И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл, страница 9

l »/3 1 21 64'»3 136 ББ /3 46 6 /3 1 в) 1 — +-*1 = — +1 — — — — 1 — + — +1 — — — =-1. ~ь 2 2 / 64 64 64 64 64 64 64 51. Найти частное комплексных чисел: 1 2 2 . »»з а) . б) , в) 2 2 1 + 1 '2 М Формулу для нахождения частного комплексных чисел «1 и «2 запишем в виде «1 «1 «2 «1 «2 «2 «2 . «г Пользуясь этой формулой, находим 1 -1 . 1 1 — 1 1 — 1 1 1 )1)2 ' 1+1 (1+1)2 2 2 2' 2 — 12 ~г 52.

Представить следующие комплексные числа в тригонометрической форме: а) -3; б) -1; в) 1+1; г) -1+13/3. м Имеем: . Б а) ! — 3( = 3, В = (г, — 3 = 3(соз(г+ 16(в 3); б) ( — 1( = 1, В = — —, -1 = соз,--) +16(п,— -) ' в) (1+1( = 3/2, В = Б, 1+1 = 3/2 (соз-" +16»в Б); г) ) — 1+»ъ/3) = 2, В = —,, -1+13/3 = 2 (соз — ", +»эщ '— ,").» 53. Нычисяитгс Гл, 1. Введение в анализ 34 затем, применив формулу Муавра, получим 1 / 5т,, бх5 1 /1/3 — 1 з/3+ 1 1 = — (СОБ — + 1взП вЂ” ) = — — + <в 61</6 1 12 12) 61.4 ~, 1/3 з/3 <) хз <1 д) (2+ 21)<' = (ь/8) ' (сов — +звгп — ) = (з/8)~' (сов — + зяп — 11 = 8 (2+ 21). 4 4 ( 4 4 ) .

г г / — 5х, . — 5х! г Г Г 35х1 .. Г Збт1 е) ( — 3 — 1) = 2 (сов — +зв1п — ) = 2 (сов (- — ) +зяп ( — — )) = = 2 ( — +зяп-) = 2 — +1- = 2 (<ГЗ+1). (ь „Гт .. т1 „/ ГЗ '16 6) ~ г з 54. Найти все значения корней: а) з/1( б) — 1 — 11/3. ~ а) Запишем комплексное число 1 в тригонометрической форме 1 =совО +<Б1пО затем до формуле (1), и.

4.2, находим 25х .. 2Ьг 5<1 = сов — +зяп —, й = О, 1, 2, 3. 4 4 Следовательно, л/! = сов 0' + 1яп 0' = 1 при й = О, Д = сов я+зяп т = — 1 при й = 2, б) Записав комплексное число — !в ъГТ = сов — + з яп — = 1 при й = 1, < 5. з. з 1/1 = сов — + 1яп — = — 1 при й = 3. 2 2 зл/3 в тригонометрической форме -1 — 1;/3 = 2 (сов (- — ) + звзп (- — ) ), находим 3 =, '+гйт, — ', +гйт'з — 1 — 11/3 = 1/2 сов +зяп, й = О, 1, 2.

3 3 Отсээда <с(-'д=и( (-а(<'< (-Ю 5:(- <г=м(.-(7(«-(7((. (с -ье-и(-(%< 6.( — ",.((. 1=0, 5=1, й = 2. (1+зь/3) = 2 (сов — +зяп — ) = 2 за за 30<г 30т я 3 3 ) б) Аналогично предыдущему находим 1/2 — (1/2 = 2 (со (- — ) + (вш ( — — )); (з/2 — 1</2) = 2 (сов ( — — ) +зяп ( — — )) = — 2 в) Представляя числитель и знаменатель дроби в тригонометрической форме, вычисляем частное з/2(сов( — — ) +зяп(--)) (< затем, использовав формулу Муавра, находим ( — ) = (сов ( — — ) +зяп ( — — )) = (сов ( — — ) +зяп ( — — )) = 1. 1/2 (сов-, +1'яп-,) 1 ~ 7т, 7х1 Г) — „< „— (СО — +<ЯП вЂ” 1; 1/3 — 13 21/3 !<сов 1< — б) + 1в1п ( з)) '/6 ( 12 12) ' с 11 1+1 1 1 / 77л ..

77;г! — (СО — +<ВШ вЂ” ) = з/3 — 13) 611/6 ~ 12 12 ) 16. Векторные и метрические пространства 55. Решить уравнение за + 1 = О. я Имеем Б = 1/-Т. Для вычисления всех значений ~/-Т применим формулу (1), п. 4.2,' 3 -л+ 2йк .. — к+ 2Ьг Б1= 3у — !=сов 6 + 3ЯП 6 кж6,5.

3 3г . 3г 1/3 3 Б1 = сое — + 3 Б!и — = — + —, 2' 6 6 2 2' 53г ., 53г АЗ 3 соБ — + 3Б!п = — + б 6 2 2 Отсюда Бе = сов ( — — ) + гяп 31--) =— 6) '1 6) 2 3Г .. 3Г Зз = СОБ — + 3ЯП вЂ” = 3, Зз 2 2 7к,, 73г 1/3 Бе = СОБ — + 3ЯП вЂ” = 6 б 2 3 9к ., 9к ББ = СОБ — + 3 Б1П вЂ” = — 3. 2' б б Упражнения для самостоятельной работы 38. ДОКаэатЬ, Чта а) Х1 — Бз = Бг — Бз! 6) ! '-Ь) ю Ы В) Р(З) = Р(Б), Гдв Л 3-3 Р(Б) — ' 3,33/ 33 алгебраический многочлен с действительнымн коэффициентами. 39.

Выполнить указанные операции; а) (1+ 31/3); б) ~'; в) — *'" (хз+у ~ О). 40. Найти действительную и мнимую части следующих комплексных чисел: а) (~ — 3 3 ); б) ( —,',„+,); в) (~-,— )- 41. Показать, что множество комплексных чисел, в котором введены операции сложения н умножения, образует поле. 42. Найти модули и аргументы сведующих комплексных чисел: а) ( — 4+ 33)з; б) (1+ 3)Б(1 — 31/3) "Б; в) 1+ сов -„+ гяп -„.

Найти все значения следующих корней; 43. 1/3. 44. 1/ — Т+ 3. 45. К вЂ” 64. 46. 1/64. Найти корни уравнений: 47. Бз+ (5 — 32)з+ 5(1 — 3) = О. 49. Бз+ (1 — 32)з — 32 = О. 49. (з + 3)" + (х — 3)" = О. 50. Доказать, что модуль комплексного числа является абсолютным значением, т.

е. 3х) удовлетворяет условиям; 1) )Б! д О гг ((х) = О еэ Б = О); 2) )хгзз) = )Б1ПБ3) 333Б1, Бз б с; 3) 3311+ Бз) ( ()ег) + 3313) 3/11, зг б С. 51. Доказать, что модуль комплексного числа удовлетворяет неравенству ПБ1! )Бзп < 3Б1 Бз! П 5. Векторные и метрические пространства (здесь й — нулевой элемент группы). Н. Внетням бинарном операцим еь х Е Е: (Л, х) 1 Лх, удовлетворяющая следующим аксиомам: 6) (Л + 13)х = Лх + 13х; 6) 1 х=х.

5.1. Векторное пространство. Определение 1. Векпгорным просгпрансгиеом над полем К ю (Л, р, щ ... ) называегися множеспгео Е = (х, у, х, ... ), в котором определены: 1. Внуогреннмя бинарном операция Е х Е -3 Е: (х, у) 1 х+ у, оглносигпельно которой множество Е являепгсм абелевой группойг 1) х+(у+ ) =(х+у)+ ' 3) х+( — х) =9; Гл.

1. Введение в анализ , Элементы векторного пространства Е называют векглорами (нлн о»очками), а элементы поля К вЂ” скалярами. Если Клх Н, то Е называется дейс»пвительным векпьорным оространсьпвом, а если К т ьЕ» то Е называется комплексным век»парным просглранством. Определение 2. Всякое подмножество (г векпьорного пространен»во Е, обладающее двумя бинарными операциями пространства Е и являющееся ввкпьорным просгоранством над полем К, называепься векпьорным подпроспьрангпьвом пространспьва Е.

В произвольном векторном пространстве выполняются следующие свойстваь 1) Лйтб; 2) 0 х=й; 3) (-1)х=-х. $.2. Нормированные векторные пространства. Нонятие абсолютного значения распространяется на векторные пространства над нормированным полем К. Определение. Нормой в векпьорном просп»рано»нее Е наэыеаетгя оьлображение Е В~:х~ ЦхЦ, В~=(обВ»0(а<+ос), удовлетворяющее следующим аксиомам: 1) (ЦхЦ=0) ~(хжй); .) ЦЛ*Цж)Л) И ...Е; 3) Цх+ УЦ < ЦхЦ + ЦУЦ»ь» х, у б Е (неравенство треугольника). $.3.

Евклидова пространство. Опредеьлепие 1, Пусть Š— векторное прогпьранство над полем Н. Опьображение Е х Е -» Н . "ьо(х, у) = (х, у), кол»орое каждым двум элеменгоам х и у из Е ставит в сооньеетствие действипьельное число, обозначаемое символом (х, у), назыеаепься скалярным произведением, если»ь» х, у, з б Е и»ьг Л б И выполняюглся следующие аксиомы: 1) (х, у) = (у, х); 2) (х + у, з) = ( ) + (у» з)ь 3) (Лх, у) = Л(х, у); 4) (х, х) > 0 гь ((х, х) = О) сз (х = У). Определение 2.

Век»верное нросглрангпто, в котором определено скалярное произведение,, назьшаеьяся ееклидоеым просо»ракс»азам. $.4. Метрическое пространство. Определение. Множество Е = (х, у, з, ...~ называется метрическим пространсевом, если определено отображение Е х Е В» (х, у)» р(х, у), кон»орое для любых х и у со»авил» в сооиьветствие нсоьлрицотельное дейспьвительное число р, удовлетворяющее следующим аксиомам 1) (р(х, у) = О) ~ (х = у); 2) Р(х У) = р(у, х)» х, у б Е (аксиома симметрии); 3) Р(х» у) ч Р(х, х) + Р(з у) т х, у, з б Е (нгровенсглво пьреугольника).

Элементы метрического пространства называются точками, а число р(х, у) называется рассптянием между точками х н у нли ме»лрикой пространства Е. Всякая часть Е метрического пространства Е, в которой определено отображение Г х Е Щ+юддллющеесл сУжецнем отобРаженил е х е мо: (х, У)»-» Р(х, У), называетсЯ меж(зйчяскцм подпросоьранством, а определенная в нем метрика — индуцироеанной мел»рикой. Метрическое надпространство само является метрическим пространством. $,$. Окрестности. Определение 1. О»лкрытым (замкнуьлым) шаром с ценглром в точке хо и радиусом т в метрическом проспьрантлве Е называется множество (х б Е ь р(х, хо) < г) ((х б Е: р(х, хо) < г)).

Открытый (замкнутый) шар обозначается Я(хо, г) (В(хо, г)). Аналогично определяется открытый (замкнутый) шар в векторном нормированном пространстве. Определение 2. Открыпьым (замкнуто»я) шаром с центром в точке хо и радиусом т в векторном нормированном пространстве Е называется множеспьво .(к б Е: Цк — ко(( < т) ((к б Е: Цк — коЦ <К г)).

$ б. Векторные и метрические пространства Определение 3. 011ькрмтЬЬО тар с центром о точке хо и радиусом 6 наэмааое2ея 6- .*'оо окрестностью точки хо. на действительной прямой и открытый (соответственно замкнутый) шар радиусьь б,ест»1, интервал ]хо — 6, хо + 6[ (соответственно сегмент [ха — 6, хо+ 6]). , ° .»рь 1 56. Пусть И'" — множество всевозможных упорядоченных систем т дейсгднтелььАьуау чисел (хь, «2, ..., х ). пусть в множестве и~ определены; внутренняя бинарная оперяьцЩ И Х И И, КОтОрая дЛя ЛЮбЫХ дВук ЭЛЕМЕНтаа Х = (Хь, ..., Х ) И у = (уь, - ьуь») множества И ставит в соответствие элемент Х+ у = (Хь+ Уь, ..., Х + у и), называемый суммой х' и у; внешняя бинарнал операция И х И - И, которал для пиь4оге х Е И~ и любого Л Е И ставит в соответствие элемент Лх = (Лхь, ..., Лх ), называемый ирои»оедением А на х.