Сергиенко А.Б. Цифровая обработка сигналов (2002), страница 4

Если это условие не выполняется, приходится менять подходы к решению задачи (см., например, определения понятия корреляционной функции для сигналов с конечной и бесконечной энергией в разделе «Корреляционная функция«) или прибегать к использованию аппарата обобщенных функций (см. раздел «Фурье-анализ неинтегрируемых сигналов«). Еще один признак классификации сигналов, существенно влияющий на методы их анализа, — периодичность. Для периодического сигнала с периодом Т выполняется соотношение г(г + пТ) = г(г) при любом г, 19 Классификация сигналов где и — произвольное целое число.

Если величина Т является периодом сигнала 4Г), то периодами для него будут и кратные ей значения: 2Т, ЗТ и т. д, Как правило, говоря о периоде сигнала, имеют в виду минимальный из возможных периодов. Величина, обратная периоду, называется частотой повторения сигнала; Т = ЦТ. В теории сигналов также часто используется понятие круговой частоты гс - 2кТ, измеряемой в радианах в секунду. Очевидно, что любой периодический сигнал (за исключением сигнала, тождественно равного нулю) имеет бесконечную энергию. Следующий класс — сигналы конечной длительности (их еше называют финит- ными сигналами).

Такие сигналы отличны от нуля только на ограниченном промежутке времени. Иногда говорят, что сигнал сугцвствувт на конечном временном интервале. Очевидно, что сигнал конечной длительности будет иметь и конечную знергию— если только он не содержит разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции). Перейдем к более узким классам сигналов. Очень важную роль в технике обработки сигналов играют гармонические колебания, которые в самом общем виде записываются следующим образом: в(г) - А соэ(гот + гр).

Гармонический сигнал полностью определяется тремя числовыми параметрами: амплитудой А, частотой гс и начальной фазой гр. Гармонический сигнал является одним из широко распространенных тестовых сигналов, применяющихся для анализа характеристик цепей. Кроме него к тестовым относятся еще две очень важные в радиотехнике функции: дельта-функция и функция единичного скачка.

Дельта-функция 5(г), или функция Дирака, представляет собой бесконечно узкий импульс с бесконечной амплитудой, расположенный при нулевом значении аргумента функции, «Плошадь» импульса тем не менее равна единице: ~О, ж О, ) б(С)Й =1. Разумеется, сигнал в виде дельта-функции невозможно реализовать физически, однако эта функция очень важна для теоретического анализа сигналов и систем. На графиках дельта-функция обычно изображается жирной стрелкой, высота которой пропорциональна множителю, стоящему перед дельта-функцией (рис. 1.1).

Одно иэ важных свойств дельта-функции — так называемое фильтрующвв свойство. Оно состоит в том, что если дельта-функция присутствует под интегралом в качестве множителя, то результат интегрирования будет равен значению остального подынтегрального выражения в той точке, где сосредоточен дельта-импульс: ~Х(г)б(г — г, М =У(г,). (1.1) 20 Глава 1. Основы анализа сигналов Рис. 1.1. График сигнала а(Г) = Б(г] + 2Б(à — 1) Функция единичного скачка о(г), она же функция Хевисайда, она же функция вклю- чения, равна нулю для отрицательных значений аргумента и единице — для по- ложительных. При нулевом значении аргумента функцию считают либо неопре- деленной, либо равной 1/2: О, гсО, о(г) = 1/2, г =О, 1, г)О. (1.2) В МАТ) АВ данную функцию можно смоделировать с помощью оператора сравнения, возвращающего значение О или 1: у = (х >= 0); Отличие такой реализации функции включения от формулы (1.2) состоит только в том, что при нулевом значении аргумента результат равен единице; впрочем, в большинстве случаев это отличие несущественно.

График функции елиничного скачка приведен на рис. 1.2. Рнс. 1.2. Функция единичного скачка Функцию единичного скачка удобно использовать при создании математических выражений для сигналов конечной длительности. Простейшим примером Пределы интегрирования в (1.1) не обязательно должны быть бесконечными, главное, чтобы в интервал интегрирования попадало значение гв, в противном случае интеграл будет равен нулю. Из того факта, что интеграл от дельта-функции дает безразмерную единицу, следует, что размерность самой дельта-функции обратна размерности ее аргумента. Например, дельта-функция времени имеет размерность 1/с, то есть размерность частоты. Энергия и мощность сигнала является формирование прямоугольного импульса с амплитудой А и длительно- стью Т: з(г) = А(а(г) — о(г — Т)).

Вообще, любую кусочно-заданную зависимость можно записать в виде единого математического выражения с помощью функции единичного скачка. Энергия и мощность сигнала В начале этой главы в качестве одной из составляющих анализа сигналов было названо измерение их количественных параметров. На практике очень часто используются такие параметры, как эяергия и мощность сигнала. Их определения, принятые в теории сигналов, отличаются от обычных, а потому требуют некоторых комментариев. Начнем с обычных, «физических» понятий мощности и энергии.

Если к резистору с сопротивлением Е приложено постоянное напряжение У, то выделяющаяся в резисторе мощность будет равна ~/2 Р= —. Я За время Т в этом резисторе выделится тепловая энергия, равная 0'Т Е= —. А Пусть теперь к тому же резистору приложено не постоянное напряжение, а сигнал з(г). Рассеивающаяся в резисторе мощность при этом тоже будет зависеть от времени, то есть в данном случае речь идет о мгновенной мощности (1пзгаптапеопз рочгег): РЯ= —. з (г) Я Чтобы вычислить выделяющуюся за время Т энергию, мгновенную могцность необходимо проинтегрировать: т 1 т Е = ) рЯй = — ~з'Яй.

о 'т» Можно ввести также понятие средней мощности (ачегаяе ро~чег) за заданный промежуток времени, разделив энергию на длительность временного интервала: Р = — = — ) з'(г)с(г Е 1 г Т ЯТ, Во все приведенные формулы входит сопротивление нагрузки А.

Однако, если энергия и мощность интересуют нас не как физические величины, а как средство сравнения различных сигналов, этот параметр можно из формул исключить (принять Е = 1). Тогда мы получим определения энергии, мгновенной мощности и средней мощности, принятые в теории сигналов: гг Глава 1. Основы анализа сигналов Š— (згЯЙ э Р(г) - "(г) 1г Р = — ~ з г (г) й. о «Мощность» здесь имеет размерность В, а «энергия» — В с. г г (1.3) Энергия сигнала может быть конечной или бесконечной. Например, любой сигнал конечной длительности будет иметь конечную энергию (если только он не содержит дельта-функций или ветвей, уходящих в бесконечность). А любой периодический сигнал, напротив, имеет бесконечную энергию. Если энергия сигнала бесконечна, можно определить его среднюю мощность на всей временной оси.

Для этого нужно воспользоваться формулой (1.3) и выполнить предельный переход, устремив интервал усреднения в бесконечность: 1 тп Р = 1пп — ) з'(г)й. (1А) -пг Квадратный корень из средней мощности дает среднвквадращичвсков (двйолвующвв) значение сигнала (английский термин — гооС асеан зцпаге, КМЯ): г!2 о =,~Р = !пп — („зг(г)йг. -лг (1.5) Для периодического сигнала с периодом Т предельный переход в формулах (1.4) и (1.5) выполнять не обязательно — достаточно выполнить усреднение по пе- риоду. Ряд Фурье Разложению в ряд Фурье могут подвергаться периодические сигналы. При этом они представляются в виде суммы гармонических функций либо комплексных экспонент с частотами, образующими арифметическую прогрессию.

Для того чтобы такое разложение существовало, фрагмент сигнала длительностью в один период должен удовлетворять услощгям Дирихлв: 0 не должно быть разрывов второго рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции); 0 число разрывов первого рода (скачков) должно быть конечным; ЗАМЕЧАНИЕ Данные параметры иногда называют удельной мощностью и энергией, чтобы подчеркнуть подразумеваемое при этом единичное значение сопротивления нагрузки.

Ряд Фурье ь» число экстремумов должно быть конечным (в качестве примера функции, которая на конечном интервале имеет бесконечное число экстремумов, можно привести Ип(1/х) в окрестности нуля). В зависимости от конкретной формы базисных функций различают несколько форм записи ряда Фурье. Синусно-косинусная Форма В этом варианте ряд Фурье имеет следующий вид: аэ э(Г) = — э + '5 (а» соэ(Ьо», Г) + Ь» э(п(йго,»)).

2 (1.Б) Здесь о», = 2л/Т вЂ” круговая частота, соответствующая периоду повторения сиг- нала, равному Т. Входящие в формулу кратные ей частоты Ьо», называются гар- мониками; гармоники нумеруются в соответствии с индексом Й; частота го» - Ьг», называется Ь-й гармоникой сигнала. Коэффициенты ряда а» и Ь, рассчитываются по формулам: 2 пт й» = — ~ 5(г) соэ(яОЗ~с)й, т „, 2 пт Ь» = — ') э(г)з(п(Ьо», г)г(г. т цг Константа аэ рассчитывается по общей формуле для а».

Ради этой общности и введена несколько странная на первый взгляд форма записи постоянного слагае- мого (с делением на два). Само же это слагаемое представляет собой среднее значение сигнала на периоде: 1 гп э — ~ з(с)г(с г т„, ЗАМЕЧАНИЕ Пределы интегрирования не обязательно должны быть такими, как в приведенных выше формулах (от -Т/2 до Т/2). Интегрирование может производиться по любому интервалу длиной Т- результат от этого не изменится.

Конкретные пределы выбираются из сообра- жений удобства вычислений; например, может оказаться удобнее выполнять интегрирова- ние от О до Т или от -Т до О. Если э(г) является четной функцией, то все Ь» будут равны нулю и в формуле ряда Фурье будут присутствовать только косипусные слагаемые. Если цг) явля- ЗАМЕЧАНИЕ Ряд Фурье может быть применен для представления не только периодических сигналов, но и сигналов конечной длительности. При этом оговаривается временной интервал, для которого строится ряд Фурье, а в остальные моменты времени сигнал считается равным нулю. Для расчета коэффициентов ряда такой подход фактически означает периодическое продолжение сигнала за границами рассматриваемого интервала.

24 Глава 1. Основы анализа сигналов ется нечетной функцией, равны нулю будут, наоборот, косинусные коэффициен- ты ав и в формуле останутся лишь альусные слагаемые. Вещественная форма Некоторое неудобство синусно-косинусной формы ряда Фурье состоит в том, что для каждого значения индекса суммирования Й (то есть для каждой гармони- ки с частотой 7ггс,) в формуле фигурируют два слагаемых — синус и косинус. Воспользовавшись формулами тригонометрических преобразований, сумму этих двух слагаемых можно трансформировать в косинус той же частоты с иной ам- плитудой и некоторой начальной фазой; а, з(т) = — '+ 2,А, соз(7ггл,г+ <р,). (1.7) 2 Если з(г) является четной функцией, фазы ув могут принимать только значения О и я, а если з(г) — функция нечетная, то возможные значения для фазы равны +л/2.

Комплексная форма Данная форма представления ряда Фурье является, пожалуй, наиболее употребимой в радиотехнике. Она получается из вещественной формы представлением косинуса в виде полусуммы комплексных экспонент (такое представление вытекает из формулы Эйлера е'" - соз х + 7' гйп х): сов х = — (е'" + е л). я 2 Применив данное преобразование к вещественной форме ряда Фурье, получим суммы комплексных экспонент с положительными и отрицательными показателями: з(г) = — + ~ — (ехр( уйо,г + угр, ) + ехр(-)7гт,г - др, )). а, "Ав з 1 А теперь будем трактовать экспоненты со знаком лминусв в показателе как члены ряда с отрицательными номерами.