IX.-Статистическая-физика-часть-2 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 83

8 82 443 ПРЕДЕЛЬНЫЕ ОЛЕЧАН при ~ = О, т. е. электростатическими диэлектрическими постоян- НЫМИ Ею, 620. Хаким образом, окончательно оа оо — 1 р Йс / / х ~(ого + Р)(его + Р) х 32е~'~,/ ,/ Рг ((ого — Р)(ега — Р) 0 1 г — 1 (ега + Р его)(ого т Р его) х е — ~ р х, (его — 1 е оЦего — Рого) (82.4) аю = Е10 — 1+Р, а20 = е20 — 1+р . Закон убывания силы с расстоянием (как ( 4) соответствует в данном случае закону убывания ван-дер-ваальсовых сил между двумя атомами с учетом запаздывания (см.

ниже). Формула (82.4) сводится к очень простому выражению в случае, когда оба тела — металлы. У металлов функция Е(1~) -+ СО при ~ -+ О; пОЭтОму для них надо считать ее = ОО, 0 6 Положив ею = Е20 = ОО, ПОЛУ- чим 0,4 Йс хг 4Р4х е~ Йс 16хг14 рг (е* — Ц 240 1А 0 0,2 (82. 5) 2 Йс ('еа — 1'( 240 14 1 со+ 1г) (82.6) на том же рисунке дан график функции огд (ее), определяющий силу притяжения для диэлектрика и металла (ею = 60, Е20 = Оо) (Н. В.

С. Саэгтпгг, 1948). Эта си- 0 0,2 0,4 0,6 0,8 1/ео ла вообще не зависит от рода Рис. 18, металлов (свойство, не имеющее места на малых расстояниях, где сила взаимодействия зависит от поведения функции е(г(') при всех значениях 1,, а не только при о'„ = О). Па рис. 18 представлен график функции Рдд(ео), Опр д щий силу притяжения между двумя одинаковыми диэлектриками (ею = е20 = ее); формула (82.4) представлена в виде электгомАГннтные тлнктнАции Гл. нн! по формуле ') бс ес — 1 2 — — Фд. (Ео) 240 11 ее+ 1 (82.7) Произведем в (82.4) переход к взаимодействию отдельных атомов подобно тому, как это было сделано выше для формулы (82.1). При малых ео — 1 имеем ео — 1 / 11 зо — Р =, зо — Рео = (еа — 1)( — Р+ — ), 2р 2р 2) и интеграл (82.4) принимает вид (610 1Нега 1) х е *дх " " с)Р, зг; г ,/ / 8р' о 1 откуда — (610 — 1) (ега — 1) . йс 23 14 640кз (82.8) Эта сила соответствует взаимодействию двух атомов с энергией 12' (г) = — сг1стг, 235с 4згг (82.9) ') При ее — г 1 функции 22дл и рдм стремятся соответственно к значениям 0,35 и 0,46, отвечающим предельным законам (82.8) и (1) в задаче к этому параграфу.

При ее — > оо обе функции стремятся к значению 1, отвечающему формуле (82.5). гДе ог, сгг --- статические полЯРизУемости атомов (ео = 1+4кпо). Формула (82.9) совпадает с результатом расчета по квантовой электродинамике для притяжения двух атомов на достаточно больших расстояниях, когда становятся существенными эффекты запаздывания (см. 1У, 3 85). Наконец, рассмотрим расстояния настолько болыпие, что имеет место неравенство 1Т(Бс «1, обратное тому, которое требовалось для возможности пренебрежения влиянием температуры. В этом случае из всех членов суммы в (81.9) надо сохранить лишь первый.

Однако сразу положить в нем и = 0 нельзя ввиду возникающей при этом неопределенности (множитель 1,3 обращается в нуль, но интеграл по с)р расходится). Это затруднение можно обойти, введя сначала вместо Р новую переменную интегрирования х = 2Р1„„1/с (в результате чего множитель 1,3 исчезает). 3 83 пгкдкльные слкчхи Положив затем ~„= О, получим со — 1 ь" Т 1 х2 ~(его+1)(его+1) х 1 ( (82 1()) 16т1з,) ((его — 1)(его — 1) 0 Таким образом, на достаточно болыпих расстояниях убывание силы притяжения замедляется и снова происходит по закону 1 но с коэффициентом, зависящим от температуры (все следующие члены суммы в (81.9) убывают с 1 экспоненциально). Условие 1Т/Ис» 1 есть по существу условие классичности (бог « Т, где го с/1). Поэтому естественно, что (82.10) не содержит 6').

Задача 1. Найти закон взаимодействия атома с металлической стенкой на «больших» расстояниях. Решение. Взаимодействие отдельного атома с конденсированным телом можно найти, рассматривая лишь одно из тел (пусть зто будет тело з) как разреженную среду. Считая его — 1 малым и положив его = оо, получим из (82.4) йс(его — 1) ) з 1 г1р Зйс(его — 1) ~ х е *г(х / 32хг1«,/ / 2рг 32яг74 Если энергия взаимодействия атома со стенкой есть П = -оВ « (Ь вЂ” расстояние атома от стенки), то энергия взаимодействия атомов в полупростРанствс, отделенном от стенки щелью 1, есть Н«гол — †вЂ/31з, а сила Г = гзьпол/Ж = ап/1 . По этому полученному значению Р соответствует 4 притяжение отдельного атома к стенке с энергией (2) П(В) = — Зогйс/(8яВ ) (П.

В. С. Сазгтп, В. РоЫег, 1948). Для взаимодействия атома с диэлектрической стенкой тем же путем получается результат Зйсог его — 1 г« +1 с функцией «гад, представленной графически на рис. 18. При его — г 1 она стремится к значению 23/30 = 0,77, отвечающему формуле (82.8). ) Полученные в 881,82 формулы могут быть обобщены таким образом, чтобы включить в себя случай заполненной жидкостью щели между твердыми телами и случай тонкой жидкой пленки на твердой поверхности; см. И. В.

Дзллошинскии, В. М. Лифшиц, Л. П. Питаеесиий // УгРН. 1961. Т. 78. С. 381; Айчапссз 1п РЬуз., 1961. У. 10. Р. 165. гл. уш электгомАгнитные ФлуктуАции 3 83. Асимптотическое поведение корреляционной функции в жидкости Длинноволновые электромагнитные флуктуации приводят также к некоторым специфическим свойствам корреляционной функции флуктуаций плотности в однородной жидкости. Напомним (см.

Ъ', 8116), что корреляционная функция г»(т) определяется через среднее значение от произведения флуктуаций плотности числа частиц п в двух точках пространства согласно (бп(г1)3п(г2)) = пд(г) + пг»(г), г = г1 — г2. (83.1) Корреляционная функция связана со взаимодействием между частицами, и се асимптотическое поведение на болыпих расстояниях определяется дальнодействующей, ван-дер-ваальсовой частью этого взаимодействия. Поэтому и(т), как и ван-дерваальсовы силы, убывает с расстоянием по степенному закону (Х Ьп1ег0у, Т. СайеИ, Х Н. МагсЬ, 1965).

Это отражается, разумеется, и на свойствах фурье-компонент корреляционной функции и()с) = и(1с). Вели бы между частицами жидкости действовали только силы с радиусом действия порядка атомных размеров а, то функция и(т) убывала бы с расстоянием по экспоненциальному закону с показателем г)а '). В терминах фурье-компонент это значит, что и(а) была бы регулярной функцией от )са, разложимой при )со « 1 по четным степеням аа. Дальнодействующие же силы приводят к появлению в г«()с) члена (обозначим его м1(к)), существенно меняющегося уже в области й 1/Ло (а не )«1/а), где Ло характерные длины волн в спектре жидкости (Ле » а). В области )са « 1 параметр 1сЛе может быть как малым, так и большим; функция и1(А;) в этой области имеет сингулярный характер.

Для вычисления корреляционной функции воспользуемся ее связью со второй вариационной производной от свободной энергии тела по его плотности. По определению, эта производная есть функция у(г), фигурирующая в выражении бГ = — у(~г1 — г2)) бп(г1) бп(г2) д~х1 д~х2 (83.2) 2,/ ') Речь идет о жидкости прн темпоратурах Т 81 (где О йи/а — «дебаевская температура» жидкости) и вдали от критической точки. Вблизи критической точки корреляционный радиус неограниченно растет (см. У,8 152,153). Он растет и при низких температурах, оказываясь при Т «О порядка величины йи)Т (см. ниже з 87).

~ 83 асимптотика коггвляционнои егнкции в жидкости 447 (см. Ч, (116.14)). Подчеркнем, что эта формула предполагает классичность флуктуаций, для чего требуется арго « Т, где ш частота колебаний с волновым вектором й. Полагая оз йи (где и скорость звука в жидкости), получим условие (83.4) Ййи « Т, что соответствует расстояниям и » Би(Т.

«Регулярная» часть функции ~р(й), связанная с короткодействующими силами, разложима по степеням й; ограничиваясь (при йа « 1) первым членом разложения и обозначив его через Ь, пишем ( (й) = Ь + Р,(й), (83.5) где со1(й) — интересующая нас «сингулярная» часть функции '). Ввиду относительной слабости ван-дер-вавльсовых сил р1(й) « Ь, и поэтому результат подстановки (83.5) в (83.3) можно представить в виде р(й) = — — 1 — — ~р1(й). Т Т пЬ ИЬ» (83.6) Поскольку связь и(й) с ез1(й) оказывается линейной, то функция и(г) на больших расстояниях есть просто и(г) = — — у1(г).

Т иЬ» (83.7) Первому же (не зависящему от й) члену в (83.6) отвечает коор- динатная функция вида сопэ1 б(г), связанная с близкодействую- щими силами (при пренебрежении их радиусом действия). ) Постоянная Ь выражается через термодинамические величины жидко- 1 /дР'г сти согласно Ь = — ( — ) (см. У, З 152). и ди т для изменения свободной энергии, связанного с флуктуациями плотности (при заданной температуре). Фурье-компонента ~р()с) = ~р(й) этой функции связана с искомой функцией и(й) соотношением т и(й) = — 1 (83.3) и м(Ь) элект»омАГиитные ФляктяАции ГЛ. ЯП! Для определения !22(г) исходим из формулы (80.11) для вариации свободной энергии.

Написав в ней бе(21,„г) = '('~') бп(г), (83.8) мы видим, что выражение 'Х ~~- ~~2 р (~ )де(2ь",) «=0 представляет собой первую вариационную производную свободной энергии по плотности. Для второго дифференцирования надо, в свою очередь, проварьировать это выражение, т. е.

найти ') ! 7' С- ~тб7) (~ )д ('1.) (83.9) Сама ь-функция удовлетворяет уравнению (79.8); ! д' — бпст+ — ' е(2~„г)б2т Р,Ь(~,: г, г') = дх1дх! с2 = — 42гйб2ь б(г — г'), (83.10) а его варьирование дает уравнение для вариации Ю-функции! ! д2 22 — Б!!Ь+ — 'е(2!„,)62! бР!ь(~,; г, г') = дх1дх! с2 2 = — — 'бе(2~„г)Юсв(~»; г, г'). (83.11) с Решение уравнения (83.11) можно написать сразу, заметив, что в силу (83.10) «невозмущенная» функция Р~ь является гриновской функцией этого уравнения; поэтому 2 бЮря(~«; г, г')= ' / де(21«, ги)А!ь(1«; г", г')22н(1,»; г", г) с(~хе 4ябс2 ) Варьируется только функция »ч!. Варьирование функции е привело бы к члену вида сопя« 6(Г) в 22(Г), не имеющему отношения к дальнодействующим силам.