VIII.-Электродинамика-сплошных-сред (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 126

(126.7) Таким образом, интенсивность диффузного рассеяния, как и следовало ожидать, пропорциональна объему кристалла. Характерной особенностью этого рассеяния является распределение его интенсивности по площади пятна. Отвлекаясь от множителя (1 + сое з9), практически постоянного для заданного пятна, мы видим, что распределение интенсивности определяется выражением д,„~Ь1Ьы Последнее представляет собой произведение К 2 на довольно сложную функцию направления вектора К относительно кристаллографических осей. При рассеянии вблизи главного максимума интенсивность диффузного рассеяния тоже максимальна в точке К = О (само выражение (126.7), обращающееся при К = О в бесконечность, разумеется, становится при этом неприменимым).

Если же условие (124.15) 2ЫГ = — Ь2 не выполняется, то равенство К = О невозможно и максимум интенсивности диффузного рассеяния расположен при некотором отличном от нуля К, вообще говоря, не совпадающем с положением максимума структурного рассеяния. В обоих случаях диффузное рассеяние создает фон, интенсивность которого спадает в основном как 1/Ат', т. е. значительно медленнее, чем интенсивность в более резкой линии структурного рассеяния, которую он окружает. ') См.

Ч, 6 111. Если распределение вероятностей для флуктуируюп1их вЕличин Е1, яз; .. имЕет вид 1 ехр ( — — Лыж,ть), 2 то л,хь = Л,„'. Лишний множитель 2 в формуле (126.6) связан с тем, что каждое из комплексных ие, представляет собой совокупность двух независимых величин. 1 12б диет»знои гвидонов гаоскяннв гкнтгкноных лзчкй 639 до — ( )(1+созд) < )оп ~ ) Йт, (126.8) где бпч — — ) бпе и'с(1'. Среднее (~бпч~2) выражается через компо- ненту Фурье корреляционной функции флуктуаций электронной плотности. С учетом однородности жидкости имеем (~бпч~~) = И ~ (Ы~)бп(~))е'ч'с(К г = г2 — г1.

(Ср. вывод формулы Ъ', (116.13).) Интересными особенностями обладает рассеяние рентгеновых лучей на двумерных кристаллических пленках. Как было показано в Ъ', 3 138, тепловые флуктуации «размывают» кристаллический порядок в таких системах. Поэтому когерентное рассеяние отсутствует. Вместе с тем, корреляционные функции флуктуаций убывают с расстоянием в таких системах по медленному степенному закону.

Это приводит к тому, что диффузное рассеяние имеет резкие максимумы в тех направлениях, в которых при Т = 0 лежали бы максимумы упругого рассеяния на «неразмытой» структуре. (См. задачу к этому параграфу.) Аналогичные особенности имеют место при рассеянии на слоистых смектических жидких кристаллах, структура которых также размывается тепловыми флуктуациями. (См. л1, 3 139.) Задача Определить угловое распределение рассеяния на двумерной кристаллической пленке при и Ь (Ь вЂ” вектор обратной решетки при Т = 0).

Р е ш с н и е. Корреляционную функцию флуктуаций злектронной плотности (еп(гл)еп(гз)) двумерной системы можно определить так же, как зто было сделано и 'лл, б 138 для корреляционной функции флуктуаций плотности. Член, ответственный за рассеякие с и Ь, имеет аид 2 соз Ьг, (1) тт' ь где пь — компонента Фурье электронной плотности при Т = О, аь — показатель, зависящий от упругих модулей кристалла (см. Ъ', (138.7)). Вычисляя фурье-компоненту функции (1), находилл для среднего квадрата флуктуаций ()бпь) ) (2) 1 где м~~ — проекция вектора и = а — Ь на плоскости пленки.

Формула (2) решает поставленную задачу, В заключение параграфа остановимся на вопросе о рассеянии рснтгеновых лучей в жидкости. Поскольку жидкость в среднем однородна, когерентное рассеяние в этом случае, разумеется, отсутствует. Для вычисления же некогерентного рассеяния следует снова подставить 5п вместо п в (124.10) и усреднить по флуктуациям. В результате получаем б40 ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНОЕЫХ ЛУЧЕЙ И КРИСТАЛЛАХ ГЛ.

ХУ! й 127. Температурная зависимость сечения дифракцин Обратимся теперь к выяснению температурной зависимости сечения когерентного рассеяния рентгеновых лучей. Вопрос сводится к определению температурной зависимости микроскопической электронной плотности в кристалле, усредненной с учетом теплового движения атомов. Будем считать атомы достаточно тяжелыми, так что ббльшая часть их электронов локализована в неперекрывающихся оболочках, которые лишь слабо деформируются при колебаниях решетки.

Будем также считать, что решетка состоит из атомов лишь одного сорта, по одному в элементарной ячейке; подчеркнем, что зто последнее предположение нс имеет принципиального характера и делается исключительно для упрощения записи формул.

Тогда можно точную (не усредненную) микроскопическую электронную плотность представить в виде и(г) = 1 Р(г — ги) = ~Р(г — гип — пи), (127.1) и и где Р(г) плотность электронов в отдельном атоме (агаоААный формфактор); суммирование производится по всем атомам в решетке, ги - радиус-векторы атомных ядер, нумеруемых векторным (с целочисленными компонентами) индексом и. Обозначив радиус-векторы равновесных положений ядер (т.

е. узлов решетки) как гио, а векторы смещений атомов из этих положений посредством пи, имеем ги = гис+ пи, что и использовано в последнем равенстве (127.1). Разложив плотность (127.1) в ряд Фурье (124.12) в объеме Ъ' решетки, представим коэффициенты разложения в виде е — ЦГ„Р-~-ип)ьР и где Рь = 1 Р(г)е хьг Г11Г (127. 2) . фурье-компоненты атомного формфактора. Все произведения гиоЬ равны целым кратным от 2х. Поэтому все множители ехр( — гги,Ь) = 1, так что пь = — '~е '""" (127.3) и Усредним зто выражение по движению атомов. Очевидно, что средние значения членов суммы не зависят от номера и.

Поэтому (ЛЬ) ь (е-1Ьи) (127.4) где и вектор смещения атома (безразлично какого), а и = Ъ'/М объем элементарной ячейки (Ж вЂ” число ячеек в объеме $'). 1 127 ТЕМПЕРАТУРНАЯ ЗАВИСИМОСТЬ СЕЧЕНИЯ ДИФРАКЦИИ 641 Усреднение в (127.4) следует понимать как полное статистическое усреднение, т, е, усреднение по волновым функциям стационарных состояний с последующим усреднением по распределению Гиббса. Для выполнения зтого усреднения следует рассматривать и как квантовомеханический оператор 1/2 й = ~~> ( ) (се„ейое'~'" + с„е ек е 1~'"~ (127.5) 1«а (см.

Ъ', 3 72). Суммирование производится по всем значениям волнового вектора 1с фононов (в объеме 17) и по их независимым поляризациям, нумеруемым индексом с» = 1,2,3; ы ()с) — частоты фононов, е1, -- их поляризационные векторы; М --. масса атома. Операторы Еь и с~ — операторы уничтожения и рождения фононов в состояниях 1са. Для операторов вида (127.5) выполняется теорема Вика, согласно которой среднее от произведения любого четного числа операторов равно сумме всевозможных произведений попарных средних (среднее же от произведений нечетного числа операторов равно нулю) ).

Здесь будет существенно равенство (е ) = ехр (-(Х )), (127.6) справедливое для всякого оператора Х, удовлетворяющего атой теореме; в его справедливости легко убедиться, разложив ехр Х в ряд и усредняя каждый член разложения ). Применив (127.6) к (127.4), получим (пь) = — ехр ( — -((Ьп) ) ) . Сечение дифракции пропорционально квадрату втой величины и потому его температурная зависимость отделяется в виде множителя Р = ехр1 — ((Ьп) )7.

(127. 7) Его называют А«нозсителел» Дебал — В ллера (Р. РеЬуе, 1912; 1. И7а((ег, 1925). ) Доказательство теоремы в «макроскопическом пределе» (2»' -» оо), соответствующем се применению в стагистике, см. 1Х, 3 13. 21 ) Произведение четного числа 2п множителей Х можно разбить на пары (2п — 1)(2п — 3)... 1 способами (выбрав один из 2В множителей, можно «спарить» его с любым из 2п — 1 остальных множителей; выбрав каждый раз один из остающихся 2п — 2 операторов, можно спарить его 2п — 3 способами, и т. д.). Позтому (Х ") = [(2 — 1)(2н — 3)...1)(Х )". 21 Л.

Д. Ландау и Е.М. Лифшиц, том 12Н1 б42 ДИФРАКЦИЯ РЕНТГЕНСВЫХ ЛУЧЕЙ В КРИСТАЛЛАХ ГЛ. ХУ! Остается вычислить средний квадрат ЯЬп)~). Из всех попарных произведений операторов с1,, с~„имеют отличные от нуля средние значения лишь (-':-".) = .-. (-..-:.) = "-+ где Ме срсднис числа заполнения фононных состояний в равновесии. Позтому ((Ьп) ) = ~ ~е~, Ь| (с~, с„+с„„сй ) = 'КО ~Ьеь ~~ (Хь + -) . (127.8) При зтом числа М~, даются распределением Бозе Х~, = ~ехр ' — 1~ При подстановке в (127.7) член с нулевыми колебаниями дает не зависящий от температуры множитель, который следует опустить (точнее --. включить в определение РЬ). Наконец, перейдя от суммирования по 1г к интегрированию по И дзВ/(2х)з, получим окончательно При Т -+ 0 функция Хь обращается в нуль и соответственно Р— в единицу; с увеличением температуры Р убывает.