IX.-Статистическая-физика-часть-2 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 85

Тем не менее ее вычисление ДлЯ выРожденной плазмы представляет методический интерес и дает поучительную иллюстрацию применения диаграммной техники. Оператор кулоновского взаимодействия частиц плазмы записывается в виде е р е ~~; /,т, ~-,т,'-~ е.ее,т,',т, ~3,13 е (858) а,Ь где индексы а, 5 нумеруют различные сорта частиц электроны и разные сорта ионов; 2 е -- заряд частиц (для электронов з 85 455 Выгождвннля плАзмА = — 1). Взяв 2))-операторы в мацубаровском представлении, мы тем самым получим и оператор взаимодействия в этом представлении.

Диаграммная техника для вычисления среднего (по распределению Гиббса) значения ()г) строится затем обычным образом путем перехода к представлению взаимодействия для мапубаровских операторов; возникающий в результате ряд теории возмущений представляет собой разложение (1г) по степеням ез.

Выражение (85.3) не содержит «свободныхэ (по которым не производилось бы интегрирование) переменных. В диаграммной технике это обстоятельство выражается тем, что члены ряда теории возмущений для ( 2г) изображаются диаграммами, не имеющими свободных концов. Штриховым линиям этих диаграмм (с 4-импульсами Я = (~, с1)) условимся сопоставлять множители ') 22(Ч) = (85.4) 22 (не зависящие от с„,), т. е.

взятую с обратным знаком фурье- компоненту потенциала д(г) поля единичного заряда. Сплошным линиям должен теперь приписываться (наряду с 4-импульсом Р = (1,„р)) еще и индекс а, указывающий сорта частиц, и каждой такой линии сопоставляется множитель -- М -- взя- (0) тая с обратным знаком гриновская функция свободных частиц а. При этом сплошные линии диаграммы образуют замкнутые петли, каждая из которых содержит «звенья» с одинаковыми индексами а. Каждой вершине диаграммы точке пересечения штриховой линии со сплошными линиями сорта а - сопостав,ляется дополнительно множитель ьае. Каждая фермионная петля вносит дополнительный множитель ( — 1).

Построенные по этим правилам диаграммы дают члены разложения величины (85.5) Множитель Ъ' в знаменателе объем системы; этот множитель возникает в результате того, что подынтегральное выражение в каждом члене ряда зависит только от разностей координат, и поэтому одно из интегрирований по Фт дает просто объем Р'.

Знак минус в (85.5) — результат определения |птриховых линий ') Далее в этом параграфе полагаем Г2 = 1, с = 1 а е обозначает элементарный заряд (е ) О). гл. уш ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ФЛУКТУАЦИИ по правилу (85.4), т. е. со знаком минус перед у(с1). Множитель же 2 . - результат переноса множителя 1/2 в (85.3) в левую сторону равенства. В первом порядке теории возмущений имеются диаграммы двух видов: ь(~ б (~) аО (85.6) О ь б г д с а б Диаграммы (85.7а,б) представляют собой поправки к диаграмме (85.6а) и по той же причине взаимно сокращаются при суммировании по всем а, 5, с.

Диаграммы (85.7в — г) представляют собой малые поправки к энергии обменного взаимодействия и не представляют здесь интереса. со всеми возможными а и 5. Диаграммы вида (85.6а) возникают от сверток ф-операторов, взятых в одинаковых точках пространства. Эти диаграммы отвечают прямому кулонову взаимодействию частиц а и 5, равномерно распределенных в пространстве: вклады этих диаграмм взаимно сокращаются (при суммировании по всем парам а, 5) ввиду электрической нейтральности плазмы.

Диаграммы же вида (85.66) возникают от сверток ф-операторов разных аргументов и отвечают обменному взаимодействию частиц данного сорта а. Вычисление этой диаграммы приводит к результатам, полученным уже в уб ~ 80. В следующем порядке возникают диаграммы следующих видов: 457 ВыгожденнАя плАзмА Диаграмма же (85.7д) оказывается «аномально болыпой» ввиду расходимости соответствующего интеграла. Эта расходимость возникает в результате того, что импульсы «1 обеих штриховых линий в диаграмме одинаковы (как это очевидным образом следует из сохранения импульса в вершинах).

Поэтому диаграмма содержит интеграл 1 д~д/д, расходящийся при малых «1 как 1/д. В следующих приближениях появляются (наряду с диаграммами поправочных типов) также и новые «кольцевые» диаграммы с еще более сильной расходимостью. Так, диаграмма третьего порядка а а ~ь Е'.Ь:, а,ь Ь (85.8) где жирная штриховая линия представляет сумму бесконечного множества линейных диаграмм В Ь а,Ь,...

а Ь (85.9) с различными числами сплошных петель. с тремя штриховыми линиями с одинаковыми импульсами с1 содержит интеграл /д едал, расходящийся, как д з. Вообще кольцевая диаграмма и-го порядка, образованная п сплошными петлями, соединенными п штриховыми линиями, расходится, — (2 — 3) Суммирование бесконечной последовательности кольцевых диаграмм приводит, как мы увидим, к эффективному обрезанию расходимостей на значениях д порядка малости е: поэтому все эти диаграммы совместно дают вклад в ('Р') порядка малости (ез)" /е2" з = ез. Графически этот вклад изобразится суммой (по сортам частиц) скелетных диаграмм 458 электгомАГнитные «'лъктъАцин ГЛ.

ЕП! В то время как тонкая штриховая линия изображает потенциал у кулоновского поля изолированного заряда, толстая штриховая линия представляет потенциал поля, искаженного поляризацией окружающей плазмы, :обозначим его посредством Ф. Весь вклад (85.8) и дает, следовательно, искомую корреляционную часть средней энергии взаимодействия в плазме.

Введем обозначение — 7э(~„Ч) !!4л для суммы простых сплошных петель всех родов частиц и будем обозначать эту величину графически светлым кружком: (85.10) Отметим, что аргумент 4> этой функции пробегает «четные> значения 1„> = 2элТ независимо от статистики, которой подчиняются частицы а. Действительно, в силу закона сохранения частот в вершине этот аргумент равен разности частот обеих сплошных линий; эта разность «четна» как при «четных», так и при «нечетных> членах разности.

С обозначением (85.10) сумма (85.8) изобразится одной скелетной диаграммой: 2(4')кор Ъ (85.11) (вполне аналогичному уравнениям (14.4) и (79.13)). В аналити- ческом виде это уравнение имеет вид — Ф(6., Ч) = — Ю(Ч) — д(Ч) ~" ~ Ф~Ы., Ч), 4л откуда !11»! Ч) = (85.13) Сама же жирная штриховая линия удовлетворяет диаграммному уравнению — — =----- + ----Π—— (85.12) 2 85 459 Выгожлвнвкя плАзмА На эти формулы полезно взглянуть с несколько иной точки зрения, чтобы установить связь с диаграммами в 279. Дело в том, что кулоново взаимодействие между зарядами можно рассматривать как результат обмена виртуальными фотонами. При этом, однако, удобнее использовать не калибровку (75.1), а так называемую «кулонову» (см.

1У,276), в которой — Осе как раз равна фурье-компоненте кулоновского потенциала. Пространственная же часть Р;ь в этой калибровке описывает запаздывание и магнитное взаимодействие, и ею в нерелятивистской плазме можно пренебречь. Поэтому можно считать, что штриховым линиям на диаграмме (85.11) соответствует мацубаровская Аее, а функция Р есть не что иное, как компонента Рее поляризационного оператора.

Согласно (79.18) можно, следовательно, написать Р(С„Ч) = — 92(е~(ъ !~,!, с1) — Ц (легко видеть, что при наличии пространственной дисперсии в (79.18) входит именно продольная проницаемость е~). Подставляя это выражение в (85.13), находим ФЫ., Ч) =, (85.14) тз к~ (г(4, ~, и) т. е., как и следовало, фурье-компоненту потенциала единичного заряда в среде. Раскрыв по общим правилам мапубаровской техники диаграмму (85.11), находим (Р )корр = ~~' / Ф(Ч) ФЫР~ Ч) —.

1 "Г / )о~(4„9) пз (-) (2к)З вЂ” — (85.15) / 4'(4' — 'РЫ. Ч)) (2 )з Мы увидим ниже, что основную роль в сумме играет член с В = О, причем соответствующий интеграл определяется областью малых с1. Поэтому для вычисления (85.15) фактически достаточно знать предельное значение Р(0, с1) при с1 -+ О. Эту величину легко определить из простых физических соображений, даже не прибегая к прямому вычислению по диаграммам (85.10).

При ~, = 0 функция у(0, Ч) представляет собой фурье-образ потенциала Ф(г) электростатического поля единичного заряда в плазме. Невозмущенный потенциал ~р(г) удовлетворяет уравнению Пуассона с д-функцией в правой части: Ь~р = — 4яд(г). Уравнение же для потенциала Ф, искаженного поляризацией 460 ГЛ. УКЧ электгомАГннтные алуктуАцин Ьф = — 4К[д(г) + бр). (85.16) С другой стороны, при с1 -+ 0 мы имеем дело с полем, медленно меняющимся вдоль объема плазмы. В таком поле справедливо термодинамическое условие равновесия )та + ееаф = сопв1 = Д е, (0) (85.17) ГДЕ )А - ХИМИЧЕСКИЙ ПОтЕНЦИаЛ ЧаСтИЦ СОРта а, Да — ЕГО ЗиаЧЕ- (о) ние в отсутствие поля.

Из этого условия находим для изменения плотности частиц иа: ~,дп /т), и затем для изменения плотности заряда: 5Р = ~свабна = ~(сва) [ 1 Ф. Подставив это выражение в (85.16), получим уравнение Ьф — м2Ф = — 4хб(г), (85.18) где введено обозначение (85.19) Из (85.18) видно, что 1/ат есть дебаевский радиус экранирования поля в плазме (ср.

'Ч, з 78). Наконец, взяв фурье-компоненту от обеих сторон уравнения (85.18), найдем, что Ф(с1) = и сравнение этого выражения с (85.13) дает (85.20) плазмы, получается добавлением в правой стороне изменения бр плотности зарядов в плазме под влиянием самого поля: 3 85 ВыгогклВннАН плАзмА Производя теперь интегрирование в (85.15) с этим значением 7г, находим ь ТН4 / 4к2г д44 1 ТНЗ (~ )кор — / 2(2к)г,/ дг(дг+ гег) 8к (85.21) г е~(г(~,() = 1 + (см.

Ъ Ш, 3 78) . В силу условий (85.1), (85.2) все отличные от нуля частоты 4,4 = 2ВАТ « (пее2,рте)142, и потомУ ДлЯ них можно Уже считать е(г ~~,~) = 1, т. е. поляризация плазмы отсутствует и 7э мало. Формула (85.21) выражена через термодинамические переменные Т, Р', р,. Поэтому термодинамический потенциал й плазмы может быть найден прямым интегрированием равенства (85.22) (см.