IX.-Статистическая-физика-часть-2 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 89

При наличии дисперсии вязкости и теплопроводности величины !1, !",, Ат являются комплексными функциями частоты; при этом в формулах для флуктуаций !1, !,, А! заменяются вещественными частями этих функций: (в,ь8! ) =О, Ю 69 (я! яЬ ) = б;Ьб(г! — г2) й!УТс!Ь вЂ” Кем(ы), (вы в! )!у = Йюо(Г! Г2) с!Ь вЂ” х х [(б!!бьти + дгтбм — д!ьд!, )Ке!1(!А!) + д;ьбь,Ве~(н!)~ (88.21) 9 89. Гидродинамические флуктуации в неограниченной среде В этом параграфе мы рассмотрим гидродинамические флуктуации в неограниченной неподвижной жидкости. Эта задача может быть, конечно, решена изложенным в предыдущем параграфе методом. Мы, однако, сделаем это здесь другим способом, проиллюстрировав тем самым альтернативный метод решения задач о гидродинамических флуктуациях. Этот метод использует общую теорию квазистационарных флуктуаций в ее более ранней стадии, до введения случайньгх з 89 479 ФЛУКТУАЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ сил.

Напомним относящиеся сюда общие формулы (см. 'Ч, З 122). Пусть ха ~~~ Лаьхь (89.1) 6 (ха(Х) хсСО)) са ~~ Лаь(ха1Р) хс(0)). Р > О. (89.2) Начальным условием к этим уравнениям служат равенства (ХЕЯ Хс(0)) ~~ РЕ (ХЕХс)~ (89.3) где (х,х,) --- одновременная корреляционная функция, предпо- лагаемая известной. В область ~ ( 0 корреляционные функции продолжаются по правилу (х (К) х,(0)) = ~(х,1 — й) х,(0)), (89.4) причем верхний знак относится к случаю, когда обе величины х, и х, четны (или обе нсчетны) по отношению к обращению времени, а нижний знак к случаю, когда одна из величин четна, а другая нечетна. Решение уравнения (89.2) с условием (89.3) осуществляется путем одностороннего преобразования Фурье: умножив уравнение на е™ и проинтегрировав по ~ в пределах от 0 до со (причем интеграл в левой стороне уравнения преобразуется по частям), получим систему уравнений НС4~аХс) „> = ~~~ ЛЕЬ(ХЬХс),а + (ХаХс) ь (89.5) для величин (функций частоты) (ХЕХ6)~> = /Е™(Ха(с)ХЬ(0)) Гсс.

о (89.6) — макроскопические «уравнения движения» для набора величин х 1Г), описывающих неравновесное состояние системы (в равновесии все х, = 0); эти уравнения справедливы, если величины х велики по сравнению с их средними флуктуациями (но в то же время настолько малы, чтобы была допустима линеаризация уравнений движения). Тогда можно утверждать, что таким же уравнениям удовлетворяют (при 1 ) 0) корреляционные функции флуктуаций 480 ГНЦРОдинамические Флуктуации (т,хь) = е' '(х,(~)те(0)) <й = = (тать)~> ~ ((тат!!)~~ )* = (тат!!)ы + (тъяа) — а!! (89 7) где знаки х отвечают знакам в (89.4). Переходя к поставленной задаче о флуктуациях в неподвижной жидкости, прежде всего линеаризуем гидродинамические уравнения (88.6) — (88.8) с сг!ь и с1 из (88.9), (88.10) (без последних членов). Положив р = рс + Бр, у = цу, ... и отбрасывая нелинейные члены, получим — +РйУУ = О, ддр д! Р—" = — Ч5Р+ !1ЬУ+ (~+ "-) Ч!1!УУ, а~ з о«а !« д~ рТ (89.8) (89.9) (89.10) (после линеаризации индекс 0 у !юстоянных величин ре, ...

от- брасываем). В уравнениях (89.8) — (89.10) будет удобным сразу разделить скорость на потенциальную («продольную») и вихре- вую («поперечнуюР) части у! ! и у! ~ согласно определению У = У(! + ХГ!Ч, йу у~й = О, го1 у(О = О. (89.11) В (89.8) остается только продольная скорость: — Р+ РЖУУ(0 = О, д1 (89.12) а (89.9), распадается на два уравнения У~о = и Ь (О д! р (89.13) Р— = — '74Р+ (~+ — '!) ЧЖУУ(О. (89.14) Обычные же фурье-компоненты корреляционной функции вы- ражаются через величины (89.6) согласно 481 ФЛУКТУАЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННОН СРЕДЕ Уравнение для поперечной скорости независимо от остальных уравнений. Соответственно этому, и для корреляционной функции ее флуктуаций имеем одно уравнение — (н()(1, г) нь(~(0, О)) — НЬ(н()((, г)иь()(0, О)) = 0 (89.15) (где и = ц/р кинематическая вязкость). Подвергнув его одностороннему преобразованию Фурье, получим — гы(о()(г) нь (О))( ) — иЬ(н( (г) нь()(0))~~~ = (е( (г) еь()(0)) (где справа стоит одновременная корреляционная функция), или, переходя к фурье-компонентам по координатам: (0 (0 (; с )ь (и: нь )шй = нйс — тш Одновременная корреляционная функция флуктуаций скорости дается формулой (88.5); перейдя в ней к фурье-компонентам и отделив поперечную часть, имеем (89.16) Подставив это в предыдущую формулу, окончательно получим ').

(и, с, )„и = 2йе(с, и„) „= — (6ЕЬ вЂ” * (0 (0 00 (0 <,> 7 7 й,йь ~ й ) +.й' (89.17) Для остальных переменных имеем систему связанных друг с другом уравнений (89.10), (89.12), (89.14). Эта система, однако, упрощается в предельных случаях больших или малых частот. Дело в том, что возмущения продольной скорости и давления распространяются в жидкости со скоростью звука и, а возмущенная энтропия — согласно уравнению теплопроводности. Последний механизм требует времени 1/~~й2 для распространения возмущения на расстояние 1/к(;( — — РГ/рс -- температуропроводность среды).

Поэтому для частот, удовлетворяющих (при заданном значении волнового вектора) условию ,"((с~ << сс ки, (89.18) ') Легко видеть, что путем интегрирования выражения (8947) по йо/2к мы вернемся,как н следовало,к одновременной коррсляцнонной функции. 482 гл. ~х ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ можно считать, что флуктуируют только у(0 и Р при постоянной энтропии. Напротив, при (89.19) происходят изобарические флуктуации энтропии '). Рассмотрим сначала первую, высокочастотную область (89.18) и определим, например, флуктуации давления. Уравнение (89.14), переписанное для корреляционных функций, имеет вид — (У0) (1, г)6Р(0, О)) = — йгас1 (6Р(1, г) 6Р(0, О))+ + (~+ — 1) 8гадс11У (Уд)(1, г) 6Р(0., О)), а начальным условием к нему служит равенство нулю одновременной корреляции у(0 и 6Р. Произведя одностороннее преобразование Фурье по времени и полное преобразование по координатам, получим отсюда — пор (Ур) бР) ~+~ = — 11с(6Р )~ь~~ — (~+ — и) 1с(1сп(06Р)~+~.

(89.20) Далее, в уравнении (89.12) пишем 6 =(д ) 6Р+(~~) 6 = 1 бР— 2~дТ) б а дбв/дг выражаем с помощью уравнения (89.10), написанного в виде — '= — ( — ) ЬбР (членом с Лбе в правой стороне пренебрегаем по сравнению с дбе/д1 в силу условия 1~й2 << ю). Это приводит к уравнению — — — ~ ~ — 1 Ь6Р+ рд1УУ0) = О. из дс Т ' дР)з Соответствующее уравнение для корреляционных функций снова получается отсюда заменой 6Р и у10 соответственно на ) Неравенство Хк~ << ки выполняется в гидродинамической области всегда.

Так, в газах и ит и Х ит1, где ит — средняя тепловая скорость частиц, а 1 — их длина пробега. Поэтому неравенство Хй « и эквивалентно условию И « 1. 483 ФЛУКТУАЦИИ В НЕОГРАНИЧЕННОН СРЕДЕ (СР(с, г)6Р(0, О)) и (зр(1)(1, г)БР(0, О)), а начальным условием к нему служит (88.3). После фурье-преобразований это уравнение даст ~-'— ;рР" (РР) ~ ~рг),"„'р р[2 ЛрРСл=рт. [222р) Из двух уравнений (89.20), (89.21) находим после некоторых преобразований (хр ) = 2Ве (хр )1ы = 2Ве к рТи (2+ 2у™г(ия ) (89 22) ы(ы2 — 'езит + 2имит) где (89.23) (бр2) ртйч (ы ~ еи)2+ иэт2 (89.24) Эта формула справедлива при ) 2о ~ ки ~ < и 7 ').

В низкочастотной области (89.19) достаточно рассмотреть, как уже было указано, флуктуации энтропии, пренебрегая при этом флуктуациями давления. Это значит, что в уравнении (89.10) можно положить 5Т=( — ) ба= — бе (теплоемкость с„относится к единице массы). Поэтому для искомой корреляционной функции имеем уравнение того же типа, что и (89.15), а начальное условие к нему дается выра- жением (88.4).

В результате найдем 2се ХЬ 2 с 2/.4 д -ьх (89.25) ) Напомним (см. 2'1, З 79), что гидродинамичсский коэффициент поглощения звука всегда мал в газах (неравенство 7 « е автоматически следует из условия А1 « 1) и мал в жидкостях, в которых нет существенной дисперсии звука. коэффициент поглощения звука в среде (см.

Ъ'1, 9 79), а ут— его часть, связанная с теплопроводностью. Выпигпем окончательный ответ для области частот вблизи значений о2 = ~(си, где флуктуации особенно велики; !"т!. !х ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ Задача 1. Найти корреляционную функцию флуктуаций числа растворенных частиц в слабом растворе. Реп!ение. Плотность и числа растворенных частиц удовлетворяет уравнению диффузии д п — — Рглп д1 (Р -- коэффициент диффузии). В слабом растворе одновременные значения плотности в различных точках пространства не коррелированы друг с другом (подобно отсутствию одновременной корреляции для плотности идеального газа);поэтому одновременная корреляционная функция (6п(г!) 6п(гг)) = п6(г! — г,). Аналогично формуле (89.28), находим 2й1о~ Р * ыг + 'и'Р В этом решении мы пренебрегаем термодиффузией, вследствие чего флуктуации п могут рассматриваться независимо от флуктуаций температуры.

2. Найти корреляционную функцию флуктуаций давления в жидкости, обладающей большой диспергирующей второй вязкостью !,(ог) (связанной с медленной релаксацией некоторого параметра). Решение. Наличие медленных процессов релаксации приводит к появлению второй вязкости вида Ч(!о) = (и' — ио) 1 — гиэт где т — время релаксации;ио равновесная скорость звука;и, — скорость звука при постоянном значении релаксационного параметра (см.

У1,8 81). Уравнения (89.20), (89.21), а с ними и (89.22) справедливы также и при наличии дисперсии. Положив Ч = !,(ог) и пренебрегая членами, происходящими от и и я, получим после вычишгения г 2ТтРйо(и~ — иог) (иг,г !ьг)г+,гтг(иг,г !~г)г' 8 90. Операторные выражения для кинетических коэффициентов Полученным в 8 88 формулам (89.20), (89.21) можно придать новый аспект, прочтя их «справа налевоэ, т.