В объемном интеграле можно произвести интегрирование по 11е, поскольку е ' ' от этой координаты не зависит: гыг Д~ ~ Яе 1иг ф где 1у" = 1Ь14у, а х = х (х,у) - длина тела в направлении 1г~~. Наконец, воспользуемся известной формулой теории интегралов Фурье: (124.18) где у = / ~р(х,у)е ™11х11у компоненты двумерного разложения Фурье. В результате получим следующую окончательную формулу: 2 о.

= —, ( ' ) (1+ сов д)~пв~ / х Г(Г = = — ( — ') Е1п~ — (1+сов~д)~пь|~ ~ У~ф. (124.19) Стоящий здесь интеграл порядка величины 1 ~, где А линейные размеры тела. Таким образом, полное сечение дифракции (или, что то же1 полная интенсивность пятна) пропорционально Ъ"47з, где Р' объем тела. Отметим, .что интенсивность в самом максимуме пропорциональна другой степени объема: при 1г' — 1г = Ь интеграл в (124.13) есть просто у', так что 111Т пропорционально у'~1 ( — ) = — ( ',) (1+освод)!Иь/~Р~.

(12420) Тот факт, что интенсивность в максимуме пропорциональна бо- лее высокой степени у', чем полная интенсивность, наглядно ил- люстрирует резкость максимума. Ширина последнего пропор- циональна, очевидно, Ъ' 1 /Ъ' = 'гг 630 ДИФРАКПИЯ РЕИТГЕИОВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ ГЛ.

ХУ1 631 1 124 ОБЩАЯ ТЕОРИЯ ДИФРАКЦИИ РЕНТГЕИОВЫХ ЛУЧЕЙ Развиваемая здесь теория применима лишь при условии, что весь эффект дифракции мал. Это требование налагает, как мы теперь видим, определенное условие на размеры кристалла. Именно, О должно быть мало по сравнению с геометрической площадью сечения тела ( Ь ), откуда (124. 21) Если это условие нарушается, то становится неприменимым использованное при выводе (124.8) приближение теории возмущений 1). Задачи 1.

Определить распределение интенсивности в дифракционном пятне вокруг главного максимума при дифракции на кристалле, имеющем форму прямого параллелепипеда с длинами сторон б, ьу, Ь.. Р е ш е н и е. Вводим, как и в тексте, вектор х = й — 1гс, а систему координат выбираем с осями, параллельными ребрам параллелепипеда, и началом в его центре. Интеграл ) е ' "б1у' разбивается на произведение трех интегралов вида Ь72 — Ь/2 2 хь е б(х = — бш и 2 Таким образом, е ~г Следует помнить, что компоненты вектора х не независимы, а связаны условием хкб — — О.

2. То же при дифракции на шарообразном кристалле радиуса о. Р е ш е н и е. Снова вводим х = к' — кб, а систему координат выбираем с осью г вдоль направления х (и с началом в центре шара). Имеем ~ е * 'Л' = ) к(о — г )е ' 'бгг = — (ьбпко — хособха). ,г — а Таким образом, 2 гг'е 2 2 1 2 б ои = бх ( ) (1+ сов й))пь| — (вшхо — касозхо) б1о. (,тсг) хб 3. Определить полную интевсивность дифракционного пятна вокруг побочного максимума. ') Изложение свободной от ограничения (124.21) динамической теории рассеяния можно найти в книге: Пинскер З.Г. Динамическая теория рассеяния рентгеновских лучей в кристаллах. — Мс Наука, 1974.

Изложенную же выше теорию называют кинемотической. 632 ДИФРАКЦИЯ РЕИТГЕНОВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ ГЛ. ХУ! Р е ш е н и е. В данном случае волновой вектор й падающей волны не удовлетворяет условию (124.15). Как было указано н тексте, (12435) есть уравнение плоскости, перпендикулярной к вектору Ь; обозначим малое смещение конца вектора 1г от втой плоскости через ИЬ, где ц « 1.

Другими словами, представим к в виде 1г = Ко -~- »1Ь, где Ко удовлетворяет уравнению (124.15) (рис. 65). Максимуму интенсивности в пятне соответствует такое направление 1г, при котором разность 1г' — (1г + Ь) имеет минимальное значение (так что интеграл в (124.13) максимален). Но абсолютная величина разности двух векторов (из которых один имеет произвольное направление) достигает наименьшего значения, когда направления зтих векторов совпадают. Поэтому имеем (учитывая, чте й = й) )1г' — 1г — Ь) м — — й — )1с+ Ь| = й + (1г 4- Ь ! Рис.