Антидемидович 4 - ТФКП (Антидемидович), страница 6

Равенство (1) можно также записать в виде р(А, В) = !п( р(х, В) (2) *ЕА если А гз В ~и, то р(А,В) = О, однако р(А, В) = О ~. А гз В пн, пусть например, А = И, В = (х„Е Я~ х„= и — -'; и Е Щ Ц) . Тогда ! р(А, В) = (п( — = О. и АПВшд1, Определение 5. Пусть (Х, р) — мегприческое пространство, А С Х вЂ” непустае множество. Диаметрам множества А называется число д(А) = Уцр Р(х, У)- ЕА.уЕА Из определения следует, что диаметр нспустого множества может быль неотрицательным действительным числом или +со. Если А С В, то д(А) ( д(В).

Равенство г!(А) = О выполняется тогда и только тогда, когда А — одноточечное множество. Если диаметр множества А конечный, то оно называется ограниченным. Теорема. Объединение двух аграничгнныхмпажеств А и В является ограяиченлыммножгсввом. щ Если а Е А, Ь Е В и х, у — любые точки множества А О В, талибах Е А л У Е А и тогда р(х, у) < д(А), либо х Е В, у Е В и тогда р(х, у) ( д(В), либо, например, х Е А, у Е В и тогда вследствие неравенства треугольника полу«асм неравенство р(х, у) < р(х, а) + р(а, Ь) Е р(Ь, у), поэтому д(А О В'1 < р(а, Ь) + д(А) + д(В).

(4) Пусть е > О. По свойству точной нижней грани найдется такая пара точек а' Е А, Ь' Е В, что р(А, В) ( р(а', Ь ) < р(А, В) + г. Поскольку а и Ь вЂ” произвольные точки, то, полагая в неравенстве (4) а = а', Ь = Ь'. получим оценку д(А ГЗ В) < р(А, В) -1- д(А) + д(В) + е. В силу произвольности выбора е > О имеем д(А (з В) < р(А, В) + д(А) + д(В). ~ Следствие. Если множество А ограниченное, то (гху Е Х множетпва А содержится в замкнутом шире с центром в точке ху и радиусом г = р(хв А) + д(А). 3.3. Открытые множества.

Определение 1. Открытым множеством в метрическом простринстве (Х, р) называется подмножество 0 С Х, имеющее свойство; (чх Е 6) (Эб > О): Ог(х) С О. Из определения следует, что пустое множество открытое. Все множество Х также открытое.

Теорема 1. Каждый открытый шар является открытым множеством. щ Пусть (Х, р) — метрическое пространство. Если х Е Ог(ху) С Х, то р(ху, х) < б и 6, = 6 — р(ху, х) > О. Тогда р(х, у) < бы если у Е Ог,(х). Оценим расстояние р(хв, у). Согласно неравенству треугольника имеем р(хв, у) ( р(ху, х) + р(х, у) < р(хо~ х) + 6, = б. Таким образом, выполняется включение Ог, (х) С Ог(ху), т.

е. точка х входит в множество Ог(хр) с некоторой окрестностью. Ь б 3. Метрические пространства Теорема 2. Обьвдинениелюбого семейства (6„)„ел открытых множеств есть открытое множество. щ Если х Е 6« для некоторого Л Е А, то существует такое 6 > О, что Ов(х) С Ол С ]„] 6». ш нел На действительной прямой любой интервал (а, +со) открьгт как объединение открытых множеств (а, х) для всех х > а. Теорема 3.

Пересечение конечного семейства открытых мнохгеств есть открытое множество. щ Достаточно рассмотреть случай двух открытых множеств 6, н О„а затем провести индукцию. Если х Е 6~ П Оз, то существуют такие 6~ > О и 6, > О, что Ощ (х) С 6,, ОЕ(х) С 6, и Ог(х) С 6~ Л Ог где 6 = пнп(бн Ьг). 1» Пересечение бесконечного семейства открытых множеств, вообще говоря, не является открытым множеством. Например, пересечение интервалов (--, -), п Е К на действительной 1 1ч прямой есть одноточечное множество (О], которое считается замкнутылк 3.4. Внутренность множества. Пусть (Х, р) — метрическое пространство. Определение 1. Открытой окрестностью множества А С Х называется любое открытое множество, которое содержит А. Окрестностью множества А называется любое множество, содержащее открытую окрестность А.

В случае, когда А = (х], ведут речь об окрестности точки х (а не множества (х]). Определение 2. Точка х Е Х пизывавтсл внутренней точкой множества А С Х, если А является ге окрестностью. Ьзпожвство всех внутренних точек множества А называется вго внутренностью и обозначается символам (пгА '.

Внутренность любого промежутка с начатом а и концом Ь (а < Ь) на действительной прямой есть интервал (а, Ь), так как точки а и Ь не мозуг быть внутренними точками промежутков [а, Ь], (и, Ь), (а, Ь]. Теорема 1. Дня любого множества А С Х внутренностью )пь А является наибольшее открытое множество, содерлсащевгя в А. щ Если х Е !о!А, то существует открытое множество 6 С А, содержащее точку х. Для любой точки у Е 6 множество А по определению 1 является ее окрестностью, поэтому у Е ш! А.

Итак, 6 С !и!А, )пгА = 0 (х] С 0 6„С 1п!А. По теореме 2, п.3.3, множество 1пгА е~«~ А ы !А открытое. Если В С А — открытое множество, то из определения 2 следует, что В С )п! А. Таким образом, открытые множества характеризуются условием А = !п! А. г» Следствве.

Если А С В, то (пг А С !и! В. Теорема 2. Дт любав лары лгпожеств А и В вьгполняетсл равенства (пг(А О В) = (п! А гз !п! В. щ Включение 1пг(А П В) С )и!А гз (и!В получаем нз следствия. Согласно теореме 3, п.3.3, пересечение (пгА и (п! В является открытым множеством и содержится в пересечении А О В.

По теореме 1, выполняетса включение !п! А гз )пг В С )пг(А гз В). Из полученных включений следует справедливость утверждения. Ш Внутренность непустого множества может быть пустым множеством, например, для одноточечного множества (х] на действительной прямой 1пг(х) =в. Определение 3. Внутрвннял точка множества Х1А называется внешней точкой для А, а внутренность множества Х1А — мнохгест вам внешних точек множества А. Теорема 3. Для того чтобы точка х Е Х бьиа внешней для А, необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие р(х, А) > О.

т Необходим ость. Если х Е Х вЂ” внешняя точка для А, то существует шар Ов(х) С Х1А (6 > О). Для любой точки у Е А имеем р(х, у) > 6, следовательно, р(х, А) = 1п( р(х, у) > 6 > О. зал Счфаш«иуз «го пь««ыиие«г — «умл и в. 1б Гл, 1. Основные структуры математического анализа Достаточность. Пусть * б Х. Обозначим 6, = р(х, А). Из условия 6, ) О следует включение Оо, (х) с х'1А, вследствие чего х является внутренней точкой множества х)А.

и 3.5. Замкнутые множества, точки ирякосиовеиия, замыкание множества. Пусть (Х, р) — метрическое пространство. Оиределеиие 1. Мнахсества Г С Х называетсл замкнутым, если ега дополнение СР лвлявтгя открытым множеством. Пустое множество, а также множество Х замкнуты. Промежутки [а, +оо), (-оо, а) и множество Т вЂ” замкнутые множества на числовой прямой. Промежутки [а, 6) н (а, Ц не являются ни открытыми, ни замкнутыми множествами.

Теорема 1. Замкнутый шар Оо С Х(хо) и сфера Я(хо, 6) С Х являются замкнутыми множествами. т Если* Ф 0г(хо), то р(х, 0о(хо)) )- р(хо, х) — 6 ) О, в силу чего открытый шар с центром в точке х н радиусом 6, = р(хо, х) — 6 содерзсится в дополнении шара Оо(хо). Следовательно, это дополнение — открытое множество. Дополнение сферы Я(хо, 6) является объединением открытого шара Оо(хо) и дополнения шара Ог(хо).

По теореме 2, п. 3.3, это объединение есть открытое множество. И Теорема 2. Пересечение любого семейства замкнутых множеств замкнута. Объединение конечного семейства замкнутых мнахгеств замкнута. м Если уа б А множества Р замкнупв, то множества СГ открыты. Согласно второй формуле в (2), п. 1.4, имеем С[[Р = [)СГ. (1) ол ол По теореме 2, п.3.3, множество [ [ СР„открыто, в силу чего и множество С П Р„является ол ол открытым.

Тогла по определению множество [ ) Р замкнуто. ол Докажем вторую часть теоремы. Пусть Р, (! = 1, и) — замкнутые множества. Перейдя к дополнениям по первой формуле в (2), п. 1.4, получим (2) Так как множества СР; открыты, то, согласно теореме 3, п.3.3, множество [ ) СР, является открытым, а вместе с ним и множество С 0 Р,. Следовательно, множество [ ) Р, замкнуто. и ш! В частности, одноточечное множество замкнуто. Определение 2. Точка хо б Х называвтсл точкой лрикаснавенил мнолсества А С Х, если любая окрестность Оо(хо) имеет с А нвлустае лерегенение, Млахгества всех тачек лрикасноввния множества А называетсл его замыканием и обозначается символом А. Если х б Х вЂ” не точка прикосновения множества А С Х, то х является внутренней точкой дополнения СА.

Поэтому замыкание множества А есп, дополнение множества его внутренних точек: А = С!и! СА. Например, замыкание открытого шара Оо(хо) содержится в замкнутом шаре Оо(хо), но может не совпадать с ним. Поскольку !и! СА есть наибольшее открьпое множество, содержашееся в СА, то А есть наименьшее замкнутое множество, содержашее А. В частности, если А замкнуто, то А = А. Теорема 3. Дол того чтобы точка хо Е Х бота точкой лрикаснавения множества А С Х, необходимо и достаточна, чтобы р(хо, А) = О.

т Необходимость. Пусть хо Е Х вЂ” точка прикосновения множества А С Х. Тогда хо б !и! СА и, согласно теореме 3, п.3.4, р(хо, А) = О. Достаточность. Если р(хо, А) = О, то любая окрестность Оо(хо) имеет с множеством А непустое пересечение. м б 3. Метряческпе прострапетва 17 Теорема 4. Если хь ч Х вЂ” точка лрикосновения мнохсества А С Х и хь в А, то чб ) О множество Ог(хь) п А бесконечное.

ц Допустим, что зто не так и для некоторого бь ) О Ог,(хь) и А = (у„у„..., у„). По предполозсению 2'2, = р(хь, уь) ) О (й = 1, и). Выберем г ) О так, чтобы О (хь) С Оз,(хз) и г < пнп(г„г„..., г„). Тогда 0„(х,) г2 А =2П вопреки предположению, что хь — точка прикосновения множества А. и Определение 3. Точка хь б Х называется предельной точкой множества А С Х, если она является точкой ярикосновения мнохсества А2(хь). Из теоремы 4 слецует, что любая б-окрестность предельной точки множества А С Х содержит бесконечное множество точек из А. Пусть хз б Х вЂ” предельная точка множества А С Х.