IX.-Статистическая-физика-часть-2 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 87

Они позволяют также применить к вычислению формфактора общую формулу (ср. (75.11)), согласно которой !ч!. !х ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ (см. П1, (40.5); для недиагональных матричных элементов 1ТВ в (Ц можно писать бй вместо и. Волновую функцию начального состояния нейтрона (с импульсом р и энергией е) нормируем на одну частицу в объеме И, а волновую функцию конечного состояния (импульс р' и энергия е') нормируем на б-функцию от р/2я.

Тогда !ау = !1~р'/(2яй)~, а матричный элемент возмущения 2яйт М !Рl где Ьк = р — р', а бги = е — е', а бпп — матричный элемент по отношению к волновым функциям жидкости. Подставив это выражение в !1ыу!, просуммируем вероятность перехода по всем возможным конечным состояниям жидкости. При этом квадрат модуля интеграла записываем в виде двойного интеграла (по !(! !й' озх аэх') и замечаем, что бпп(й г) бпп(с, г )* = ~ бп,т(с, г ) бпп(1, г) = т 1 = (! ) бй(1, г ) бй(й г) ~ !) = па(! — й г — г) (причем и выражено в функции от полной энергии жидкости в состоянии !).

Интегрирование по Н(У вЂ” 1) д~(х' — х) дает п(и, к), а еще одно интегрирование (скажем, по |й п~х) дает просто объем И и полный интервал времени и Опустив множитель й получим в результате вероятность рассеяния в единицу времени 4 заз бз Ю = па п(ь!, Е) Мз (2яб)э Это выражение остается, конечно, справедливым и после усреднения по распределению Гиббса, т. е. при формфакторе, выраженном через температуру.

Отметим, что свойство формфактора (86.16) в применении к рассеянию нейтронов выражает собой тот факт, что при Т = 0 жидкость может только приобретать, но не отдавать энергию. Соотношение же (86.14) выражает собой принцип детального равновесия, так как процессы рассеяния с передачей энергии и импульса (ы, к) и ( — ы, — к) являются взаимно обратными. 8 87. Правила сумм для формфактора Динамический формфактор удовлетворяет определенным интегральным (по частотам а!) соотношениям — правилам сумм. Вывод одного из них основан на правиле коммутации между операторами йь(1) и йь(1). Коммутатор гейзенберговских операторов, взятых в одинаковый момент времени, совпадает с коммутатором шредингеровских операторов йй и и1,.

Оператор й1, определяется выражением (86.9) и требуемый коммутатор 9 87 ПРАВИЛА СУММ ДЛЯ ФОРМФАК'ГОРА дается формулой 1и 2 йий~, — й~,й~, = — — Й Х, 1П (87.1) где т "- масса частицы жидкости '). Исходим из выражения компоненты фурье-разложения функции о (1, т) только по координатам пес(1, й) = з~е '~!" ")(бй(11, г1) бй(12, г2)) 11~(х! — хз). Имея в виду, что подынтегральное выражение зависит только от гг — г2, заменяем интегрирование по 11 (х! — х2) интегрированием по 11 х111 хз/Ъ'; произведя его под знаком усреднения, получим сг(1, й) = — (бйк(1!) бй. и(12)).

Л (87.2) Вычислим значение производной д!т(1, к)/д1 при 1 = О. Поскольку о (1, )с) зависит только от разности 1 = 1! — 12, то дп(й А) 1 (дп до д! 2 !, д!! д!1 ! и после подстановки сюда (87.2) И 2!"!' = — (бпк(2!) бй и(12) — бйиЯ) бп иЯ)). дп18 ~)) ~6 й2 д1 ) 1=а 2т 1 ) Вычисление этого коммутатора совпадает с вычислением, произведенным в 111, З 149 в связи с выводом правила сумм (149.о); вместо числа электронов Я теперь фигурирует полное число частиц жидкости Х.

Каждый из двух членов этого выражения зависит только от абсолютной величины вектора зс; на этом основании заменим во втором члене 1с на — 1с. Положив затем 11 = 12 и учтя, что и „= й~, найдем, что разность в угловых скобках совпадает с коммутатором (87.1). Таким образом, находим 470 гл.

~х ГидгодинАмические ФлуктуАции С другой стороны, представив о(1, Й) в виде фурье-интеграла по частотам, имеем — е ' о(ш, Й) — ~ = — г ыо(ю, Й) —. а1 ~=О И У 2 с=О у ' 2 Сравнив оба. выражения производной, получим искомое соотно- шение ио(ы, Й) — =— 2л 2т (87.3) (С. Р1асгей, 1952). Подчеркнем, что оно справедливо при любых Й. Для перехода в этом соотношении к классическому пределу (Ь -+ 0) надо записать интеграл в его левой стороне в виде ы (о(ю, Й) — о( — ы, Й))— 2л о и, согласно (8б.14), подставить в него о(ю, Й) — о( — м, Й) — о(ю, Й).

йы После этого множители 6 в обеих сторонах равенства сокраща- ются и остается ю о(ы,Й) — =Т— 2л 2т о о(ю, Й) = ™ д(ы — ий). ти (87.4) Применим формулу (87.3) к бозе-жидкости при Т = 0 и рассмотрим область малых значений Й. При Й вЂ” + 0 главный вклад в интеграл дает о-функционный пик в формфакторе о(ы, Й), возникающий в (86.13) от переходов с рождением одного фонона (поскольку в основном состоянии жидкости фононы отсутствуют, то переходов с уничтожением фонона при Т = 0 нет).

Этот член имеет вид Ад(ю — ий), где Ьий энергия фонона (и — — скорость звука). Подставив же его в качестве о(ы, Й) в (87.3) найдем коэффициент А, и в результате 8 87 471 ПРАВИЛА СУММ ДЛЯ ФОРМФАК'ГОРА Интегрирование этого выражения по формуле (86.7) дает статический формфактор о()с) = (87.5) (Л. Р.

Геупглап, 1954) '). Поскольку эта формула относится к области малых значений й, то ее фурье-обращение дает асимптотическое выражение корреляционной функции при больших г: и(г) =— 2хзшнг4 (87.6) игу(оз, 6) = 26)ш се(ы, 6). (87.7) ') Формула (87.6), записанная в виде о(6) = 6~к~Д2пге(6)) (е(6) — энергия квазичастицы), строго справедлива лишь при 6 — 4 О.

При увеличении 6 все большую роль играют вклады в о(6) от переходов с рождением нескольких квазичастиц. Если все же пренебречь этим вкладом, можно считать, что эта формула дает связь между формфактором и энергией квазичастиц в бозе-жидкости. При этом максимуму, который и имеет при 6 1/а (а— межатомные расстояния в жидкости), отвечает «ротонный» минимум на кривой е(6). з) Корреляционная функция (87.6) отрицательна (что соответствует отталкиванию между частицами) в противоположность корреляционной функции идеального бозе-газа, где она положительна (см.

Н, З 117). В связи с этим напомним (2 28), что в слабо неидеальном бозе-газе энергетический спектр имеет фононный вид лишь при 6 (( ти/6 (причем 6/гпи,м а). Соответствующие расстояния г 1/й «6/ти, так что при переходе к идеальному газу (о -4 О) область применимости формулы (87.6) отодвигается на бесконечность. (для проверки этой формулы см. интеграл, приведенный в примечании на с. 450). При Т = 0 формула (87.6) справедлива до сколь угодно больших расстояний. При низких, но конечных температурах она верна вплоть до расстояний и Би7Т, на которых флуктуации перестают быть чисто квантовыми. На еще больших расстояниях закон (87.6) сменяется экспоненциэльным убыванием (если отвлечься от вклада ван-дер-ваальсовых сил см. 8 83) ').

Еще одно правило сумм можно получить из установленной в 886 связи формфактора с некоторой обобщенной восприимчивостью сг(4о, )с). Эта связь дается формулой (86.20), которая при Т = 0 сводится (для о4 ) 0) к 472 гл. ~х ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ Согласно формулам Крамерса-Кронига (см. у", (123.15)) Положив здесь о=О и учтя, что величина о(0, й) вещественна '), имеем сг(0, й) = — / — 1шсе(и, й) ско. а (87.8) В пределе й -+ 0 имеет место соотношение (87.9) Оно следует из того, что в статическом медленно меняющемся в пространстве слабом поле У имеет место условие равновесия д + 17 = сопв1, так что включение внешнего поля эквивалентно изменению химического потенциала на — О'. В пределе й — > 0 имеем поэтому из (86.18) бп = — — 17 — 17 ~ сс(0, г1 — гз) Н (х1 — хэ) = — 17 сг(0, й = 0), дп з др откуда и следует (87.9).

Собирая полученные формулы (87.7) -(87.9), найдем, таким образом, следующее правило сумм для формфактора жидкости при Т = 0: — /о.(м, й — у 0) — = —" (87.10) яду ы дР о (1у. Рхпез, РЬ. )г'озгегев, 1958). Задача ') Величина о(ы = О, г) вещественна в силу общих свойств обобщенной восприимчивости. Вещественность фурье-компоненты о(ы = О, )с) следует отсюда ввиду четности функции а(ы, г) по г. К Найги корреляционную функцию и(г) в бозе-жидкости на расстояниях г ) Ли/Т при температурах Т (( ТА. Р е ш е н и е. Искомая корреляционная функция определяется формфактором при значениях й у|г ( Т7йи « 1/а, для которых энергетический спектр жидкости — фононный.

При Т Р О в п(ы, й) имеется член с Б(ы+ йи), 3 88 гидгодинАми 1ескик ФлуктуАции отвечающий поглощению фонона, наряду с членом с 6(ы — Йн), отвечающим испусканию фонона. Коэффициенты в этих членах можно определить с по- мощью (86.14) и (87.3); а(ы, Й) = (1 — е " 7 ] (6(ы — Йн) + е " "~ 6(ы + Йн)). (Ц Интегрируя это выражение, находим йй ййн 2ти 2Т (2) и затем ~эЙ (2л)з 8лэппнг У 2Т Замыкая путь интегрирования но 6Й бесконечно удаленной полуокружно- стью в верхней полуплоскости комплексного Й, сводим интеграл к сумме вычетов в полюсах (расположенных на мнимой оси). При г « Бн7Т глав- ный вклад в интеграл возникает от вычета в плюсе при ЙЙн72Т = 1л: (3) При условии аТ7йн « 1 характерное расстояние затухания функции и(г) оказывается много большим межатомных расстояний, на которых убывают эффекты, связанные с прямым взаимодействием между атомами.