И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл, страница 8

Предположим теперь, что для произвольных 1. положительных чисел хг, хг, ..., хь, прои наведение которых равно единице, справедливо неравенство ~ х, > й, причем 1 < х,шь СЗ(х,ж1 гУ!ж1,6). ги! 39. Доказать неравенство Бернулли (1+ х!)(1 + х2) ... (1 +х,) х 1 + х1 + х2 + ...

+ хг где хь, хг,, х» — числа одного и того же знака, ббльшие — 1. М При в = 1, 2 неравенство очевидно. Пусть неравенство справедливо при гь. Покажем справедливость его при и + 1. Имеем (при х, > — 1) (1+х1Н1+х2) ° ° . (1+х )(1+х Е1)> (1+х1+х2+ ° ° +х Н1+х +1) =1+х! +х2+ ... +х +х 61+(х1+хг+ ... +х )х 61)х 1+х1+х2+ ... +х +х +1. Здесь использовано неравенство (Х! + Хг + ... + Х )Х»1! ) О, 1 3.

Действительные числа Рассмотрим произведение й + 1 положительных чисел х1, Хз,..., Хат! ! ДЛЯ кОтОРыя Х1Х2 ... Хь.11 — 1. Если не все х, равны единице, то найдутся числа как ббльшие, так и меиыиие единицы. Не ограничивая общности, будем считать, что х1 > 1, хз < 1. Тогда, но нредполозкению, для?2 положительных чисел (х!хз), хэ, ..., Ха»1, произведение которыя равно единице, справедли- во неравенство (г1х2)+ха+ .. +лаз! > х (3) причем (Х122 + хз + ...

+ ха+1 = 12) СЗ (х!х2 = хэ = ... = ха+1 ж 1). Складывая тождество (2) с неравенством (3), получаем неравенство г1 + х2+ ... + Хьу1 (» + 1 + (х! 1)(1 х2) о /с+ 1 и условие (х1 Ф гг + .. + Ха+1 — — й + 1 + (г1 — 1)(1 — хз)) ез ((хзхг) = хз = ° .. = ха+1 = 1), из которого следует, что (г\ + Х2 + .. + Ха+1 = ?г + 1) СФ (х1 = 1 21 = 1, х + 1), М 42. Пусть х, >О, х,бП,'21=!,и,а 7 =... (среднее гармоническое),.

— + —,, +...+— 1 "=;гэт..'. *. 1! «г г 1, х1 + хз + ... + х 6 = ' (среднее арифметическое). о Доказать, что !» < О„( б» н при этол! (7 = у„= у„) Е! (21 = хз =, = х„), ц Произведение н положительных чисел Х! 22 О О» Ч поэтому, согласно предыдущему примеру, их сумма Х1 Х2 21 — + — +...+ — )о. О Ч* У» х у Отсюда у, < б . При этом знак равенства достигается тогда и только тогда, когда -~ = -„д з э ... = — *" = 1, т. е. когда х! — — хз = ... = х .

По только что доказанному + 1 7 т,Е. ЕСЛИ Х1=Х2= ... жХ„. М .—,+ —., + ( О Х1 Х2 Х» о откуда 7„( у» и 7„= О», если —, = —, = ... = — = 1 ! 1 1 1 2 43, Доказать неравенство Коши — Буняковского х,у; — ~~! Хз ~ уз ( О. где х„у, (! = Т, и) — произвольные действительные числа. В каких случаях в укаэанном.

неравенстве имеет место знак равенства? М Из очевидного неравенства Я(х,! + у,) ) О получаем неотрицательный при всех 2 =! значениях 1 квадратный трехчлен 1~ 2,'хз+ 21 ) Х1у;+ ) у, ) О, поэтому ;-1 ! л. 1. Введение в анализ 30 2п+ 1 1 2п+ 1 1 1/2п+ 3 2п+ 1 < 2п+ 2 т/гни+1 2п+ 2 ь/2юь+ 3 1/2!1+ 1 2п+ 2 1 4п24-8п+3 1 2 /2п+3 4пз+8п+4,„/2п+3 1 3 2н — 1 2 4 2п 1 1 1 45. 1+ — + — + ... + — >,/, > г. /2 !/3,/и П Прн и > 2 имеем 1 1 1 1 1+ — + — + ... + — > и — = -/п.

и )/2 т/3 ./и фь 46. и "+' > (и+ 1)", п > 3 П При и = 3 неравенство очевидно. Предполагая, что меравенство справедливо при и, докажем справедливость его и при и + 1, т. е. докажем,что (и + 1)"+ > (п + 2)"~ , если о ь1 ° "" >( +1)" +)+г Умножив обе части последнего неравенства на азт †,имеем + 1 21»+1) +1)ойз (и+ ) !!о+1 1 2( +И „2+2„211 !»+1 Но так как ( — ~~-~г — — — ( ) > (и+ 2)"+', то требуемое 4ьт.

выл~~ хй ( ~~ япхй О (хй (!г, У= 1, п. доказано. ь1 и При п = 1 меравенство справедливо. Докажем, что гбп 2 хй й=1 жив справедливость исходного неравенства. +1 ( ) сйп хй, предполой=! В самом деле, если О ( хй ( х, то 41 /" мп~ хй = ьбп ~~ь хй созх„+!+сов ~~ 'хй з!пх„йь й 1 1=! й=! ( з!п~хй )сов х„.ьь~ + соя~ ха З!П Х„йь ( +1 З!П Х,1.1.1 = ~~' З1П Хй.

Ьй о в1п ~~ь хь, + Б!п х .ь! ( ~ 3!п хй + й=! й=1 48. (2 ).<г'"( .)', >1. Знак равенства имеет место тогда и только тогда когда х;1+ у; = О, 1 = 1 п, т. е. когда существует такое число Л ~ О, что у, = Лх,, 1 = 1, !ь, или когда все х„ь = 1, и, илн все у„ 1 = 1, и, равны нулю. П Доказать неравемства: 44. а) 11!<( — ),п>1; б)(о!) < ( Г!1+11" 2 /(и+1)(2п+1)1 /ь, п>1; 2 ~ 6 1 3 2п — 1 1 в) — . — ... , < 2 4 ' 21ь 1/2п+ 1 и неравенства а) и б) являются следствием неравенства О„( с„из задачи 42 при хй = й и хй = А~ (й = 1,п) соответственно.

Доказательство неравенства в) проведем с помощью метода математической индукции. При п ж 1 меравенство очевидно. Предполагая его справедливым при и, покажем, что оно справедливо и при и + 1. В самом деле, 2 4. Комплексные числа и При п = 2 неравенство очевидно. Исходя из справедливости его для и, покажеьг справедливость его для»1+ 1. В самом деле, (2» + 2)! = (2»)! (2»+ 1)(2н + 2) < 22»(п!) (2п + 1)(2п + 2) < < 2»(п!) (2»+2) = 2 "~ ((и+ 1))) . Э» 'Упражнения для самостоятельной работ!2 ЗО. Пусть (-х) — множество чисел, противоположных числам х б (х), Доказать> что: а) гп(( — х) = — зор(х); б) ввр(-х) = — 1в1(х). 31.

Применяя метод математической индукции, доказать неравенства: » ! ). ! а) и!>пг,п>2; б) (2» — 1)!<пг» ', п>1; в) ~ )го<1» — ); —, п,раей. о+! 32. а) Доказап, что для любого выпуклого п-угольника справедливо равенство .Р»' т , где Р— число диагоналей.

б) Доказать, что для любого выпуклого многогранника справедливо соотношение и+14» Р» — — 2, где  — число вершин, Р» — число ребер, и — число граней. ЗЗ. Доказать неравенства: а) (хг+ хг + + х») < б) (х!+хг+ ... +х») — „+ — + ...

+ — ~ >лиг, х, >0,1=1,»; Х»1»2 »" l в) т с(.,)г< ~ .г+ с тУг 34. Вычислить суммы: а)1 1!+2 2!+...+и н); б)1 +2 +...+»1; в)1 +2 +...+пз. 35. Доказать, что: 1(1+1) ... (й+т — 1) = 1т.п(п+1) ... (п+т), 1=! где т — натуральное число. Пользуясь этой Формулой, вычислить суммы: а) 1.2+2 3+ ... +п(а+1); б) 1 2 3+2.3 4+ ... +п(п+1)(п+2); в) 1 2 3 4+ 2 3 4 5+ ... + я(и+ 1)(п+ 2)(н+ 3). 36. Доказать, что 1 1 ! 1 ) 1)ь+!). 112 ) (ю 1 +!)1»+2) . 1»+ -!) 1»! где т — натуральное число. Пользуясь этой формулой, вычислить следующие суммы: а) — + — + ...

-1- —; б) — 4 — -)- ... -)- ! 1 1 ! ! 12 22 ' 1»1)' 1.23 22! ' »1 +1)1+2)' ! ! 1 в) ! з.з! + г.з.»1 + + 1 +!)1 22)1 +з) ' 37. Решить уравпения: а) )х + Ц + )х( + )х — 1( = 6; б) х)х + 2) — )х + 1) — (х + 1))х( + 1 = О. ~4. Комплексные числа 4.1. Комплексные числа и действия над ними. Определение. Комплексным числом х называе!пся упорядоченная пара (х, у) дей' ствительных чисел х и у. Ври этом равенство, сумма и произведение упорядоченнь!х пар» а также отолдестелгние неко!порыл из них с действительными числами опредеяяюпн)д следующим образом: 1) два комплексных числа 21 = (хг, у1) и гг = (хг, уг) называются равными, если хз ж хг и у1 = уг' 32 Гл.

1. Введение в анализ 2) суммой комплексных чисел 21 и 22 называетсл комплексное число г вида г (х1 + х2 У1 + У2)! 3) произведением комплексных чисел 21 и 22 называется комплексное число 2 = (Хгхг — У1У2, Х1У2+ ХгУ1); в) множество комплексных чисел (х, 0), х б Я, отождествляепгся с множесгпвом действи1иельных чисел К. Разностью комплексных чисел 21 и 22, называется комплексное число г такое, что 22+2 = 21 откуда находим 2 = 21 — 22 — — (х1 — хг, у1 — уг) . Частным комплексных чисел 21 и гг называется комплексное число г такое, что гг 21. Отсюда находим Х1Х2 + 0102 Х2У! — Х102 хг+уг ' хг+уг ж Комплексное число (О, 1) обозначается символом 1 = (О, 1). Тогда (О, 1) (О, 1) = ( — 1, 0), т.

е. 1 = -1. Произвольное комплексное число х можно записать в виде 2 г=(х, у) =(х, 0)+(О, у) ж(х, 0)+(О, 1)(у, 0) =я+!у. Эта запись называется алгебраической формои комплексного числа. Комплексное число г = (х, — у) = х — гу называется сопряженным по отношению к комплексному числу г = (х, у) = х+ 1У 4.2. Геометрическая интерпретация комплексного числа.

Всякое комплексное число 2 = (х, у) можно изобразить как точку на плоскости с координатами х и у. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскосгпью, при этом ось Ох называется дейсглвительной, а Оу — мнимой. Расстояние г точки г от нулевой точки, т. е. число г = „/хг+ уг = А!22, называем модулем комплексного числа г и обозначаем символом ф. Число агсгб Х, если х>0, агс!3 —" + л, если х < О, у > О, В= агсгйх — !г, если х<0, у>0, — вйв у, если х = 0 называем аргументом комплексного числа я и обозначаем символом В = агц г.

При заданном г углы, отличающиеся на 2пт, и б Ж, соответствуют одному н тому же числу. В этом случае записываем А!3 г = а!3 2+ 2ит, и б Е, и агй г называем главным значением аргумента. Числа г и В называют полярными координатами комплексного числа г.

В этом случае г = (х, у) = (1 сов В, г яв В) = г(сов В + 1 яп В) называется тригономеп1рической формой комплексного числа. Если 21 = (21 сов В1, г1 з1в В1), 22 ж (22 созВ2, т2 в!в 02), то 21гг = (г1гг сов(В1+ Вг), гггг в!и(В1+ Вг)), 21 уг! — = ~ — сов(В1 — Вг), — яп(В1 — Вг)) гг гг Для возведения в степень комплексного числа г = (гсов В, г зт В) применяем так называемую формулу Муавра г" = (г" соз пВ, г" яв пВ).

Корень и — й степени комплексного числа г находим по формуле В+2Ьг „. В+2йх'! к/г яв ), йжО,п — 1. и и 49. Доказать, что! а) 21+ 22 = 21 +221 б) 2122 = г! 32; в) (г)) = у, и б 1О. ч Пусть 21 = (Х1, у1), гг = (хг, уг). 14. Комплексные числа 12 б) (3/2 — 11/2); в) ( — ) д) (2+ 21); е) ( — 1/3 — 1) . а) (1 + 13/з)*'; < а) Представим компяексное число в тригонометрической форме Л ., (ГХ 1 + 13/3 ББ 2 ~соз — + 16(п - ), 3 3/' а) По опредеяению сопряженного числа » ( »*, в»юй(=(* », —,— Б(=(,, -в(»(*, -~(=»»Б.

(х1 В1)(хэ» у2) — 31 ' 22. в) Запишем комплексное число «в тригонометрической форме « = (г соз В, г вп В), тщдв В ж (гсоз(-В), г61п(-В)). Пользуясь формулой Муавра, имеем (2)" = (г" соэ( — оВ), г" згп(-»»В)) = (г" соз лВ, -г" 6(п оВ) = (г" соя пВ, г" ин пВ) = («э). ~ 50. Выпоянить указанные операции: ,Б 6 а) (2 — 1)(2+1) — (3 — 21)+ 7( б) (1+1); в) — + -) /3/3 1~ ~,2 2) ч С комплексными числами, записанными в апгебраической форме, операции сяожения, вычитания и умножения можно производить так же, как и с действительными биномами. При этом пользуемся тем, что 1 = — 1, 1 = 1 1 = -1, 1 ='1 1 = — 1 = 1 и т. д. 4 3..2 а) Имеем (2 — 1) (2 + 1) — (3 — 21) + 7 = (2 — 1) (2 + 1) + 4 + 21 м = (2+1)((2 — 1)(2+1) + 2) = (2+1)(4+ 1+ 2) Ба 14+ 74. б) Согласно формуле бинома Ньютона, (1+1) = 1+41+ 4»2+41 +1 = 1+41 — б — 41+ 1 =' -4.