IX.-Статистическая-физика-часть-2 (Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. - Теоретическая физика в 10 томах), страница 88

При этом в формулу (3) существенно входит й, так что описываемая ею корреляция имеет квантовый характер. Отметим, что при выводе мы пренебрегали вкладом ван-дер-вавльсовых сил. Как следует из результатов 383, этот вклад имеет степенной характер и является главным на достаточно больших расстояниях. Расстояния, иа которых происходит переход от (3) к (83.16), зависят от конкретного соотношения между коэффициентами, но область применимости формулы (3) всегда имеется при достаточно низких температурах, поскольку на границе области применимости при г йн7Т, согласно (3), и сс Т, а согласно (83.16), и сс Т . 3 88. Гидродинамические флуктуации В предыдущих параграфах мы рассматривали флуктуации плотности жидкости при произвольных частотах ог и волновых векторах гс. При этом, разумеется, конкретный вид корреляционной функции не мог быть найден в общем случае. Это можно, однако, сделать в гидродинамическом пределе, когда длина волны флуктуаций велика по сравнению с характерными микроскопическими размерами (межатомными расстояниями в жидкости, длиной свободного пробега в газе).

Вычисление одновременных корреляционных функций флуктуаций плотности, температуры, скорости и т. п. в неподвижной Гндгодинами !вские Фляктукцнн !ч!. !х (~бТ) т) т' для флуктуаций температуры в объеме И (р с„теплоемкость, отнесенная к единице массы сначала (ЬТ(га) БТ(ге)) = боь! рс, г' плотность; среды) пишем где флуктуации относятся к двум малым объемам 1г и 1!м Устре- мив затем величину объемов к нулю, получим ') т' (бТ(г!) бТ~гэ)) = — б(г! — гг). рс„ (88.1) ) Эта и следующие формулы для одновременных корреляций в случае газов справедливы для флуктуаций с длинами волн, большими лишь гю сравнению с межмолекулярными расстояниями, но не обязательно большими по сравнению с длиной пробега.

Последнее условие требуется, однако, для разновременных корреляционных функций в гидродинамическом приближении (поскольку микроскопический механизм расиространения возмущений в газах определяется именно длиной пробега частиц). жидкости не требует особого исследования: эти флуктуации (в классическом, т. е. нсквантовом пределе) описываются обычными термодинамическими формулами, справедливыми для любой среды, находящейся в тепловом равновесии.

Корреляции между одновременными флуктуациями в различных точках пространства распространяются на длины порядка величины межатомных расстояний (при этом мы пренебрегаем слабыми дальнодействующими ван-дер-ваальсовыми силами). Но эти расстояния рассматриваются в гидродинамике как бесконечно малые. Поэтому в гидродинамическом пределе одновременные флуктуации в различных точках не коррелированы. Формально это утверждение следует из аддитивности термодинамической величины минимальной работы Вш!ш требуемой для осуществления флуктуации.

Поскольку вероятность флуктуации пропорциональна ехр( — Яш|Т), то, представив Л !„в виде суммы членов, относящихся к отдельным физически бесконечно малым объемам, мы найдем, что вероятности флуктуаций в этих объемах независимы друг от друга. Имея в виду эту независимость, можно сразу переписать известные формулы для средних квадратов флуктуаций термодинамических величин в заданной точке пространства (см. У, ~ 112) в виде формул для корреляционных функций. Так, согласно формуле 2 88 475 ГИДРОДИНАМИ 1ЕСКИК ФЛУКТУАЦИИ Аналогичным образом записываются формулы для флуктуаций других термодинамических величин; (бр(г1) бр(г2)) = рТ ( — ~) б(г1 — г2), (88.2) (бР(г1) бР(г2)) = рТ вЂ” ~ б(г1 — г2) = рТи б(г1 — г2), (88.3) ~ арт (бв(г1) бв(г2)) = '— " б(г1 — г2) (Р давление; в энтропия единицы массы среды); при этом флуктуации пар величин р, Т и Р, в независимы.

Выпишем также формулу для флуктуаций макроскопической скорости жидкости ч (равной нулю в равновесии): (би;(г1) биь(г2)) = — б;ь б(г1 — г2). т (88.5) Специфичным для гидродинамики является вопрос о временных корреляциях флуктуаций, а также вопрос о флуктуациях в движущейся жидкости. Решение этих вопросов требует учета диссипативных процессов в жидкости вязкости и теплопроводности. Построение общей теории флуктуационных явлений в гидродинамике сводится к составлению Фуравнений движения> для флуктуирующих величин. Это может быть сделано путем введения соответствующих дополнительных членов в гидродинамические уравнения (Л.Д. Ландау, Е.

М. Лифшиц, 1957). Уравнения гидродинамики, написанные в виде — + и'1ч(рч) ар ас а, о, р — '+р ь а а., (88.6) =О, дР да,'А (88.7) дх, дхА тдх , /ах, ах,'1 рТ ( — + ч~в~ = — а;„( * + — ) — 41 с1 д~ 2 ' (,дхА дх;) (88.8) без спецификации вида тензора напряжений а!ь и вектора потока тепла с1, выражают собой просто сохранение массы, импульса и энергии. Поэтому в такой форме они справедливы для любого движения, в том числе для флуктуационных изменений состояния жидкости. При этом под р, Р, ч, ... надо понимать сумму значений величин ре, Ре, че, ... в основном движении и их флуктуационных колебаний бр, бР, бч, ...

(по последним, конечно, уравнения всегда могут быть линеаризованы). ГИДРОДИНАМИЧЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ гг!. !х Обычные выражения для тензора напряжений и потока тепла связывают их соответственно с градиентами скорости и градиентом температуры. При флуктуациях в жидкости возникают также местные спонтанные напряжения и потоки тепла, не связанныс с указанными градиентами; обозначим их через в,ь и и и будем называть «случайными». Таким образом, запишем гтггь —— !1 1 ' + — — — 5,ь !1!Уч + (бгъ дх~ч + вгъ, (88.9) ! / дса да! 2 1,д*, д*, з ' с1 = — Р!ЧТ + и (88.10) общей теории квазистационарных флуктуаций (см.

Ъ'г (122.20)), причем в качестве величин х, выберем значения компонент тен- зоРа гтъ и всктоРа с1 в кажДом из Участков Ь'г', тогДа величина- ми уа являются вгъ и и! ! аа + гтг!гг Чгг Уа + вгаг йг (88.12) Смысл же термодинамически взаимных величин Ха выясняется путем привлечения формулы для скорости изменения полной (!1, !, — коэффициенты вязкости; Ат — коэффициент теплопроводности). Задача заключается теперь в установлении свойств вгвг и и в определении их корреляционных функций. Для простоты проведем все рассуждения для естественного в гидродинамике случая нсквантовых флуктуаций; это значит, что частоты флуктуационных колебаний предполагаются удовлетворяющими условию г!Иг « Т.

При этом коэффициенты вязкости и теплопроводности будем считать не диспергирующими, т. с. не зависящими от частоты колебаний. В общей теории флуктуаций (изложснной в Ъ',~119 — 122) рассматривается дискретный ряд флуктуирую!цих величин х!, хз, ..., между тем как здесь мы имеем дело с непрерывным рядом (значения р, Р, ... в каждой точке жидкости). Это несущественное затруднение мы обойдем, разделив объем тела на малые, но конечные участки Ь'г' и рассматривая некоторые средние значения величин в каждом из них; переход к бесконечно малым элементам произведем в окончательных формулах.

Будем рассматривать формулы (88.9), (88.10) в качестве уравнений аа — Х~' ~аьХь + уь (88.11) ь 3 88 477 ГидгодинАми 1ескив ФлуктуАции энтропии жидкости Я. Обычным путем (ср. 1Ъ', 3 49) с помощью уравнений (88.8)--(88.10) находим я = а' д" + дие ц'~т,л (88.13) Заменив этот интеграл суммой по участкам ЬЪ' и сравнив его затем с выражением Я= — ~~ хХ, а найдем,что Х, -+ — — ( — *+ ~' ~ ЬЪ; — — ЬК (88.14) 2У ~,да~ да,/ 7а да, ТепеРь легко найти коэффициенты 7 м непосРедственно определяющие искомые корреляции согласно формулам (УаЫУьЖ) = (агав+ П ) 5(11 — Ьз) (8815) (см.

у', (122.21а)). Прежде всего замечаем, что в формулах (88.9), (88.10) нет членов, которые связали бы сг!ь с градиентом температуры, а с1 с градиентами скоростей. Это значит, что соответствующие коэффициенты 7 в = 0 и в силу (88.15) имеем (в,у,(~ы г1)д(~з, гз)) = О, (88.16) т. е. значения в,ь и н вообще не коррелированы друг с другом. Далее, коэффициенты, связывающие значения щ со значениями (М1(Т~)дТ(дгн равны нулю, если эти величины взяты в разных участках Ь$', и равны у,ь = АгТУбп,/ЬЪ', если они берутся в одном и том же участке. С этими значениями уав по формуле (88.15) получим после перехода к пределу ЬЪ' — Р 0: (и (1М г1) ЯЬ(~З, гэ)) = 2МТ~ 5;Р 5(г1 — гэ) б(~1 — 1З).

(88.17) Аналогичным образом получаются формулы для корреляционных функций случайного тензора напряжений (в;ь(1м г~)в~ (1з, гз)) = =2Т~т~(боб~„„+б,„,бы)+ (» — ~) 5;ьб~ ~ 6(г1 — гз)б(11 — ~2). (88.18) 478 !У!. !Х ГИДРОДИНАМИ !ЕСКИЕ ФЛУКТУАЦИИ Формулы (88.16) (88.18) решают, в принципе, поставленный вопрос о вычислении гидродннамических флуктуаций в любом конкретном случае.

Ход решения задач при этом таков. Рассматривая в;ь и и как заданные функции координат и времени, решаем формально линеаризованные уравнения (88.6) — (88.8) относительно величин бр, оу, учитывая при этом необходимые гидродинамические граничные условия. В результате получим эти величины, выраженные в виде некоторых линейных функционалов от е!пи к.

Соответственно любая квадратичная по др, бу,... величина выражается через квадратичные функционалы от в!ы и, после чего их среднее значение вычисляется с помощью формул (88.16) (88.18), и вспомогательные величины е,ы выпадают из ответа. Выпишем формулы (88.16) (88.18) также и в фурье-компонентах по частотам, причем сделаем это сразу в виде, обобщающем формулы на случай квантовых флуктуаций. Согласно общим правилам флуктуационно-диссипационной теоремы, такое обобщение достигается путем введения дополнительного множителя (Бы7'2Т) с1Ь(йь!/2Т) (обращающегося в единицу в классическом случае, ль! « Т).