И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл, страница 4

Наппиыер Молсно говорить, что "функция у определена равенством у(х) = э/аз+ 1, х б (а, 6)". 'Если "у"— общее наименование элементов множества Р, т. е. Г = (у), то отображение у') Е''-~' Р записывают в виде равенства у = )(х) и говорят, что это отображение зйдано явНсь ' 14 Гл. 1. Введение в анализ 2,2. Образ и прообраз множества прн заданном отображении. Пусть задано отображение у: Е Г и множество В С Е.

Определение 1. Мномгшиео элгменп|ое иэ Г, каждый и* ко|яорых является образом хо|ля бы одного элемента иэ В нри отображении У, называется образом множес|ива Р и обоэначаеп|ся У(В). Очевидно, у(В) = (у(х) б Г: х б Р). Пусть теперь задано множество У С Г. Определение 2. Мномгхп|во элементов х б Е и|аких, ч|ло у(х) б У, называется прообразом мномгсп|еа У при онтбражении У и обоэначагп|ся У |(У). Ясно, что '(У) = (х б Е: ((х) б У). Если у б Г, то У '(у) = (х б Е; )(х) = у).

Если при каждом у б Г множество У '(у) состоит не более чем из одного элемента х б Е, то У называется взаимно однозначным отображением Е в Г. Впрочем, можно определить взаимно однозначное отображение У множества Е на Г. Определение 3. Отображение У: Е г Г называется: инъгктиеным (или инъгкнигй, или взаимно однозначным отображением множества Е е Г), если (х ф х') => (У(х) ~ У(х')) или гели 'ту б Г уриенеиие У(х) = у имееп| не более. одного реи|ения; сюръек|ниьным (или гюръекцией, или отображением множества Е на Г), если у(Е) = Г или если гу б Г уравнение Т(з:) = у имее|л, по крайней мере, одно решение; биект немым (или биекнией, или взаимно однозначны.н оп|ображением мномесп|еа Е на Г), если оно ииъешнивно и гюрьектиено или если гу б Г уравнение У(х) = у имееп| одно и только одно решение.

2.3. Суперпозиция отображений. Обратное, параметрическое и неявное отобран|ения. Определение 1. Пусть У: Š— Г, а д: Г С. Поскольку)(Е) С Г, |но оп|обрамение д каждому элемен|лу У(х) б У(Е) С Г оп|носил| определенный элемент д(У(х)) б С. Таким образом, каждому х б Е посредством правила д о у поставлен в соответствие элемент (д о э )(х) = д(э (х)), д(э (х)) б 6'. Тем самым определено новое отображение (или новая функция), которое назовем композицией ошобра|.гний, или гуперпоэинией отображений, или сложным отображением. Определение 2.

Пугп|ь У: Šà — биски|износ оп|ображгиие и Г = (у). В силу биекп|износи|и У каждому у б Г гоотеетстеует единое|еенный образ х, ко|лорин| обозначим через У |(у), и |покой, что У(х) = у. Таким образом, определено отображение У |; Г Е, которое наэыеагтгл обргт|ныл опьображгнию У, или обрел|ной функцией функции У. Очевидно, отображение Г обратное отображению У '. Поэтому отображения У и Г называют взаимно обрел|ными. Для них справедливы соотношения у(у (у))=у уубГ; Т Щх))=х ЧхбЕ. Определение 3. Пусп|ь гэ: О Х, ф: О У, причем хопш бы одно иэ эпшх отображений, например р, биектиано.

Тогда существ уел| обратное отобрамение р |; Х й, а значит, ф о ьь ': Х )'. Определенное таким образом отображение называется заданным параметрически с помощью-отобрюкений р: О Х, О: П У, причем переменное из й называется парамеп|ром. Определение 4. Пугть на мномесп|ее С ж Х к У определено оп|обрамениг К; С |.'г, еде множество сз годгрмит нулевой элемент. Предполоя'им, что существуюп| мнолгесп|за Е С Х, В С У и|окне, чшо лри каждом фиксированном х б Е уравнение Гг(х, у) = О имееп| единственное решение у б В. Тогда на мномсстее Е мол|но определил|ь оп|ображение у; Е В, шнааящге каждому х б Е е ооон|зги|сп|еие и|о значение у б В, которое.

при укаэанном х яеллгп|гя решением уравнения У(х, у) = О. Относительно так определенного отображения у = у(х), х б Е, у б В, говорят, что оно задано неявно посредством уравнения У'(х, у) = О. Определение б. Отображение У: Е Г называется продолжением оп|обрамгния д: В Г, а д — гумгнигм оп|обрамения У, ггли Е Э В и У(х) = д(х) Чх б П. Сужение отображения у: Е Г на множество В С Е иногда обозначают символом Яп.

2 2. Функция. Отображение Определение 6. Графиком отобромения / ь Е Г иигывавьися миожесиьво С = ((х, Дх)): х Е Е, ь'(х) Е Г]. Ясно,что Г* С Е х Е. 14. Пусть отображение г' ь й [-1, Ц задано равенством г(х) = вьих Найти а) ((О); б) (( — ); в) (( — ); г) Х Н; д) ( ([- —, — ]); е) Х ([ — —, — [); -ьь([ (]) ььь»*ьь ь -ь.э ь -'(,-'): ь -'(еь),.ьь- (л); н) ь' '([ — 1, Ц); о) ~ '(] — 1, 1[); и) ь' '([О, — ]). М Пользуясь таблицей тригонометрических функций, находим: а) г(0) ж яьь О я О; б) ь'(Д) = яп — = -; 6 6 2' '~(4) 4 2 ' )'~(Т) 3 2 д) Имеем У (--) = — 1, ь ( ) = 1, причем, если аргумент синуса пробегает значения от — — до -", то значения синуса изменяются от — 1 до +1.

Следовательно, г'(( — — -)) = г г гь гг) (яи х: — г ~ (х ( -) = [ — 1, Ц. Аналогично находим: е) ь (] 2, г [) = (вьи х: х Е ] г 2 [) =] 1, 1[; ж) 1 ([О, -]) = (вщх: х Е [О, «] ) = [О, -]; з) г([0, 2л]) = (яп х: х Е [О, 2л]) = [ — 1, Ц. и) Поскольку яп г = О, если х = йл, й Е Ж, то г' (0) =(х: миг =0). к) Если мах = -', то х = (-Ц"агсяи — + ьььг = (-1)" «+ иэ., и Е Х. Поэтому 2 ь (-) (-1)" в +иг, и ЕЕ.

Аналогично предыдущему находим: Л)Г ~ — ) =]х:япх= — 2=-(-1) — +ИЛ, ИЕЕ; (г/ ) '' г( 4 м) ( 1х — ) =]хэяпх= — ')'=( — Ц 3+ил, ььЕХ. (г) ) ' г) н) Согласно определению 2, п. 2.2, У ([ — 1, Ц) = (г ь У(х) = Ких Е [ — 1, Ц). Покажем, что у '([-1, Ц) = К. В самом деле, пусть х Е г '([ — 1, Ц) и а = йпх, тогда 4"(х) = а, а Е [ — 1, Ц, а поэтому х = ((-1)" агсяп а+ ил), х Е К, и, следовательно, 4 '([ — 1, Ц) С К. ЕслихЕК,тояяхЕ[ — 1,Ц и хЕу' '([ — 1,Ц),т.е, КСу '([ — 1,Ц).

Такимобразом, У '([ — 1, Ц) = К. о) Из равенств явх = х1 находим множество А = (х: х = «+ ил, и Е Х) значений х, которые ие принадлежат у '(] — 1, Ц). Поэтому, в силу предыдущего пункта, 4" (] — 1, 1[) = К44А. п) Имеем у ' ([О, ь]) = (г.: япг.

Е [О, -] ). Пусть х Е 1 ' ([О, -]) и а = япх, тогда а Е [О, 2] и х = (-1)" агсяп х+ ил, и Е Ж. Пусть и = 20 — фиксировано, тогда х = агсяп а + 21л, причем при изменении а о1 0 до переменное х изменяется от 2йл до (20+ -) т, т. е. х Е [21л, (2Й+ -) л).

Пусть и = 20+1 — фиксировано, тогда х = — агсяп а+ (2х+ 1) ьг, и если а изменяется ат 0 до —, то переменное х изменяется от (2«+1)ьг до (20+ — ) л, т е. х Е [(2к'+ -) л, (2Й+ 1)2] .. Таким образом, Ь '([, ]) (Ь)["ь ("4'„-)']~" [Ь)[(ЬЬ«'-,).,ЬЬЬ«ЬЬ]). ьььех / ьььех 1б Гл. 1. Введение в анализ Справедливо и обратное включение, поскольку нри х Е [2йх, (2Й+ -') х] или х Е [(2Й+ -')х, (2Й+ 1)х] значение э(в х Е [О, з]. Поэтому -си-Ь~- ( ))4 Ьн )) ".~] ° 1ьек / т,ьек 15. Доказать, что если Х: Е -~ Р и А С Е, В С Е, то справедливо равенство Х(л о в) = Х(л) и Х(в). М Согласно определению 1, и.

2.2, имеем Х(А 0 В) = (Х(х): х Е А С1 В). Пусть Х(х) ЕХ(ЛОВ),тогда х Е(АЦВ),т.е. хЕ АЧ хЕ В. Ноесли хЕ Амх ЕВ,то Х(х) Е Х(А)'е Х(х) Е Х(В) и Х(х) Е (Х(А) О Х(В)). Этим доказано включение Х(А О В) С (Х(А) и Х(В)). (2) Пусть Х(х) Е (Х(А) 0 Х(В)), тогда Х(х) Е Х(А) Ч Х(х) Е Х(в), откуда х Е А Ч х Е В, т. е. х Е (А О В), а поэтому Х(х) Е Х(А О В) н (Х(Л) 0 Х(В)) С Х(А О В). (3) Из (2) и (3) непосредственно следует (1).

р 16. Доказать, что если Х; Е -~ Р и Л С Р, В С Р, то справедливы равенства: а) Х '(АОВ) =Х '(А) пХ '(В); б) Х '(А1,В) = Х '(А)1Х '(В); в) Х '(А О В) = Х '(А) ОХ '(В). М а) Пусть х Е Х '(А и В), тогда Х(х) Е (А г1 В), т. е. Х(х) Е А д Х(х) Е В. Но тогда х Е Х ~(А) д х Е Х '(В), а следовательно, х Е (Х '(А) г1 Х '(В)). Таким образом, доказано включение Х ~(А гз В) с (Х ~(А) г1 Х ~(в)). Для доказательства обратного включения предположим, что х Е (Х '(А) О Х '(В)). То- гда х Е Х '(А) д х Е Х '(В); отсюда Х(х) Е А д Х(х) Е В, а поэтому Х(х) Е (А г1 В) и х Е Х г(А О В). Следовательно, (Х '(А) п Х '(В)) С Х '(А О В).

Из доказанных включений следует равенство а). б) Пусть х Е Х '(А1В), тогда Х(х) Е (А1В), т. е. Х(х) Е А л Х(х) К В. Но тогда х Е Х г(А) д х Е Х '(В), а следовательно, х Е (Х '(Л)1Х '(В)). Таким образом, Х '(Л~в) С (Х '(А]~Х '(В)). Если х Е (Х '(А)1Х '(В)), то х Е Х '(А) д х К Х '(В). Отсюда Х(х) Е А д Х(х) Е В, т. е. Х(х) Е (А1В). Но тогда х Е Х ~(А1В), что доказывает справедливость включения (Х (А)~Х (В)) С Х (А~В), обратного доказанному выше.