Антидемидович 4 - ТФКП (Антидемидович), страница 10

Из (2) и (3) получаем, что ч!е > 0 Зб > 0: ч(Х~ Е Рд г Хг Е Рд,г) (рк(аг Хг) < б) ~ ра(Л(Хг), (г(Хг)) < Е, $6. Предел и непрерывность отобраагеиия аз одного метрического пространства в другое 25 т. е. отображение б = д о 1 равномерно непрерывное. м Теорема 2 (Кантор). Зелкве непрерывное на компакте отображение У: Х ч У равномерна непрерывное. М Пусть Р1 — компакт, 1 — непрерывное отображение. Предположим, что 1 не является равномерно непрерывным. Тогда существует такое ео ) О и две последовательности (х„), (у„) точек множества Р1, что рх(х„, У„) < -„', однако ру(1(х„), у(у„)) ) ео. Найдется подпоследовательность (х„ь), сходящаяся к некоторой точке х, е Р1 (поскольку Р1 — компакт).

так как Рх(х „У ь) < — „, и рх(хо, У ь) < Рх(хо, х»„)+ рх(х „У ь), то У„хо при а оо. Из непрерывности отображения 1 в точке хо Е Р1 следует, что для указанного ео существует б > О; Рх(хо, х) < б ~ Рг(((хо), Т(х)) < *з . Возьмем номер й Е (4, при котором рх(хо, х„) < б и рх(хо, У,) < б. Тогла рг(((х„ь), ((у„,)) < ру(((хи), Т(хо)) + ру(((хо), у(У„,)) < ео, что противоречит определению последовательностей (х„) и (у„).

М 6.6. Гомеоморфизмы. Эквивалентные расстояния. Пусть (Х, рх) и (У, ру) — метрические пространства. 1 Овределение 1. Биективное атабрахгение Х ь — У называется гомеамарфизмам, если ( и 1 ' непрерывны Такие отображения называются взаимна непрерывными. В этом случае обратное отображение У ' является гомеоморфизмом У на Х. 1 Теорема Р Пусть (Х, рх), (У, рг), (В, рл) — метрическое пространства, Х У, У Я вЂ” гамеамарфизмы. Тогда композиция )ь = д о 1 лвллетсл гамеамарфизмам Х на Я.

т По теореме ), п.6.2, биективное отображение Х Я непрерывное. Пусть хо Е Х. Согласно теореме 4, п. 6.4, прообраз Б '(У") каждой окрестности Ун точки б(хо) = (д о УКхо) в ь-' множестве Я является окрестностью точки хо в Х, В силу этого и биекция Я Х непрерывна в точке (ь(хо). Поскольку хо — произвольная точка, то )ь ' — непрерывное отображение. в 1 з Гомеоморфизм может не быть равномерно непрерывным, например, !к !й, где 1(х) = х . Определение 2. Метрические пратнранетва (Х, рх) и (У, р ) называютел гомеамарфными, 1 если существует гомеомарфизм Х ь — ч У.

Теорема 2. Два метрических пространства, гомеамарфные третьему, гвмеаморфны друг другу. т Если пространства (Х, рх), и (У, ру) гомеоморфны пространству (Я, рз), то существуют гомеоморфные отображения Х ь Я и У Я. Отображение В У гомеоморфное По 1 о в теореме ! композиция д ' о 1 является гомеоморфизмом Х на У. м Пусть (Х, р,) и (Х, р,) — метрические пространства. Если тождественное отображение х чч х является гомеоыорфизмом, то р, и рз называются эквивалентными или типологически эквивалентными расстояниями в Х.

Из теоремы 7, п. 6.4, видно, что в этом случае в (Х, р,) и (Х, р,) совпадают семейства открытых множеств. Топологией метрического пространства (Х, рх) называют семейство открытых множеств в нем. Эквивалентные расстояния порождают одну и ту же топологию. Окрестности, замкнутые множества, точки прикосновения, замыкания, внутренность множества, множества внешних точек, плотные множества, границы, непрерывные функции являапся топологическими понятиями. Топологические свойства метрического пространства инвариантны при гомеоморфизмак.

Понятия шаров, сфер, диаметра, ограниченного множества, равномерно непрерывной функции не являются топологическими. Глава 2 Комплексные числа и функции комплексного переменного 4 1. Комплексные числа и комплексная плоскость В элементарном курсе алгебры возникновение понятия комплексного числа по большей части связывают с уравнением х + ! = О. Прежде всего выясняется, что не существует действительных чисел, которые удовлетворяли бы этому уравнению. Тогда вводится в рассмотрение новое "мнимое" число ! = »Г — 1, и указанное уравнение уже имеет корни х»2 Зател» рассматриваются "комплексные числа" х +»у как суммы действительных чисел х и "мнимых" чисел (у.

Правила действий с этими новыми числами позволяют проводить над ними операции, как над действительными числами, заменяя в конечных результатах»' на — 1. После введения новых чисел оказывается, что все квадратные уравнения вида х'+ рх+») = О и, вообще, все уравнения вида х" + р х" ' + ... + р„,х+ р„= О с произвольными коэффициентами имеют решения. Описанный способ введения комплексных чисел не может нас удовлетворить, поскольку порождает взгляд на них как на объекты, не существующие реально, в буквальном смысле слова "мнимые".

Мы пойдем иным путем, а именно, придав схеме введения комплексных чисел щометрический оттенок. 1.1. Определение комплексного числа. Рассмотрим плоскость К' и кажлую ее точку х = (х, у), где х Е К, у Е К будем считать вектором. В соответ- У стени с этим определим модуль з, а также алеранию сложения з» = (х», у,) и зз = (хг, уз) по известным правилам для векторов (рис.

10) (Г( =,/Х'+ У', Х = Х» + Хз ЕЬ Х = Х, Е Хз Л У = У, + У». (1) По тем же правилам»уо Е К полагаем ог = (ах, ау). Согласно теории векторов на плоскости, х можно разложить по векторам 1 = (1, О) и» = (О, 1) (рис. 11): (2) Возникает вопрос, можно ли, сохранив равенства (1) и (2), определяющие операции нал векторами, ввести апе- г .ю рацию умножения точек плоскости К', превратив их в числа, называемые далее комплексными? Требование сохранения равенств (1) и (2) является существенным. Без них мы могли бы взять обратимое отображение К на К и принять его за изоморфизм упорядоченных полей, превра- » тив К' в мало полезное для приложений представление упорядоченного поля действительных чисел.

в!. Комплексяые числа и комплексная плоскость 27 Будем считать вектор 1 единицей операции умножения. Тогда, принимая во внимание равенство (2), для положительного ответа на поставленный выше вопрос достаточно правильно определить произведение г г = гг. Поскольку ! г = г, т. е. точку (О, !) получим из точки (1, О) поворотом плоскости Гч~ против хода часовой стрелки на угол †, то полагают г = — !.

(3) Пользуясь равенствами (2) и (3), запишем для я = (х, у) соотношения (4) я ' г = (х ' ! + у ' г)г = — у ! + х ' г = ( — у, х). х! д г .гг Рчг. г! Точка (-у, х) получается из точки (х, у) поворотом пяоскости П против хода часовой стрел- г кн на прямой угол (рис. !2). Поворот на другой угол можно будет запать с помощью умножения не на г, а на другое комплексное число. Сказанное подтверждает важность для математики комплексных чисел. Прибегая к ним, можно изучать важнейшие преобразования плоскости: сдвиг, поворот, гомотетию. Теперь запишем правило умножения точек плоскости гч~.

Имеем (х„уг)(х„у ) = (х, . 1+ уг !)(хг ! 4 у, -г) = (х хг — у уг)1+(х у,-1-х уг)г, (хг УгХхг Уг) = (хгхг Угуз хгуг + хгуг). (5) Определение. Числоаая плоскост~ !к~ называется комплексной ля о с каст ь ю С, если для ее тачек определены модули, операции сложения и умножения по формулам (1), (5). Гочки комплексной плоскости иазыяаются комплексам.ии числами. Множество действительных чисел определяется однозначно лишь с точностью до изоморфизма.

Поэтому комплексные числа х 1, где х Е !и, дают другое представление числовой прямой Н и вполне могут быль приняты за действительные числа. Таким образом, комплексные числа содержат в себе все действвтеяьные, т. е, С Э 12. Отметим, по комплексные числа так же, как и лействитеяьные, определены однозначно лишь с точностью до изоморфизма. Упрощая запись, вместо х ! будем писать х.

С той же целью будем пнсатыу вместо у. г. Тогда комплексное число я = (х, у) принимает вид я = х+ гу, х б Гч, у Е !й. Числа х и у по традиции соответственно называются дейстяительиой и мнимой частями комплексного числа я и обозначаются символами х = Кея, у = 1ш я. Таким образом, комплексное число я = (х, у) представляет собой упорядоченную пару, комплекс, составленный из действительных чисел х и у ("комплексное" — составное ). Название "комплексное число" предложил К.

Гаусс (!777 †18), символ ! ввел в рассмотрение Л. Эйлер (!707-1783). Число я = х — гу называется сопряхсенным числу я = х+ !у и обозначается через я. Очевидно, ч .у — 1!г Необходимо проверить, образуют ли комплексные числа поле. Очевидно, операция сложения удовлетворяет тРебуемым аксиомам, поскольку отвечает операции сложения векторов. Читатель может проверить аксиомы сложения, не прибегая к векторам, а исходя из определения суммы в 28 Гл.