И.И. Ляшко, А.К. Боярчук, Я.Г. Гай, Г.П. Головач - Введение в анализ, производная, интеграл, страница 10

Показать, что И~ — векторное пространство над полем И. Оьь < Сначала покажем, что множество И является аддитивной абелевой группойь 'Действительно, для произвольных х = (хь, ..., х,), у = (уь, ..., У,„) и х = («1, '..., «,~.) в'силу ассоциативности действительных чисел, имеем Х+(У+ В) = (Хь+ (Уь +»1), ..., Х +(Ую+» )) = =((х +у )+, ...,(х,.+у )+х, ) — (к+'У~+нь Обозначим у = О = (О, ..., 0), тогда тх Е И~ выполняется равенство и+ О.т (ез+Ог.

..., х + О) = (хь, ..., х ) = х. Для любого х б И положим -х = (-хь, ... еят)11 тогда х + (-х) = (хь — хь, ..., х — х ) = (О, ..., 0) = О. Наконец, в силу коммутативнасти сложения действительных чисел К+У (Хь+У1 ', Х +Уьп) = (У1+Х1, .''ь Ум+Хм) = (Уьь ° ° ° Ущ)+(Хь . ° Хь») У+ Следовательно, все четыре аксиомы абелевой группы выполнены. Далее, из определений внешней и внутренней бинарных операций и свойств действителн» ных чисел непосредственно следуют равенства: ,.11'1 и аьь+Ььь ам+ Ьгт ... аь»+61» А+ В ам + 621 аж+ Ью ...

аз»+62» а»,1+Ь 1 а 2+Ььа ... аю»+Ью« А(к+у) = Л(хь+ уь, °, хп*+ у ) = (Л(х1+у1), ° ° А(х ь+ уп )) = ь ь = (Лхь+ Ауь, ..., Лхю+Лу ) = (Лхь,, АХ„,)+(Луь, ..., Лу,) = = Л(хь, ..., х )+Л(уь, ..., У ') — Л1г+ЛУ) (Л+р)х=(А+р)(хь,"., )=((Л+р)хь,".,(Л+р)х )= = (А«1+Р«1,, АХ +РХ ь) = (ЛХ1, ..., ЛХпь)+(РХ1, "., РХпь) =Л(хь, ..., * )+р(х„..., х„,) Лх+ри; (Лр)х = ((Лр)хь, ..., (Ар)х~) = (Л(рхь), ..., Л(рх~)) = Л(рхь, ..., рх~) = Ль(фас~; 1 х = (1 х1, "., 1 хп,) = (х1, ..., х и) = х, для произвольных х и у из И™ и любых А и р из И. Таким образом, аксиомы', опредеь11Ы()ьдиеь векторное пространство, выполнены, а поэтому И является векторным простраиствауг йй(["" полем И.

и 57. Пусть 021 — множество всевозможных прямоугольных матриц вида аьь аю ... аь„ а21 а22 ... аз„ (аь ) аЫ1 а 2 ° . ° апп гдеаоЕИ, 1=1,нь,6=1,а. Суммой матриц А'= (ач) и В = (Ьь ) назовем матрицу Гл. 1. Введение в анализ 38 а произведением матрицы А на число Л Е 16 — матрицу Лаы Лагг ...

Лаг„ ЛА — Лаю Лагг ... Лаг Ла ! Ла г ... Ла, Показать, что И вЂ” векторное пространство над полем Н. М Множество И матриц А = (а, ) размера т х и можно отождествить с пространством 64~" векторов х = (агг, ..., аг, ..., а г, ..., а,„„) при помощи взаимно однозначного соответствия (ап) (аы, ..., аг„, ..., амг, ..., а»„,). При этом для любых (а,!) Е И, (6;!) Е И и ЛЕК (а!)+(6!) (агг+6ы,..., а! +6г, ..., а г+6 г, ...,а „»6 „), Л(а „) (Лагг, ..., Ааг, ..., Ла,„г, ..., Ла ) (т.

е. пространство И иэоморфно пространству Н " относительно сложения элементов из И и умножения на скаляры поля И). Таким образом, И вЂ” векторное пространство над полем Н. м 58. Доказать, что пространство Н превращается в нормированное векторное пространство, если для произвольного х = (э!, хг, ..., хм), х Е 66, положим ! !=~г!+*Г... + а. (1) М Дая доказательства достаточно проверить выполнение аксиом 1) — 3) пункта 5.2. 1) Очевидно, )(х)) ) 0 и (8х)! = 0) гз (х = О). 2) Для любого х Е Н™ и УЛ б Н имеем ))Лх)) = -,! яхаг:»с -з~ ! ь 3) Покажем, что длл любых х = (хг, хг, °, х»!) и у = (у! уг У ) '8х+ У1 < '8хЦ + 8У/!.

~1аписывая неравенство (2) в координатной форме (2) и возводя обе части в квадрат, после упрощения получаем неравенство ~ х;у; < =! ~~ ~хг (3) '8А(( = ~~ г! (а, (. м Выполнение первой аксиомы нормы очевидно. Далее У Л б Н и !!' А Е И имеем » )(ЛА8 = ) 2 )Ла,г) = ~~! ~~ )ЛЦа,г! = )Л( г»! ~~ )а;г) = (Л!. !)А)), =! г=! =! г=! г=! г=! т. е. вторая аксиома также выполняется. эквивалентное неравенству (2). Неравенство (3) называется иеравенспгвол Кегли — Буняковского; его справедливость уже доказана (см.

пример 43). Следовательно, равенство (1) задает норму в м~. Ь 59. Доказать, что векторное пространство И, элементами которого являются матрицы размера т х и, является векторным нормированным пространством, если для произвольной матрицы А = (а„), ! = 1, пг, ! = 1, и, положить Ц б. Векторные н метрические пространства Остается проверить выполнение неравенства треугольника. Пусть А, В Е л)3 — произвольно заданные матрицы размера щ х л, тогда « «« ЦА+ВЦ=~~~ ~ ~]аб+Ь, !< ~ ) (]а, ]+]Ь, !)= ) ~ ]а, ]+~ ~~> ]6О]=ЦАЦ+ЦВЦ. =1 «=« =1 ««1 =1 >=1 ом З=г Таким образом, все аксиомы нормы выполняются, а позтому равенство (1) задает норму в ОЯ, превращая его в векторное нормированное пространство над полем ]л.

М 60. Пусть С множество всевозможныл ограниченных функций у: [а, 6] -«!й. Показать, что множество С становится векторным нормированным пространстдом иад полем !й, если для произвольной функции у положить ЦЯ = зар ]Х(х)!. «Л!«А! ч Легко убедиться, что С является векторным пространством над полем !л, если равенст!ю (Х+ д)(х) = у(х) + д(х), х Е [а, 6] определяет сложение в С, а (ЛУ)(х) = ЛУ(х) — умножение на скаляр поля И. Остается проверить, что для числа [Я, определенного формулой (1), выполнюотся все аксиомы метрики.

1) поскольку ! г(х)! ) О, то Ц г Ц = зар ]у(х)! ) О; кроме того, Ц уЦ = О тогда и только тогда, когда ]г(х)! = О, т. е, когда г; [и, 6] О, а такое отображение является нулевым злемеитом векторного пространства С, 2) Для произвольной функции у" б С н любого Л Е К имеем ЦЛу'Ц ж злр ]Лу"(х)! = злр ]ЛЦу"(х)! = ]Л! злр Щх)! = ]ЛЦ]у Ц. «л1«,ь! «л1,ь! а!«А! 3) Из неравенства треугольника для абсолютного значения и свойств точной верхней тра ни следует неравенство Щх)+д(х)! < ]у(х)]+ ]д(х)! < зар Щх)]+ злр ]д(х)! = ЦуЦ+ ЦдЦ т У, д Е С, У х Е [а, Ь]. л1 <ь! 61,Ь! Поскольку множество 01(х) + д(х)!), х е [з, 6], ограничено числом Ц г Ц+ ЦдЦ, то точная верх- няя грань «того множества, которая, согласно равенству (1), равна Ц г" +дЦ, также ограничена зтим же числом.

Оледовательно, зар 1((х)+д(х)! ж ][У+дЦ » <]Щ)+ЦдЦ, *е!«А! ! ЦхЦ вЂ” ЦуЦ ! < Цх — уЦ. М (:атласно неравенству треугольника, ЦхЦ = Ц(х — у) + уЦ < Ц* — уЦ + ЦуЦ, ЦхЦ вЂ” ЦуЦ < Цх — уЦ, откуда Меняя местами х и у, имеем ЦуЦ вЂ” ЦхЦ < Цу — хЦ = Ц( — 1)(х — у)Ц = ! — 1! Цх — уЦ = Цх — уЦ или — Цх — уЦ < ЦхЦ вЂ” ЦуЦ. из (2) и (3) непосредственно следует (1). м (3) что и завершает проверку аксиом метрики. М 61. Показать, что для произвольного векторного нормированного пространства'Е =.

(х, у, х,...) справедливо неравенство Гл. 1. Введение в анализ 62. Доказать, что векторное пространство И (см. пример 59) становится евклидовым пространством, если для произвольных двух эаементов А = (а;,) и В = (Ь; ) положить иг (А, В) = ~~! ~а,гЬ,!. и! ги! М .Для доказательства достаточно проверить, что (А, В), опредеяяемое равенством (1), удовлетворяет четырем аксиомам скааярного произведения (см. и. 5.3). Выполнение трех первых аксиом непосредственно следует изопредеяения числа (А, В): и и и и 1)(А,В)=~'~;а,Ь! =~'~ Ьоа; =(В,А); !и!!и! *и!!=! 2) дяя произвольных матриц А = (а;!), В = (Ь,!) и С = (с,!) имеем и! и и и (А+ В, С) = ~~ ) (а,„+ ЬО)со = ~~ ~~! а„с,г+ ~ ~ Ьос,! — — (А, С) +(В, С); !=! ги! и! ги! г! ! 3) пусть ЧА О И и ЧАЕК, тогда и (АА, В) = ~~! Д~! Ла,гЬ, = А !! ~~' а! Ь„= Л(А, В); и! ги! и! ! 4) дяя любой матрицы А 6 И находим откуда следует, что (А, А) ) О и (А, А) ж О тогда и только тогда, когда все элементы матрицы А равны нулю, т.

е. когда А = О, где Π— нулевой зяемент векторного пространства И. Следовательно, выполняются все аксиомы скалярного произведения, т. е. равенство (1) задает скалярное произведение в векторном пространстве И, поэтому И вЂ” евклидова пространство. М '83. Показатги что нормированное векторное пространство Е = (х, у, э, ...

) становится метрическим, если для любых элементов х и у из Е положить р(х, у) = 11х — 311. Ч Покажем, что выполняются аксиомы метрики (см. п. 5.4). Действительно, из свойств нормы вытекает, что: . 1) Р(х У) = 11х У11 ) О, причем р(х, у) = О тогда и только тогда, когда х — у = д, т. е х= у; 2) р(х, у) = 11х — У11 = 11( — 1)(у — хЦ = 1 — 11 11у — х11 = 11у — х11 = р(у, х); 3) Р(х, У) = 11х — У11 = 11х — г+ х — У11 < 11х — г11+ 11э — у11 = р(х, л) + р(з, у) Ч х, у, з б Е, Следовательно, все аксиомы метрики выпоаняются, поэтому Š— метрическое пространство. м Упражнения для самостоятельной работы 52.

Доказать, что множество С( г', д, Ь, ... ) всевозможных отображений множества Е в векторное пространство Е над полем К само является векторным пространством над тем же повем Ж. 53. Показать,что множество комплексных чисел С образует векторное пространство над нолем действительных чисел К. 54. Показать,что векторное пространство К~ становится нормированным, если для любого элемента х ж (хг, хг, ..., хм) норму 11х11 введем одним из следующих равенств: а) 11х11 =1хг)+1хг1+ ... +1х 1 (октаздрическая норма); б) 11х11 = !пах 1х,1 (кубическая норма).

гь!ц!и 6 5. Векторные и метрические пространства 55. Какие из равенств .~Н п! «ггг я! а) )(х((= ~ 6 )ха); б) ((х)) ж ~/ ~ «гхг, « > О, ! = 1, ги; и ! ! в) )(х)) = (х!)+ )хг1+ ... + )х !); г) Ох(( = глах «!)х,(, «; > О; д) )(хО = шах (хг( задают норму в векторном пространстве И"'г 56. Показать, что в векторном пространстве йй, злементами которого являкнкилнатунцы А = (ан) размера ш х п, норму !(А!! можно ввести одним из следующих равенств: "' ' . г! г;".

и и п а) ))А)) = ~' ~ ' аг; б) ))А)) = гаах ~ )а, ); в) ОА)) ии глах ~ )аг!); г) )(А)) — пык;)?ггг(. и! ги! !»,»и ' !»г»»" 57. Пусть ОВ? то же, что и в предыдущем примере. Указать, канне из равенств и и п!-1 п а) ОА(( = ~, ~, «,гаг, «о > О; б) ((А(! = ?,' ~, аг; !и!!и! !и! ги! и в) )!!А!!! != ~и ~ , '«!г(а,!), «„> О; г) ОАО ж !пах «г!)аг!), «,! > О; !»»п! д) ))А!) = так «,г)агг!! «,! < 0; е) )(А)) = !пах «0)ан), «О > О, ги > 2 !»!»и г»!» и задают норму в пространстве 0г!. 58.

Исходя из определения метрики, доказать,что в пространстве Й™ расстояние'мевц)у произвольными точками х = (х,, хг, ..., хп!) и у ж (у„уг, ..., уп,) можно определить о)Пипл из равенств: а) р(х, у) ж ~ (х, — у,)г ги! б) р (х у) = Е Ь вЂ” у4 !и! т г) р(х, у) = ~ «;(х! — у;)г, «; > 6', ги! 9,(! > О; е) р(х, у) = щах («г(х! - у!)), «, > Ог .