Антидемидович 4 - ТФКП (Антидемидович), страница 3

В. Шабат, И. И. Привалов, А. И. Маркушевич, А. В. Бицадзе, М.А. Евграфов, А. Гурвиц, Р. Курант и другие. К сожалению, большинство из них не приспособлено как по объему, так и по выбору и распределению материала к учебным программам по теории функций комплексного переменного для физико-математических факультетов университетов России и других стран СНГ. Ничтожно мало написано пособий по решению задач. Начинающему преподавателю, а тем более студенту и аспиранту, нелегко выделить из объемистой книги основной материал так, чтобы образовался целостный, логически завершенный курс, отвечающий учебной программе. Указанные выше обстоятельства натолкнули автора на мысль о необходимости написания на современном уровне требований книги, которая соответствовала бы учебным университетским программам по данному предмету, не была перегружена частностями и содержала большое количество решенных задач.

В книгу включено порядка четырехсот решенных задач средней и повышенной трудности. Характерной чертой многих книг по теории функций комплексного переменного является разнобой и нечеткость основной терминологии. Например, основное понятие аналитической функции в разных местах одной и той же книги может иметь разный смысл.

Это обстоятельство принято во внимание автором, и все рассматриваемые понятия имеют вполне определенный смысл. В первой главе книги дано строгое определение функции (а не описание ее, как это принято в большинстве учебников), рассмотрены операции над множествами и основные вопросы теории метрических пространств. Без включения этого материала в книгу изложение основных вопросов на современном математическом уровне оказалось бы невозможным.

Поэтому читателю будет полезно хотя бы бегло прочитать эту небольшую по объему главу для понимания остальных глав, включающих традиционные вопросы, относящиеся к теории аналитических функций„ которая бьша создана в Х)Х столетии в первуго очередь благодаря работам О. Коши, Г. Римана, К. Вейерштрасса. В книге уделено большое внимание практическим вопросам конформных отобрюкений. Новыми для читателя окажутся понятия интеграла Ньютона — Лейбница и производной Ферма— Лагранжа. Книга рассчитана на широкий круг читателей, владеющих знаниями в объеме стандартных программ по математическому анахиту для студентов физико-математических специальностей университетов.

Автор Глава 1 Основные структуры математического анализа В этой главе содержатся основные сведения, относящиеся к теории множеств и отображений, используемые в дальнейшем при изложении основного материала книги. Достаточно полно отражена теория метрических пространств. Рассматриваю~ся понятия и употребляется символика, принятые в курсах современного математического анализа. ф 1.

Элементы теории множеств и отображений 1.1. Некоторые логические символы. В математике часто вместо словесных вырюкений употребляют символику, заимствованную из логики. Так, вместо вырюкений "лля всех", "для каждого*', "для любого" употребляют знак 1Г, а вместо слов "существует", "найдется" — знак 3. Их называют соответственно квант«ром общности и квантарам существования. Предложения цшя всех... *' и "существует... " часто сопровождаются некоторыми ограничениями. Обычно эти ограничения записывают в круглых скобках. Вместо слов "такой, что*' употребляют двоеточие или вертикальную черточку.

В формулировке каждой теоремы содержится некоторое свойство А (условие) н свойство В (заключение), выводимое из А. Коротко выражение "А влечет В" записывается в виде "А ю В" (ю — символ изиыикации). Обратная теорема, если она справедлива, запишется в виде В ю А. Если данная теорема и обратная ей — справелливы, то свойства А и В эквивазентны, н то~да записывают А В (~-~ — символ эквивалгн«июсти), что выражается в форме: "Для того чтобы А, необходимо и достаточно, чтобы В", или "А тогда и только тогда, когда В".

Если некоторый объект обладает свойством А или свойством В, то пишут А У В, а также "А или В" (У вЂ” символ дизъюнкции). Запись А У В означает, что справедливо хотя бы одно из свойств А или В, Если оба свойства А и В справедливы одновременно, то это записывается в виде А л В, или "А и В" (Л вЂ” символ конъюнкции). Запись "А обозначает "не А", "не верно, что А" (" — символ отрицании). Вместо выражения "существует единственный*' употребляют знак !, а вместо выражения "равно по определению" — знак =. Утверждение может быть записано с помощью одних лишь логических символов. В этом случае отрицание свойства, содержащего некоторое количество кванторов Ч, Л и свойство Р, должно получаться заменой каждого клаппера Ч на 3, 3 на Ч и свойства Р— на его отрицание.

Например, свойство непрерывности числовой функции в любой точке числовой прямой записывается одной строкой: ()Га Е )й) (Уг > О) (Зб > О) (Ук Е В„!я — а~ < б):!У(к) У(а)! < г. Свойство числовой функции действительной переменной не быть всюду непрерывной, т,е. иметь разрыв хотя бы в одной точке, запишется в виде: (За Е К) (Зг > О) (Чб > О) (Зх Е Я, /я — а! < 6): 1~(Я) 1(а)! > г.

Некоторые теоремы будем доказывать методом ат «ративнага. При этом также используется «ранца«исключенного трвтъега, вследствие чего высказывание А Ч "А (А или не А) считается б 1. Элементы теории мналгеета и отображений истинным независимо от конкретного содержания высказывания А. Одновременно считается, что "("А) А, т.е. повторное отрицание равносильно начальному высказыванию. 12.

Обозначения, используемые в теории множеств. Понятие множества считаем первичным, и потому ограничимся лишь указанием терминологии и необходимых в дальнейшем обозначений. Множество обозначают какой-нибудь буквой, например, М. Запись а Е И читается так: "а есть элемент множества М" или "а из множества М". Запись М З х читается так: "множество М содержит элемент х". Если элемент х не принадлежит множеству М, то записываем х Я М или М д х.

Запись М = (а, Ь, с, ...) читается так: "М есть множество, состоящее из элементов а, Ь, с и т.д." Множество может содержать лишь один элемент, например, М = (а). Если Р— свойство, которым обладают или не обладают элементы множества М, то запись М~ — — (а Е М ! а обладает свойством Р) читается: "М1 есть множество всех тех элементов множества М, которые обладают свойством Р '. НапРимеР, Запись М~ = (х б В ! х вв О) обозначает множество всех неотРицательных действительных чисел.

Символы Е и Э называют знаками нринадлвхснасти. Задавая множество посредством некоторого свойства, часто заранее не знают, существуют ли вообще элементы, обладающие этим свойством. Поэтому целесообразно ввести в рассмотрение множество, не содержащее ни одного элемента. Оно называется нустым и обозначается знаком а. Пусть М, и Мз — множества.

Если каждый элемент множества М, принадлежит множеству Им то множество М, назгявается подмножеством множества М, (рнс.1). В этом случае записываем М~ С М, или Мг О М, и читаем "множество Мз содержит множество М~". Символгв С и О называются знаками включения. Множества, состоящие из одних и тех же элементов, считаются равными. Очевидно, что м, = м, - м, с и, л и, с и,. Если в множестве М~ есть элементы, которые не входят в множество М,, то М, не содержится в множестве Мм что записывается М1 К Иг или Мг 3 Мн Отметим, что любое множество М содержит пустое множество в качестве своего подмножества. Действитеяьно, в противном случае пустое множество содержало бы по крайней мере олин элемент, не принадлежащий множеству М.

Но оно вообще не имеет элементов. Будем пользоваться обозначениями: ю — пустое множество; ехрм — множество всех подмножеств множества М; Ы вЂ” множество всех натуральных чисел; Хь — множество всех неотрицательных целых чисел; Š— множество всех целых чисел; Π— множество всех рациональных чисел; Й вЂ” множество всех действительных чисел; С вЂ” множество всех комплексных чисел. 1.3. Натуральные числа.

Метод математической индукции. Вюкнейшим в математике является множество Ы всех натуральных чисел. В нем определена операция сложения и выполняются свойства: 1) если к Е И, то (и+ 1) Е Я; 2) если некоторое множество М содержит 1 и из и Е М всегда следует, что (и + !) Е М, то М Э Ы. Свойство 2) называется аксиомой индукции. Блез Паскаль (1623-1662) впервые предложил метод доказательства, основанный на аксиоме инлукции, называемый методом математической индукции. Суть его состоит в следующем.

Пусть даны утверждения А„Аг, Аз, ... и доказаны две леммы Паскаля. Лемма 1. Утверхгдение А~ справедлива. Лемма 2. При любом и Е !ь( из справедливости А„следует снраведливасть утверзкдвнив А„ы . Тогда все утверждения Ан Аз, ... справедливы. Метод математической индукции сводится к аксиоме индукции. Действительно, пусть М = (и Е Я ! А„справедливо). Согласно лемме 1, 1 Е М.

По лемме 2 и б М т (гз -1- 1) Е М. По аксиоме индукции (чп Е р)); и б М, т. е, асе утверждения Ан Аз, ... справедливы. Гл. 1. Основные структуры математического анализа Докажем, например, что Хси б Р( выполняется равенство и(и+ 1)(2и+ 1) Х: '- й 6 Е'= и(и + 1)(2и ч- 1) (и + 1)(2и -!. 7и + 6) (и -1- 1)(и .1- 2)(2и + 3) й 6 .1- (и -~- 1) 6 6 т.е. лемма 2 также выполняется. Методом математической индукции формула (1) доказана. Рв . З Ряс. 1 Рвс.

3 1.4. Простейшие операции иад множествамн. Пусть М, б ехр М, Ма б ехр М. Определение 1. Лересенением множеств М, и М, называется множество М, П Ма —— (а! а б М, Л а б Ма). Пересечение множеств М, н Ма состоит из всех тех и только тех элементов, которые принадлежат множествам М, н Ма одаювременно (рис. 2).

Если таких элементов нет, то говорят, что множества М, и М, не пересекаются, и пишуа М, и Ма — — яс (рнс. 3). Определение 2. Обьединением множеств Ма и Ма называется множество Ма О Ма — (а(а б М, Ч а б Ма). Рсс. 4 Объединение множеств Ма и Ма состоит изо всех тех и только тех элементов, которые принадлежат хотя бы одному из множеств М,, Ма (рис. 4). Определение 3. Разностью множеств М, и Ма называется множество МассМа = (а (а б Ма Л а Ы' М,). Разность множеств М, и М, состоит из всех тех и только тех элементов множества М„которые не входят в множество М, (рис. 5). Если Ма Э Ма, то Разность Ма а!Ма называетсЯ также дополнением М, в М, и обозначается символом Сы,М, (или СМа, когда это не может привести к недоразумениям).